Fiche de révision : Cinématique du point matériel

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la cinématique
2. Repères et mesure du temps
3. Repères et coordonnées du mouvement
4. Équations et trajectoires
5. Vitesse du point matériel
6. Accélération du point matériel
7. Mouvement rectiligne uniforme
8. Mouvement rectiligne uniformément varié
9. Mouvement rectiligne sinusoïdal
10. Mouvement circulaire uniformément varié

📖 1. Fondements de la cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Partie de la physique qui étudie le mouvement d’un point matériel sans rechercher les causes de ce mouvement.
• Mouvement : Changement de position dans l’espace et dans le temps.
• Référentiel : Le mouvement dépend d’un objet de référence, généralement un solide, appelé référentiel.
• Trajectoire : Ensemble des positions successivement occupées par ce mobile au cours du temps.
• Point matériel : Objet dont les dimensions sont négligeables devant sa distance d’observation.

💡 Astuce mémo

Cinématique = décrire le mouvement, dynamique = expliquer ses causes

📖 2. Repères et mesure du temps

🔑 Notions clés & Définitions

• Date : Instant noté t et exprimé en secondes dans le Système international.

★ À maîtriser

📐 Formule — La durée entre les dates initiale et finale vérifie $\Delta t = t_f - t_i$.

📐 Formule — Pour une phase retardée de la durée Δt par rapport à l’instant t de la phase précédente, l’instant correspondant est $t' = t - \Delta t$.

Compléments

📌 Lorsque le mouvement commence à t = 0, l’instant et la durée écoulée sont numériquement confondus.

💡 Astuce mémo

Origine t = 0 → dates → durée Δt

📖 3. Repères et coordonnées du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet : Utilise le vecteur unitaire tangent T et le vecteur unitaire normal N pour décrire localement la trajectoire.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un repère plan, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j$ et sa norme vaut $OM=\sqrt{x^2+y^2}$.

Compléments

📐 Formule — Dans l’espace, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$.

• Dans le repère de Frenet, le vecteur tangent T a le sens du mouvement et le vecteur normal N a un sens centripète, avec $\|\vec T\|=\|\vec N\|=1$.

📖 4. Équations et trajectoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équations horaires : Donnent les coordonnées du mobile en fonction du temps, sous la forme $x=f(t),\ y=g(t),\ z=h(t)$.

★ À maîtriser

• Pour obtenir l’équation cartésienne d’une trajectoire, on élimine le paramètre temps entre les équations horaires.

📌 Une trajectoire est rectiligne si son équation cartésienne est du premier degré, parabolique si elle est de la forme $y=ax^2+bx+c$, et circulaire si elle vérifie $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=a^2$.

Compléments

• Pour $x=2t$ et $y=t^2-4$, l’élimination de t donne $y=\frac{x^2}{4}-4$, donc la trajectoire est une parabole de sommet S(0, −4).

💡 Astuce mémo

Équations horaires → élimination du temps → nature de la trajectoire

📖 5. Vitesse du point matériel

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur vitesse moyenne entre deux positions M1 et M2 vérifie $\vec v_m=\frac{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1}}{t_2-t_1}$.

📐 Formule — Dans la base cartésienne, le vecteur vitesse s’écrit $\vec V=\frac{dx}{dt}\vec i+\frac{dy}{dt}\vec j+\frac{dz}{dt}\vec k$.

Compléments

📐 Formule — La norme de la vitesse moyenne vaut $V_m=\frac{M_1M_2}{\Delta t}$.

• Pour $x=2t$ et $y=t^2-4$, le vecteur vitesse est $\vec V(t)=2\vec i+2t\vec j$ et sa norme vaut $V=2\sqrt{1+t^2}$.

💡 Astuce mémo

Vitesse moyenne sur un intervalle, vitesse instantanée à un instant

📖 6. Accélération du point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération : Caractérise la variation de la vitesse au cours du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur accélération moyenne vérifie $\vec a_m=\frac{\vec V_2-\vec V_1}{t_2-t_1}$ et son unité SI est le $\mathrm{m\,s^{-2}}$.

📐 Formule — Le vecteur accélération instantanée est la dérivée de la vitesse et la dérivée seconde de la position : $\vec a(t)=\frac{d\vec V}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

📐 Formule — Dans le repère de Frenet, l’accélération s’écrit $\vec a=a_T\vec T+a_N\vec N$ avec $a_T=\frac{dv}{dt}$ et $a_N=\frac{v^2}{\rho}$.

Compléments

📐 Formule — Dans la base cartésienne, les composantes de l’accélération sont $a_x=\frac{d^2x}{dt^2},\ a_y=\frac{d^2y}{dt^2},\ a_z=\frac{d^2z}{dt^2}$.

💡 Astuce mémo

Variation de la vitesse → accélération

📖 7. Mouvement rectiligne uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• MRU : Mouvement à trajectoire rectiligne dont le vecteur vitesse est constant et dont l’accélération est nulle.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation horaire d’un MRU est $x(t)=V_xt+x_0$.

💡 Astuce mémo

MRU : vitesse constante, accélération nulle

📖 8. Mouvement rectiligne uniformément varié

🔑 Notions clés & Définitions

• MRUV : Mouvement rectiligne dont l’accélération est constante.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un MRUV, la vitesse et la position vérifient $V_x(t)=a_xt+V_{0x}$ et $x(t)=\frac12a_xt^2+V_{0x}t+x_0$.

📐 Formule — La relation indépendante du temps d’un MRUV est $V_x^2-V_{0x}^2=2a_x(x-x_0)$.

📌 Un mouvement rectiligne est accéléré lorsque $\vec a\cdot\vec v>0$ et retardé lorsque $\vec a\cdot\vec v<0$.

Compléments

• Un mobile partant du repos et atteignant 20 m s−1 en 5 s a une accélération de 4 m s−2 et parcourt 50 m.

💡 Astuce mémo

Accélération constante → vitesse affine → position quadratique

📖 9. Mouvement rectiligne sinusoïdal

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne sinusoïdal : Mouvement possédant une trajectoire droite et une abscisse sinusoïdale du temps donnée par $x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne sinusoïdal, l’amplitude et la pulsation vérifient $\Delta L=2X_m$ et $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

📐 Formule — La vitesse d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est $v(t)=-X_m\omega\sin(\omega t+\varphi)$ et sa valeur maximale est $V_{\max}=X_m\omega$.

📐 Formule — L’accélération d’un mouvement rectiligne sinusoïdal vérifie $a(t)=-\omega^2x(t)$, soit $\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$.

💡 Astuce mémo

Dériver la position → vitesse en quadrature → accélération opposée à la position

📖 10. Mouvement circulaire uniformément varié

🔑 Notions clés & Définitions

• MCUV : Mouvement dont la vitesse angulaire varie uniformément et dont l’accélération angulaire est constante.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un MCUV, la vitesse angulaire et la position angulaire vérifient $\dot\theta(t)=\ddot\theta t+\dot\theta_0$ et $\theta(t)=\frac12\ddot\theta t^2+\dot\theta_0t+\theta_0$.

Compléments

📐 Formule — La relation indépendante du temps du MCUV est $\dot\theta^2-\dot\theta_0^2=2\ddot\theta(\theta-\theta_0)$.

💡 Astuce mémo

Accélération angulaire → vitesse angulaire → position angulaire

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des mouvements rectilignes

Grandeurs cinématiques