Fiche de révision : Comportement des suites en fonction de q

📋 Plan du Cours

1. Comportement de (q)^n
2. Limites selon q
3. Démonstration limites
4. Théorème de comparaison
5. Théorème des gendarmes
6. Convergence monotone
7. Divergence suite
8. Suites bornées
9. Opérations limites
10. Limite finie
11. Limite infinie
12. Unicité limite

📖 1. Comportement de (q)^n

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite de q^n quand q > 1 : La suite (q)^n tend vers +∞ lorsque n → +∞.
• Limite de q^n quand |q| < 1 : La suite (q)^n tend vers 0 lorsque n → +∞.
• Divergence par alternance de signes si q ≤ -1 : La suite (q)^n ne possède pas de limite, elle oscille entre des valeurs positives et négatives, divergeant ainsi.
• Démonstration avec l'inégalité de Bernoulli (pour q > 1) : Si q = 1 + a avec a > 0, alors (1 + a)^n ≥ 1 + na, permettant de montrer que (q)^n → +∞.

📝 Points essentiels

• La limite de (q)^n dépend strictement de la valeur de q :
  • Si q > 1, la suite diverge vers +∞.
  • Si |q| < 1, la suite converge vers 0.
  • Si q ≤ -1, la suite diverge par oscillation, sans limite.
• La démonstration pour q > 1 utilise l'inégalité de Bernoulli :
  • En posant q = 1 + a, avec a > 0, on obtient (1 + a)^n ≥ 1 + na.
  • En faisant n → +∞, on conclut que (q)^n → +∞.
• Pour |q| < 1, on distingue deux cas :
  • Si 0 < q < 1, alors 1/q > 1, et on utilise la convergence de (1/q)^n pour déduire celle de q^n.
  • Si -1 < q < 0, alors (-q)^n tend vers 0, et par oscillation, (q)^n tend vers 0.
• La limite de (q)^n quand q = 0 est 0.

💡 À retenir

Le comportement de la suite (q)^n est entièrement déterminé par la valeur de q : elle tend vers +∞ si q > 1, vers 0 si |q| < 1, et oscille sans limite si q ≤ -1. La démonstration utilise notamment l'inégalité de Bernoulli pour q > 1 et la méthodologie d'étude de convergence selon la valeur de q.

📖 2. Limites selon q

🔑 Notions clés & Définitions

Théorème de minoration (voir section 4) :
Si deux suites (u_n) et (v_n) vérifient u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang et si lim u_n = +∞, alors lim v_n = +∞.
Ce théorème permet d’établir la divergence vers +∞ d’une suite en la comparant à une autre qui diverge déjà.

Théorème de majoration (voir section 4) :
Si u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang et si lim v_n = -∞, alors lim u_n = -∞.
Il sert à démontrer la divergence vers -∞ en comparant une suite à une autre qui diverge déjà.

Interprétation intuitive des théorèmes de comparaison :
Ces théorèmes indiquent que, si une suite est « encadrée » par deux autres suites dont on connaît le comportement limite, alors elle adopte le même comportement limite. La suite « suit » la tendance de ses comparantes.

Démonstration du théorème de minoration (voir section 4) :
Elle repose sur la définition d’une limite infinie et la transitivité des inégalités, en montrant que, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite v_n sont supérieurs à un réel arbitraire A, ce qui implique lim v_n = +∞.

Méthodologie d'utilisation des théorèmes de comparaison (voir section 4) :

• Identifier deux suites u_n et v_n.
• Vérifier qu’à partir d’un certain rang, u_n ≤ v_n (ou v_n ≤ u_n).
• Connaître la limite de l’une des suites (lim u_n ou lim v_n).
• En déduire la limite de l’autre suite en appliquant le théorème correspondant.

📝 Points essentiels

• Les théorèmes de minoration et majoration permettent d’établir la limite d’une suite en la comparant à une autre dont la limite est connue ou plus facilement déterminable.
• La condition clé est que la relation d’ordre (u_n ≤ v_n ou v_n ≤ u_n) doit être vérifiée à partir d’un certain rang.
• La limite infinie (vers +∞ ou -∞) d’une suite peut être déduite en utilisant ces théorèmes, ce qui simplifie grandement l’analyse du comportement asymptotique.
• La démonstration du théorème de minoration s’appuie sur la définition d’une limite infinie et la transitivité des inégalités, en utilisant la propriété que si u_n → +∞, alors pour tout A, u_n > A à partir d’un certain rang.

💡 À retenir

Les théorèmes de comparaison (minoration et majoration) permettent de déterminer la limite d’une suite en la comparant à une autre dont le comportement limite est connu, facilitant ainsi l’analyse asymptotique.

📖 3. Démonstration limites

🔑 Notions clés & Définitions

Démonstration de la limite de q^n selon les cas de q :
Étude du comportement de la suite (q)^n en fonction de la valeur réelle q, en utilisant notamment la limite selon que q > 1, |q| < 1 ou q ≤ -1, pour déterminer si la suite converge, diverge ou oscille.

Démonstration du théorème de minoration :
Si deux suites (u_n) et (v_n) vérifient u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang, et si lim u_n = +∞, alors lim v_n = +∞.
Ce théorème permet d’établir la divergence vers +∞ d’une suite en la comparant à une suite qui diverge déjà.

Démonstration par l'absurde de la convergence monotone :
Suppose qu’une suite croissante (ou décroissante) qui est majorée (ou minorée) ne converge pas, puis montre que cette hypothèse mène à une contradiction, en utilisant la définition de limite finie et la propriété d’encadrement.

Démonstration de la divergence d'une suite croissante non majorée vers +∞ :
En utilisant la définition d’une suite non majorée, on montre qu’elle dépasse tout réel M à partir d’un certain rang, ce qui implique que la limite est +∞.

📝 Points essentiels

• La limite de (q)^n dépend de q : si q > 1, lim (q)^n = +∞ ; si |q| < 1, lim (q)^n = 0 ; si q ≤ -1, la suite diverge par oscillation ou n’a pas de limite (voir comportement selon q dans la section 1).
• Le théorème de minoration est fondamental pour établir la divergence vers +∞ d’une suite en la comparant à une suite connue qui diverge.
• La démonstration par l’absurde de la convergence monotone repose sur la contradiction entre la croissance de la suite et la propriété d’être majorée ou minorée.
• La divergence d’une suite croissante non majorée vers +∞ s’appuie sur la définition : pour tout M, il existe un rang p tel que u_p > M, et par croissance, tous les termes suivants sont supérieurs à M, donc lim u_n = +∞.

💡 À retenir

La limite d’une suite (q)^n selon q varie : elle est nulle si |q| < 1, infinie si q > 1, et n’a pas de limite si q ≤ -1. La démonstration de la divergence ou de la convergence repose souvent sur la comparaison, la propriété d’encadrement, ou la contradiction par l’absurde.

📖 4. Théorème de comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de minoration (section 2, page 62) : Si deux suites (uₙ) et (vₙ) vérifient à partir d’un certain rang N que uₙ ≤ vₙ et si lim uₙ = +∞, alors lim vₙ = +∞.
• Théorème de majoration (section 2, page 62) : Si, à partir d’un certain rang N, vₙ ≤ uₙ et si lim vₙ = -∞, alors lim uₙ = -∞.
• Conditions d’application : La relation uₙ ≤ vₙ (ou vₙ ≤ uₙ) doit être vérifiée à partir d’un certain rang N.
• Lien avec le comportement asymptotique : Ces théorèmes permettent de déduire la limite d’une suite en comparant avec une autre suite dont la limite est connue ou plus facilement déterminable, en utilisant la relation d’ordre asymptotique.
• Théorème des gendarmes (section 2, page 62) : Si trois suites (uₙ), (vₙ), (wₙ) vérifient à partir d’un certain rang N que uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ et si lim uₙ = lim wₙ = ℓ, alors lim vₙ = ℓ.

📝 Points essentiels

• Le théorème de minoration s’applique lorsque l’on dispose d’une suite (uₙ) tendant vers +∞ et que l’on veut montrer que (vₙ) tend aussi vers +∞, en prouvant qu’à partir d’un certain rang, uₙ ≤ vₙ.
• Le théorème de majoration est utilisé dans le cas inverse, pour déduire que (uₙ) tend vers -∞ si (vₙ) tend vers -∞ et que vₙ ≤ uₙ à partir d’un certain rang.
• La condition d’application est cruciale : la relation d’ordre doit être vérifiée à partir d’un certain rang N.
• Le théorème des gendarmes permet d’encadrer une suite (vₙ) entre deux suites (uₙ) et (wₙ) dont les limites sont connues et égales, pour en déduire la limite de (vₙ).
• La démonstration du théorème de minoration repose sur la définition de limite infinie : si lim uₙ = +∞, alors pour tout réel A, il existe un rang p tel que pour n ≥ p, uₙ > A, et par transitivité, vₙ > A à partir d’un certain rang.

💡 À retenir

Les théorèmes de minoration et majoration permettent de déterminer la limite d’une suite en la comparant à une autre suite dont la limite est connue, sous condition que la relation d’ordre soit vérifiée à partir d’un certain rang. Le théorème des gendarmes encadre une suite entre deux autres suites convergentes vers la même limite.

📖 5. Théorème des gendarmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des gendarmes (encadrement) : Si, pour une suite (v_n), il existe deux suites (u_n) et (w_n) telles que, à partir d’un certain rang N, u_n ≤ v_n ≤ w_n, et si lim u_n = lim w_n = ℓ, alors lim v_n = ℓ. (source : contenu source)

• Utilisation pour déterminer la limite d'une suite encadrée : Lorsqu’une suite (v_n) est comprise entre deux suites (u_n) et (w_n) dont les limites sont égales, on peut conclure à la limite de (v_n) en appliquant le théorème des gendarmes. (source : contenu source)

• Méthodologie d’application du théorème des gendarmes : Vérifier qu’à partir d’un certain rang, u_n ≤ v_n ≤ w_n, et que lim u_n = lim w_n = ℓ ; en déduire alors lim v_n = ℓ. Cette méthode repose sur l’encadrement et la convergence des suites encadrantes. (source : contenu source)

📝 Points essentiels

• Le théorème des gendarmes est un outil fondamental pour établir la limite d’une suite en utilisant deux suites encadrantes dont la limite est connue et identique. Il s’appuie sur la propriété d’encadrement : si une suite est « pincée » entre deux suites convergentes vers la même limite, alors elle converge vers cette limite (voir aussi "théorème d’encadrement").
• La condition clé est que, à partir d’un certain rang, u_n ≤ v_n ≤ w_n, ce qui permet d’appliquer la limite aux suites encadrantes.
• La limite de la suite encadrée est alors la même que celle des suites encadrantes, grâce à la propriété d’unicité de la limite (voir section 12).
• La méthode d’application consiste à vérifier l’encadrement et à calculer les limites des suites encadrantes, puis à en déduire la limite de la suite étudiée.

💡 À retenir

Le théorème des gendarmes permet de déterminer la limite d’une suite en l’encadrant entre deux suites convergentes vers la même limite, simplifiant ainsi l’analyse de suites complexes.

📖 6. Convergence monotone

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante et majorée : Une suite (uₙ) est croissante si pour tout n, uₙ ≤ uₙ₊₁, et elle est majorée si il existe M ∈ R tel que pour tout n, uₙ ≤ M. Selon théorème de la convergence monotone (voir section 3), si elle converge, elle converge vers un réel ℓ ≤ M.

• Suite décroissante et minorée : Une suite (uₙ) est décroissante si pour tout n, uₙ ≥ uₙ₊₁, et elle est minorée si il existe m ∈ R tel que pour tout n, uₙ ≥ m. Selon le même théorème, si elle converge, elle converge vers un réel ℓ ≥ m.

• Lien entre convergence monotone et bornes : Une suite monotone (croissante ou décroissante) qui est bornée (majorée ou minorée respectivement) converge vers un réel. La limite ℓ vérifie alors ℓ ≤ M si la suite est croissante et majorée, ou ℓ ≥ m si décroissante et minorée.

• Exemple de suite décroissante et minorée convergeant : La suite (uₙ) = 1/n est décroissante et minorée par 0, elle converge vers 0 (limite ℓ = 0).

• Limite ℓ selon cas : Si une suite croissante et majorée converge, alors ℓ ≤ M. Si décroissante et minorée, alors ℓ ≥ m (voir section 3). La limite est unique (voir section 12).

📖 7. Divergence suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante non majorée : Une suite (uₙ) est dite croissante si pour tout n, uₙ₊₁ ≥ uₙ, et non majorée si elle n’admet pas de réel M tel que ∀n, uₙ ≤ M. Selon théorème de divergence (voir section 4), elle diverge vers +∞ si elle n’est pas bornée supérieurement.

• Divergence d'une suite : Lorsqu’une suite ne converge pas vers un réel fini, elle est dite divergente. Elle peut diverger vers +∞ ou -∞, ou ne pas admettre de limite (voir section 6).

• Démonstration de la divergence d'une suite croissante non majorée : Si une suite (uₙ) est croissante et qu’elle n’est pas majorée, alors, par démonstration (voir page 3), elle diverge vers +∞, c’est-à-dire que pour tout M ∈ R, il existe un rang N tel que ∀n ≥ N, uₙ > M.

📝 Points essentiels

• La suite croissante non majorée ne possède pas de borne supérieure. Par démonstration (page 3), cela implique que ses termes deviennent arbitrairement grands, donc elle diverge vers +∞.

• La démonstration repose sur le fait que, pour tout réel M, il existe un rang p tel que uₚ > M. La croissance de la suite implique alors que pour tout n ≥ p, uₙ ≥ uₚ > M, ce qui montre que la suite dépasse toute borne finie, donc diverge vers +∞.

• La limite d’une suite croissante non majorée est donc +∞ (voir page 3). La divergence est caractérisée par l’absence de limite finie et la croissance sans limite.

• La notion de divergence vers +∞ s’applique aussi aux suites décroissantes non minorées (diverge vers -∞), mais ce n’est pas le sujet ici.

💡 À retenir

Une suite croissante non majorée diverge vers +∞, ce qui signifie que ses termes deviennent arbitrairement grands à mesure que n augmente, et elle ne possède pas de limite finie. La démonstration repose sur le fait que, pour tout M, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes dépassent M.

📖 8. Suites bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite (uₙ) est dite majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout n ∈ N, uₙ ≤ M.
  (source : définition classique)

• Suite minorée : Une suite (uₙ) est dite minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout n ∈ N, uₙ ≥ m.
  (source : définition classique)

• Suite bornée : Une suite (uₙ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
  (source : définition classique)

• Remarque : Il n’y a pas d’unicité pour les majorants ou minorants d’une suite ; plusieurs réels peuvent remplir ces conditions.

📝 Points essentiels

• La suite (uₙ) est bornée si elle possède un majorant M et un minorant m, c’est-à-dire que ses termes restent compris entre deux bornes fixes.
• La non-unicité des majorants et minorants signifie qu’il peut exister plusieurs réels M ou m vérifiant respectivement uₙ ≤ M ou uₙ ≥ m pour tout n.
• La propriété de bornitude est fondamentale pour étudier la convergence, notamment avec le théorème de la convergence monotone (voir section 6).
• La suite (uₙ) étant bornée n’implique pas nécessairement sa convergence, mais elle est une condition nécessaire pour la convergence de suites monotones (théorème de la convergence monotone).
• La définition de suite bornée repose sur la coexistence de deux réels, un supérieur et un inférieur, qui encadrent tous les termes de la suite.

💡 À retenir

Une suite bornée est limitée entre un minorant et un majorant, ce qui est une condition clé pour assurer la convergence dans le cas des suites monotones ; cependant, une suite bornée n’est pas forcément convergente.

📖 9. Opérations limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérations sur les limites : Lorsqu’on considère deux suites (uₙ) et (vₙ), il est possible de déterminer la limite de leurs opérations (somme, produit, quotient) en utilisant des règles spécifiques, sous réserve de l’existence des limites de chaque suite (voir tableau récapitulatif).
• Formes indéterminées : Expressions où la limite ne peut être directement déduite en raison de formes ambiguës telles que "∞ - ∞", "0 × ∞", "∞/∞", "0/0". Il est essentiel de lever ces formes pour déterminer la limite (voir notions "Opérations sur les limites" et "Importance de lever les formes indéterminées").
• Levé de formes indéterminées : Technique consistant à manipuler l’expression pour transformer une forme indéterminée en une forme permettant l’application des règles de limite classiques, souvent en factorisant, rationalisant ou utilisant des théorèmes (ex : théorème des gendarmes).
• Théorème de l’inégalité de Bernoulli (démontré par Bernoulli (1700)) : pour tout n ∈ N et a > 0, (1 + a)^n ≥ 1 + na, permettant d’établir des bornes pour certaines suites et d’étudier leur limite.

📝 Points essentiels

• Opérations sur les limites :
  • La somme de deux suites (uₙ + vₙ) a pour limite la somme des limites si celles-ci existent :
    $\lim (uₙ + vₙ) = \lim uₙ + \lim vₙ$ (sauf formes indéterminées).
  • Le produit (uₙ × vₙ) a pour limite le produit des limites si celles-ci existent :
    $\lim (uₙ × vₙ) = \lim uₙ × \lim vₙ$ (sauf formes indéterminées).
  • Le quotient (uₙ / vₙ) a pour limite le quotient des limites si celles-ci existent et si $\lim vₙ \neq 0$ :
    $\lim (uₙ / vₙ) = \lim uₙ / \lim vₙ$ (sauf formes indéterminées "0/0" ou "∞/∞").
• Formes indéterminées :
  • "∞ - ∞" : nécessite de mettre en facteur ou rationaliser pour lever l’indétermination.
  • "0 × ∞" : souvent résolue en écrivant la suite sous forme d’un quotient ou en utilisant la règle de l’Hôpital.
  • "∞/∞" et "0/0" : peuvent être levées par simplification, factorisation ou règle de l’Hôpital.
• Levé de formes indéterminées :
  • Utiliser la factorisation, la rationalisation ou le théorème de l’Hôpital pour transformer la limite en une forme connue ou plus simple.
  • La connaissance des limites usuelles (ex : $\lim 1/n = 0$, $\lim n = +\infty$) est essentielle pour appliquer ces techniques.

💡 À retenir

Les opérations sur les limites permettent de combiner ou de simplifier l’étude des limites de suites, mais il est crucial d’identifier et de lever les formes indéterminées pour appliquer correctement ces règles.

📖 10. Limite finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence vers un réel ℓ : Une suite (uₙ) converge vers un réel ℓ si, pour tout intervalle ouvert contenant ℓ, il existe un rang N tel que tous les termes uₙ avec n ≥ N appartiennent à cet intervalle.
• Définition limite finie d'une suite : La suite (uₙ) admet une limite finie ℓ si, lorsque n tend vers +∞, les termes uₙ se rapprochent arbitrairement de ℓ, c’est-à-dire que pour tout r > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N, |uₙ - ℓ| ≤ r.
• Notion de suite convergente : Une suite (uₙ) est dite convergente si elle admet une limite finie ℓ, c’est-à-dire si elle vérifie la définition précédente.
• Définition formelle avec intervalle ouvert : La suite (uₙ) converge vers ℓ si, pour tout intervalle ouvert ]ℓ - ε; ℓ + ε[, il existe N tel que pour tout n ≥ N, uₙ ∈ ]ℓ - ε; ℓ + ε[.
• Unicité de la limite : Si une suite (uₙ) converge vers une limite ℓ, cette limite est unique (voir section 12).

📖 11. Limite infinie

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie (+∞ ou -∞) : La limite d'une suite (uₙ) est dite infinie si, pour tout réel A, il existe un rang N tel que, pour tout n ≥ N, uₙ ≥ A (pour +∞) ou uₙ ≤ A (pour -∞).
  (voir définition page 45)

• Divergence vers +∞ ou -∞ : Une suite (uₙ) diverge vers +∞ si elle vérifie la propriété de limite infinie (+∞), c’est-à-dire que ses termes deviennent arbitrairement grands positivement. Elle diverge vers -∞ si ses termes deviennent arbitrairement petits négativement.
  (voir définition page 45)

• Définition formelle avec intervalle [A; +∞[ ou ]-∞; A] : La suite (uₙ) tend vers +∞ si, pour tout A ∈ R, il existe N tel que, pour tout n ≥ N, uₙ ∈ [A; +∞[. De même, elle tend vers -∞ si, pour tout A, il existe N tel que, pour tout n ≥ N, uₙ ∈ ]-∞; A].
  (voir définition page 45)

• Notion de suite divergente : Une suite est divergente si elle ne possède pas de limite finie, c’est-à-dire si elle diverge vers +∞, -∞ ou si ses termes ne se stabilisent pas vers un réel.
  (voir définition page 45)

📝 Points essentiels

• La limite infinie est caractérisée par le fait que, pour tout A, aussi grand soit-il (pour +∞) ou aussi petit (pour -∞), on peut trouver un rang N après lequel tous les termes de la suite restent dans l’intervalle correspondant.
• La divergence vers +∞ ou -∞ implique que la suite n’admet pas de limite finie. La suite diverge si ses termes deviennent arbitrairement grands ou petits.
• La définition formelle avec intervalles [A; +∞[ ou ]-∞; A] permet une compréhension précise du comportement asymptotique d’une suite.
• La propriété est souvent utilisée pour démontrer la divergence d’une suite croissante non majorée vers +∞ ou décroissante non minorée vers -∞, comme illustré dans la démonstration page 45.
• La notion d’unicité de la limite (voir section 12) s’applique aussi dans le contexte des limites infinies : une suite ne peut avoir qu’une seule limite, qu’elle soit finie ou infinie.

💡 À retenir

Une suite diverge vers +∞ ou -∞ lorsque ses termes deviennent arbitrairement grands ou petits, et cette divergence est formellement définie par l’existence d’un rang après lequel tous les termes restent dans un intervalle infini positif ou négatif.

📖 12. Unicité limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Unicité de la limite : propriété selon laquelle une suite ne peut admettre qu’une seule limite. Si une limite ℓ existe, alors toute autre limite différente de ℓ ne peut pas être celle de la même suite.
• Théorème admis sur l’unicité : « Quand elle existe, la limite d’une suite est UNIQUE » (principe fondamental en analyse).
• Conséquence : une suite ne peut avoir deux limites distinctes. Autrement dit, si une suite possède deux limites différentes, alors ces limites ne peuvent pas exister simultanément.
• Limite : valeur vers laquelle une suite tend lorsque n tend vers l’infini, si cette limite existe. La limite, si elle existe, est unique (voir aussi « limite finie » et « limite infinie » dans autres sections).
• Preuve par contraposée : si deux limites différentes ℓ et ℓ' sont supposées, alors cela mène à une contradiction, prouvant ainsi l’unicité de la limite (principe admis).

📝 Points essentiels

• La propriété d’unicité est fondamentale en analyse, garantissant que si une suite converge, sa limite est unique.
• La démonstration de cette propriété repose sur le principe de contradiction : si une suite admet deux limites différentes, alors, par définition de limite, cela mène à une impossibilité, car la suite ne peut pas se rapprocher simultanément de deux valeurs distinctes.
• La limite d’une suite est une caractéristique essentielle pour définir la convergence, et cette limite, si elle existe, ne peut pas être multiple.
• La propriété est un théorème admis, c’est-à-dire qu’elle ne nécessite pas de démonstration dans le cadre du programme, mais repose sur un raisonnement logique fondamental.

💡 À retenir

La limite d’une suite, si elle existe, est toujours unique ; toute autre limite différente entraînerait une contradiction avec la définition de convergence.

📊 Tableau de synthèse comparatif : Comportement de (q)^n selon q

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la convergence vers 0 pour |q| < 1 avec divergence pour q > 1.
2. Oublier que pour q ≤ -1, la suite oscille sans limite, ne converge pas.
3. Confondre la limite de (q)^n avec celle de (-q)^n dans le cas q négatif.
4. Utiliser l'inégalité de Bernoulli pour q < 1, alors qu’elle s’applique pour q > 1.
5. Négliger la différence entre convergence simple et divergence par oscillation.
6. Confondre la limite finie (0) pour |q| < 1 avec divergence vers +∞ ou -∞.
7. Mal appliquer la démonstration par comparaison en ne vérifiant pas la relation d’ordre à partir d’un certain rang.

✅ Checklist d'examen

1. Connaître la définition de la limite de (q)^n selon q, notamment la divergence vers +∞ pour q > 1, convergence vers 0 pour |q| < 1, et oscillation pour q ≤ -1.
2. Savoir démontrer que si q > 1, alors (q)^n → +∞ en utilisant l'inégalité de Bernoulli.
3. Maîtriser la démonstration que si |q| < 1, alors (q)^n → 0.
4. Comprendre le comportement de (q)^n pour q ≤ -1, notamment l’oscillation et la divergence.
5. Connaître le théorème de minoration : si u_n ≤ v_n et lim u_n = +∞, alors lim v_n = +∞.
6. Connaître le théorème de majoration : si v_n ≤ u_n et lim v_n = -∞, alors lim u_n = -∞.
7. Savoir appliquer le théorème de comparaison pour déterminer la limite d’une suite en la comparant à une autre.
8. Maîtriser la démonstration par l’absurde de la convergence monotone.
9. Comprendre le théorème des gendarmes : si u_n ≤ v_n ≤ w_n et lim u_n = lim w_n = ℓ, alors lim v_n = ℓ.
10. Savoir démontrer qu’une suite croissante non majorée tend vers +∞ en utilisant la définition.
11. Connaître la différence entre limite finie et divergence, notamment dans le contexte des suites bornées.
12. Être capable d’utiliser la méthodologie d’étude de limite selon la valeur de q, en utilisant encadrement, comparaison ou contradiction.