Fiche de révision : Cinématique newtonienne et repères

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la mécanique
2. Repérage dans l’espace-temps
3. Coordonnées cartésiennes et normes
4. Produit scalaire
5. Produit vectoriel
6. Dérivées et mouvement cartésien
7. Coordonnées cylindriques
8. Mouvement circulaire uniforme
9. Coordonnées sphériques
10. Référentiels et vitesses

📖 1. Fondements de la mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Mécanique : Étude du mouvement et éventuellement de l’équilibre des systèmes matériels.

📝 Points essentiels

📌 La cinématique décrit les mouvements de manière purement descriptive, tandis que la dynamique établit les relations entre les mouvements et les causes qui les engendrent.

💡 Astuce mémo

Cinématique décrit le mouvement, dynamique relie le mouvement à ses causes.

📖 2. Repérage dans l’espace-temps

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Construit à partir d’une horloge de référence, d’une origine des temps et d’un système d’axes de coordonnées.
• Espace-temps : Dans un référentiel donné, un point est repéré par le quadruplet espace-temps $\left(\vec r,t\right)$, comprenant trois coordonnées spatiales regroupées dans $\vec r$ et une coordonnée temporelle $t$.

★ À maîtriser

• Le mouvement d’un point dans un référentiel est entièrement caractérisé par la fonction de position $\vec r(t)$.

Compléments

📌 Les coordonnées cartésiennes conviennent notamment à un projectile à petite échelle sur Terre, les coordonnées cylindriques à un pendule et les coordonnées sphériques à l’interaction Terre–Lune.

💡 Astuce mémo

Un point M comme une épingle repérée par trois coordonnées et une horloge.

📖 3. Coordonnées cartésiennes et normes

🔑 Notions clés & Définitions

• Base orthonormée : Une base cartésienne orthonormée est constituée de trois vecteurs unitaires $\left(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z\right)$, normés à 1 et orthogonaux deux à deux.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un repère cartésien, le vecteur position du point M est $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$.

📐 Formule — La norme du vecteur position dans l’espace cartésien vérifie $\left\|\vec r\right\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

📖 4. Produit scalaire

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec A$ et $\vec B$ est le scalaire $\vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$.

📐 Formule — Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme : $\vec A\cdot\vec A=\left\|\vec A\right\|^2$.

Compléments

• Le produit scalaire d’un vecteur unitaire avec un vecteur donne la projection de ce dernier sur la direction du vecteur unitaire.

💡 Astuce mémo

Le produit scalaire projette un vecteur sur la direction de l’autre.

📖 5. Produit vectoriel

★ À maîtriser

• Le vecteur $\vec A\times\vec B$ est perpendiculaire à $\vec A$ et à $\vec B$.

📌 Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul.

Compléments

📐 Formule — La norme du produit vectoriel vérifie $\left\|\vec A\times\vec B\right\|=\left\|\vec A\right\|\left\|\vec B\right\|\sin\widehat{(\vec A,\vec B)}$ et représente l’aire du parallélogramme construit par les deux vecteurs.

💡 Astuce mémo

Le produit vectoriel forme une flèche perpendiculaire, comme une surface orientée.

📖 6. Dérivées et mouvement cartésien

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée d’une fonction mesure la variation de sa valeur lors d’un accroissement infinitésimal de sa variable.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La vitesse d’un point est la dérivée temporelle de sa position : $\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec e_x+\frac{dy}{dt}\vec e_y+\frac{dz}{dt}\vec e_z$.

📐 Formule — L’accélération d’un point est la dérivée temporelle de sa vitesse : $\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

💡 Astuce mémo

Position → vitesse → accélération.

📖 7. Coordonnées cylindriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, la position d’un point est $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$.

📐 Formule — La vitesse en coordonnées cylindriques est $\vec v=\dot r\vec e_r+r\dot\varphi\vec e_\varphi+\dot z\vec e_z$.

📐 Formule — L’accélération en coordonnées cylindriques est $\vec a=(\ddot r-r\dot\varphi^2)\vec e_r+\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot\varphi)\vec e_\varphi+\ddot z\vec e_z$.

💡 Astuce mémo

Rayon r, angle φ, hauteur z.

📖 8. Mouvement circulaire uniforme

📝 Points essentiels

📌 Un mouvement circulaire uniforme vérifie $r=\mathrm{constante}$, $z=0$ et $\dot\varphi=\mathrm{constante}$.

📐 Formule — Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est $\vec v=r\dot\varphi\vec e_\varphi$.

📐 Formule — Dans un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est centripète et vaut $\vec a=-\frac{v^2}{r}\vec e_r$.

💡 Astuce mémo

Rayon constant et vitesse angulaire constante → accélération centripète.

📖 9. Coordonnées sphériques

★ À maîtriser

📐 Formule — En coordonnées sphériques, le vecteur position est $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r$, avec les coordonnées $\left(r,\theta,\varphi\right)$.

📐 Formule — La vitesse en coordonnées sphériques est $\vec v=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta+r\dot\varphi\sin\theta\vec e_\varphi$.

Compléments

📌 Les coordonnées sphériques vérifient $0\leq\theta\leq\pi$ et $0\leq\varphi\leq2\pi$.

📐 Formule — L’accélération sphérique est $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2-r\dot\varphi^2\sin^2\theta)\vec e_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta-r\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta)\vec e_\theta+(r\ddot\varphi\sin\theta+2\dot r\dot\varphi\sin\theta+2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta)\vec e_\varphi$.

💡 Astuce mémo

Distance r, angle polaire θ, angle azimutal φ.

📖 10. Référentiels et vitesses

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Animé d’un mouvement de translation uniforme par rapport à un référentiel fixe.

★ À maîtriser

📌 Le référentiel du laboratoire est lié à l’observateur ou à son dispositif expérimental, tandis que le référentiel propre est lié au système étudié.

📐 Formule — Pour deux référentiels en translation uniforme à la vitesse constante $\vec V$, la position et le temps vérifient $\vec r'=\vec r+\vec Vt$ et $t'=t$.

📐 Formule — La loi de composition des vitesses est $\vec v'=\vec v+\vec V$, où $\vec V$ est la vitesse d’entraînement.

Compléments

• Deux référentiels galiléens sont en translation uniforme l’un par rapport à l’autre.

💡 Astuce mémo

Référentiel fixe de l’observateur ≠ référentiel propre du système.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des systèmes de coordonnées

Grandeurs cinématiques