Fiche de révision : Continuité en espaces métriques

📋 Plan du Cours

1. Continuité en un point
2. Caractérisations de la continuité
3. Continuité globale et composition
4. Continuité sur les produits
5. Prolongement et opérations continues
6. Homéomorphismes et propriétés topologiques
7. Continuité uniforme et distances
8. Continuité dans les espaces normés
9. Applications linéaires continues
10. Normes d’opérateurs et équivalence

📖 1. Continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une application f entre espaces métriques est continue en a si, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que dX(x,a) < η implique dY(f(x),f(a)) < ε pour tout x ∈ X.

📝 Points essentiels

• Dans la définition de la continuité en un point, les inégalités strictes peuvent être remplacées par des inégalités larges, et ε peut être remplacé par cε pour toute constante c > 0.

📖 2. Caractérisations de la continuité

📝 Points essentiels

• f est continue en a si et seulement si, pour tout voisinage V de f(a), il existe un voisinage U de a tel que f(U) ⊂ V, ce qui équivaut à f⁻¹(V) voisinage de a.

• Une application entre espaces métriques est continue en a si et seulement si elle transforme toute suite convergeant vers a en une suite convergeant vers f(a).

💡 Astuce mémo

ε fixe la précision dans l’image, η choisit le voisinage dans la source.

📖 3. Continuité globale et composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité globale : Une application est continue sur X lorsqu’elle est continue en tout point de X ; l’ensemble de ces applications est noté C(X,Y).

📝 Points essentiels

• Une application entre espaces métriques est continue si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert, ou de tout fermé, de l’espace d’arrivée est respectivement un ouvert, ou un fermé, de l’espace de départ.

📌 Si f est continue en a et g est continue en f(a), alors la composée g ◦ f est continue en a.

💡 Astuce mémo

L’image réciproque ramène les ouverts et fermés de l’arrivée vers le départ.

📖 4. Continuité sur les produits

★ À maîtriser

• Dans un produit fini d’espaces métriques muni d’une distance produit compatible, chaque projection canonique vers un facteur est continue.

• Une application vers un produit fini d’espaces métriques est continue si et seulement si chacune de ses composantes est continue.

Compléments

• Si une application définie sur un produit est continue, chacune de ses applications partielles obtenue en fixant les autres variables est continue.

• La fonction f(x₁,x₂)=x₁x₂/(x₁²+x₂²) hors de (0,0), prolongée par f(0,0)=0, est séparément continue en (0,0) mais n’y est pas continue.

📖 5. Prolongement et opérations continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Prolongement par continuité : Un prolongement par continuité d’une application ϕ définie sur A à X est une application continue f:X→Y dont la restriction à A est ϕ.

★ À maîtriser

📌 Si deux applications continues de X vers un espace métrique sont égales sur une partie dense D de X, alors elles sont égales sur tout X.

• Pour des fonctions continues à valeurs dans R ou C, la somme, le produit et le produit par un scalaire sont continus, et l’inverse est continu lorsque la fonction ne s’annule pas.

Compléments

• La restriction à une partie A d’une application continue f:X→Y est continue pour la distance induite sur A.

📖 6. Homéomorphismes et propriétés topologiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Homéomorphisme : Un homéomorphisme de X vers Y est une bijection continue dont la fonction réciproque est continue.
• Propriété topologique : Une propriété est de nature topologique si elle est préservée par homéomorphisme.

★ À maîtriser

• Pour une bijection continue entre espaces métriques, être un homéomorphisme équivaut à être une application ouverte, et équivaut aussi à être une application fermée.

Compléments

• Toute fonction continue strictement monotone sur un intervalle I induit un homéomorphisme de I sur son image ; Arctan est un homéomorphisme de R sur ]−π/2,π/2[.

📖 7. Continuité uniforme et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité uniforme : Une application f:X→Y est uniformément continue si, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que dX(x₁,x₂) < η implique dY(f(x₁),f(x₂)) < ε pour tous x₁,x₂ ∈ X.
• Application lipschitzienne : Une application f:X→Y est lipschitzienne de rapport k ≥ 0 si dY(f(x₁),f(x₂)) ≤ k dX(x₁,x₂) pour tous x₁,x₂ ∈ X.
• Contraction : Une application lipschitzienne de rapport k < 1 est appelée contractante.
• Isométrie : Une isométrie est une bijection qui préserve les distances entre tous les couples de points ; deux espaces reliés par une isométrie sont dits isométriques.

📝 Points essentiels

• Toute application lipschitzienne est uniformément continue, mais il existe des applications uniformément continues qui ne sont pas lipschitziennes.

💡 Astuce mémo

Lipschitz implique uniforme, qui implique continue.

📖 8. Continuité dans les espaces normés

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité normée : Pour des espaces vectoriels normés E et F, f:E→F est continue en a si, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que ∥x−a∥E < η implique ∥f(x)−f(a)∥F < ε.

★ À maîtriser

📐 Formule - La norme vérifie $|\|y\|_E-\|x\|_E|\leq\|y-x\|_E$ pour tous x,y ∈ E, donc elle est 1-lipschitzienne et continue.

• L’ensemble C(X,F) des applications continues d’un espace métrique X vers un espace vectoriel normé F est un sous-espace vectoriel de F^X.

Compléments

• Dans un espace vectoriel normé, les applications addition E²→E, (x,y)↦x+y, et multiplication scalaire K×E→E, (λ,x)↦λx, sont continues pour les normes produit compatibles.

📖 9. Applications linéaires continues

★ À maîtriser

• Les propriétés équivalentes d’une application linéaire T sont : la continuité sur E, la continuité en 0E, la bornitude sur la boule unité, l’existence de c ≥ 0 telle que ∥T(x)∥F ≤ c∥x∥E pour tout x, la propriété lipschitzienne

Compléments

• L’ensemble des applications linéaires continues de E vers F est un sous-espace vectoriel de l’espace des applications linéaires de E vers F.

📖 10. Normes d’opérateurs et équivalence

★ À maîtriser

📐 Formule - La norme d’opérateur d’une application linéaire continue T:E→F vérifie $\|\!\|\!\|T\|\!\|\!\|_{E,F}=\sup_{\|x\|_E=1}\|T(x)\|_F=\sup_{\|x\|_E\leq1}\|T(x)\|_F=\sup_{x\neq0}\frac{\|T(x)\|_F}{\|x\|_E}.$

• La norme d’opérateur de T est la plus petite constante c ≥ 0 telle que ∥T(x)∥F ≤ c∥x∥E pour tout x, et elle définit une norme sur l’espace des applications linéaires continues.

• Deux normes topologiquement équivalentes sur un espace vectoriel sont Lipschitz-équivalentes.

Compléments

📌 Si une norme ∥·∥₂ est plus forte qu’une norme ∥·∥₁ sur E, il existe c ≥ 0 tel que ∥x∥₁ ≤ c∥x∥₂ pour tout x ∈ E.

📐 Formule - Pour T:E→F et S:F→G linéaires continues, $\|\!\|\!\|S\circ T\|\!\|\!\|_{E,G}\leq\|\!\|\!\|S\|\!\|\!\|_{F,G}\,\|\!\|\!\|T\|\!\|\!\|_{E,F}.$