QCM : Continuité en espaces métriques (25 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise la continuité d’une application ff en un point aa entre espaces métriques ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 tel que dX(x,a)<ηd_X(x,a)<\eta entraîne dY(f(x),f(a))<εd_Y(f(x),f(a))<\varepsilon pour tout x∈Xx\in X.
Il existe ε>0\varepsilon>0 tel que, pour tout η>0\eta>0, dX(x,a)<ηd_X(x,a)<\eta entraîne dY(f(x),f(a))<εd_Y(f(x),f(a))<\varepsilon pour tout x∈Xx\in X.
Pour tout η>0\eta>0, il existe ε>0\varepsilon>0 tel que dY(f(x),f(a))<εd_Y(f(x),f(a))<\varepsilon entraîne dX(x,a)<ηd_X(x,a)<\eta pour tout x∈Xx\in X.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 tel que dX(x,a)<εd_X(x,a)<\varepsilon entraîne dY(f(x),f(a))<ηd_Y(f(x),f(a))<\eta pour tout x∈Xx\in X.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$\eta>0$$ tel que $$d_X(x,a)<\eta$$ entraîne $$d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$$ pour tout $$x\in X$$.

Explication

La continuité en aa exige que chaque précision ε\varepsilon dans l’espace d’arrivée soit garantie par un rayon η\eta approprié autour de aa. La deuxième proposition inverse les quantificateurs et ne donne donc pas cette condition.

2. Dans la définition de la continuité en un point, quelle modification des inégalités conserve une condition équivalente ?

Remplacer les inégalités strictes par des égalités et remplacer ε\varepsilon par cεc\varepsilon pour une constante c>0c>0.
Remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges et remplacer ε\varepsilon par ε−c\varepsilon-c pour une constante c>0c>0.
Remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges et remplacer ε\varepsilon par cεc\varepsilon pour une constante c>0c>0.
Remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges et remplacer η\eta par c−ηc-\eta pour une constante c>0c>0.

Remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges et remplacer $$\varepsilon$$ par $$c\varepsilon$$ pour une constante $$c>0$$.

Explication

Les inégalités strictes peuvent être remplacées par des inégalités larges, et toute mise à l’échelle positive de ε\varepsilon préserve la définition. Soustraire une constante positive à ε\varepsilon ne constitue pas une transformation équivalente pour toutes les précisions.

3. Quelle caractérisation par les voisinages exprime la continuité de ff en aa ?

Pour tout voisinage VV de f(a)f(a), il existe un voisinage UU de aa tel que V⊂f(U)V\subset f(U), ce qui équivaut à ce que f−1(V)f^{-1}(V) soit contenu dans UU.
Pour tout voisinage VV de f(a)f(a), il existe un voisinage UU de aa tel que f(U)⊂Vf(U)\subset V, ce qui équivaut à ce que f−1(V)f^{-1}(V) soit un voisinage de aa.
Pour tout voisinage UU de aa, il existe un voisinage VV de f(a)f(a) tel que f(U)⊂Vf(U)\subset V, ce qui équivaut à ce que f−1(V)f^{-1}(V) soit un voisinage de chaque point de UU.
Pour tout voisinage VV de f(a)f(a), il existe un voisinage UU de aa tel que f(U)∩V=∅f(U)\cap V=\varnothing, ce qui équivaut à ce que f−1(V)f^{-1}(V) soit disjoint de UU.

Pour tout voisinage $$V$$ de $$f(a)$$, il existe un voisinage $$U$$ de $$a$$ tel que $$f(U)\subset V$$, ce qui équivaut à ce que $$f^{-1}(V)$$ soit un voisinage de $$a$$.

Explication

La continuité en aa signifie que tout voisinage de f(a)f(a) contient l’image d’un voisinage de aa; de façon équivalente, son image réciproque est un voisinage de aa. L’inclusion inversée proposée dans un distracteur ne garantit pas que les valeurs proches de f(a)f(a) soient atteintes depuis un voisinage de aa.

4. Comment la continuité en aa peut-elle être caractérisée à l’aide des suites dans des espaces métriques ?

Toute suite convergeant vers aa est transformée par ff en une suite constante égale à f(a)f(a), et cette propriété équivaut à la continuité en aa.
Toute suite convergeant vers aa est transformée par ff en une suite convergeant vers f(a)f(a), et cette propriété équivaut à la continuité en aa.
Toute suite convergeant vers f(a)f(a) est transformée par ff en une suite convergeant vers aa, et cette propriété équivaut à la continuité en aa.
Toute suite convergeant vers aa est transformée par ff en une suite convergeant vers un point de l’espace d’arrivée, et cette propriété équivaut à la continuité en aa.

Toute suite convergeant vers $$a$$ est transformée par $$f$$ en une suite convergeant vers $$f(a)$$, et cette propriété équivaut à la continuité en $$a$$.

Explication

La continuité en aa équivaut à la préservation des limites des suites convergeant vers aa, leur image devant converger vers f(a)f(a). La convergence vers un point quelconque de l’espace d’arrivée ne fixe pas la limite requise.

5. Que signifie dire qu’une application est continue sur tout son domaine XX, et quelle notation désigne l’ensemble de ces applications ?

Elle est continue en chaque point de l’espace d’arrivée YY, et l’ensemble de ces applications se note C(X,Y)C(X,Y).
Elle est continue en au moins un point de XX, et l’ensemble de ces applications se note C(X,Y)C(X,Y).
Elle envoie chaque point de XX sur une valeur identique, et l’ensemble de ces applications se note C(X,Y)C(X,Y).
Elle est continue en chaque point de XX, et l’ensemble de ces applications se note C(X,Y)C(X,Y).

Elle est continue en chaque point de $$X$$, et l’ensemble de ces applications se note $$C(X,Y)$$.

Explication

La continuité sur XX est la continuité en tout point du domaine, et les applications continues de XX vers YY sont notées C(X,Y)C(X,Y). Être continue en un seul point ne suffit pas à établir la continuité sur tout le domaine.

6. Quelle propriété des images réciproques caractérise la continuité d’une application entre espaces métriques ?

L’image réciproque de tout ouvert est un fermé et celle de tout fermé est un ouvert dans l’espace de départ.
L’image réciproque de tout ouvert est un ouvert et celle de tout fermé est un ouvert dans l’espace de départ.
L’image réciproque de tout ouvert est un ouvert et celle de tout fermé est un fermé dans l’espace de départ.
L’image directe de tout ouvert est un ouvert et celle de tout fermé est un fermé dans l’espace d’arrivée.

L’image réciproque de tout ouvert est un ouvert et celle de tout fermé est un fermé dans l’espace de départ.

Explication

La continuité équivaut à la préservation, par image réciproque, des ouverts et des fermés vers des ensembles de même type dans l’espace de départ. Le comportement de l’image directe des ouverts ou des fermés n’est pas la caractérisation donnée.

7. Si ff est continue en aa et gg est continue en f(a)f(a), en quel point la composée g∘fg\circ f est-elle continue ?

En aa, puisque la continuité de ff en aa et celle de gg en f(a)f(a) s’enchaînent.
En tout point du domaine de ff, puisque les deux hypothèses assurent la continuité globale.
En g(f(a))g(f(a)), puisque la continuité de la composée se situe dans l’espace d’arrivée.
En f(a)f(a), puisque la continuité de gg se transmet à la valeur prise par ff.

En $$a$$, puisque la continuité de $$f$$ en $$a$$ et celle de $$g$$ en $$f(a)$$ s’enchaînent.

Explication

La continuité de ff en aa et celle de gg au point atteint f(a)f(a) impliquent que g∘fg\circ f est continue en aa. Ces hypothèses locales ne suffisent pas à conclure que la composée est continue sur tout le domaine de ff.

8. Pour une application définie sur un espace métrique et à valeurs dans un produit fini d’espaces métriques, quelle condition caractérise sa continuité ?

Chacune de ses composantes est continue.
Une de ses composantes est continue.
Son image est un sous-ensemble fermé du produit.
Chaque projection du produit est ouverte.

Chacune de ses composantes est continue.

Explication

La continuité d’une application vers un produit fini équivaut à la continuité de chacune de ses composantes. La continuité d’une seule composante ne suffit pas à garantir celle de l’application entière.

9. Dans un produit fini d’espaces métriques muni d’une distance produit compatible, quel est le statut de chaque projection canonique vers un facteur ?

Elle est continue seulement sur les sous-ensembles fermés.
Elle est ouverte et nécessairement non continue.
Elle est continue.
Elle est continue si chaque autre facteur est compact.

Elle est continue.

Explication

Avec une distance produit compatible, chaque projection canonique vers un facteur est continue. La compacité des autres facteurs n’est pas une condition requise pour cette continuité.

10. Deux applications continues d’un espace métrique vers un espace métrique coïncident sur une partie dense ; que peut-on en conclure ?

Elles coïncident sur tout l’espace si leur image est fermée.
Elles coïncident seulement sur l’adhérence de cette partie si elle est compacte.
Elles peuvent différer hors de la partie dense.
Elles coïncident sur tout l’espace.

Elles coïncident sur tout l’espace.

Explication

La continuité et la densité de la partie où les applications coïncident imposent leur égalité sur tout l’espace. Le fait que leurs images soient fermées n’est pas une condition nécessaire à cette conclusion.

11. Que signifie prolonger par continuité une application définie sur une partie A d’un espace X ?

Étendre l’application à X en préservant sa continuité seulement sur A.
Définir une application continue sur X qui coïncide avec l’application donnée sur A.
Définir une application continue sur A qui s’étend à un sous-ensemble de X.
Remplacer l’application sur A par une application continue ayant la même image.

Définir une application continue sur X qui coïncide avec l’application donnée sur A.

Explication

Un prolongement par continuité est une application continue définie sur X dont la restriction à A est l’application initiale. La continuité sur A seule ne garantit pas que l’application étendue soit continue sur X.

12. Si une fonction continue à valeurs réelles ne s’annule pas, quelle opération conserve la continuité parmi celles-ci ?

Prendre son logarithme sans condition sur ses valeurs.
Prendre sa racine carrée sans condition sur ses valeurs.
Prendre son inverse même si elle s’annule en certains points.
Prendre son inverse.

Prendre son inverse.

Explication

L’inverse d’une fonction continue est continu lorsque cette fonction ne s’annule pas. Si elle s’annule en certains points, son inverse n’y est pas définie, contrairement à la condition posée dans la question.

13. Quelle condition définit un homéomorphisme d’un espace X vers un espace Y ?

C’est une bijection continue qui préserve les distances.
C’est une application continue et surjective dont la réciproque est continue.
C’est une bijection ouverte dont la réciproque est discontinue.
C’est une bijection continue dont la réciproque est continue.

C’est une bijection continue dont la réciproque est continue.

Explication

Un homéomorphisme est une bijection continue dont la fonction réciproque est elle aussi continue. Préserver les distances est une exigence plus forte qui caractérise notamment les isométries, et non les homéomorphismes en général.

14. Pour une bijection continue entre espaces métriques, quelle propriété équivaut au fait d’être un homéomorphisme ?

Être une application injective, ou de façon équivalente une application bornée.
Être une application fermée, ou de façon équivalente une application lipschitzienne.
Être une application surjective, ou de façon équivalente une application uniforme.
Être une application ouverte, ou de façon équivalente une application fermée.

Être une application ouverte, ou de façon équivalente une application fermée.

Explication

Pour une bijection continue entre espaces métriques, être un homéomorphisme équivaut à être ouverte et équivaut également à être fermée. Une application lipschitzienne n’est pas nécessairement un homéomorphisme, car sa réciproque peut ne pas être continue.

15. Quelle condition caractérise la continuité uniforme d’une application entre deux espaces métriques ?

Pour toute paire de points, il existe un ε > 0 qui borne la distance entre leurs images.
Pour tout point x et tout ε > 0, un η dépendant de x contrôle les images des points proches de x.
Pour tout ε > 0, les images de deux points sont à distance inférieure à ε dès que leur distance est inférieure à ε.
Pour tout ε > 0, un même η > 0 contrôle les distances entre images pour toutes les paires de points.

Pour tout ε > 0, un même η > 0 contrôle les distances entre images pour toutes les paires de points.

Explication

La continuité uniforme exige que le seuil η choisi pour un ε donné convienne simultanément à toutes les paires de points du domaine. Un seuil qui peut dépendre du point, comme dans la continuité ordinaire, ne garantit pas cette uniformité.

16. Quelle relation entre continuité uniforme et propriété lipschitzienne est correcte ?

Toute application lipschitzienne est uniformément continue, mais la réciproque est fausse en général.
Les applications lipschitziennes et uniformément continues sont exactement les mêmes.
Une application lipschitzienne est continue en chaque point, sans être nécessairement uniformément continue.
Toute application uniformément continue est lipschitzienne, mais la réciproque est fausse en général.

Toute application lipschitzienne est uniformément continue, mais la réciproque est fausse en général.

Explication

Une borne lipschitzienne permet de choisir un seuil uniforme adapté à chaque ε, donc toute application lipschitzienne est uniformément continue. La réciproque échoue, car certaines applications uniformément continues ne sont pas lipschitziennes.

17. Comment appelle-t-on une application lipschitzienne dont le rapport est inférieur à 1 ?

Une application isométrique
Une application de rapport unitaire
Une application uniformément ouverte
Une application contractante

Une application contractante

Explication

Une application lipschitzienne de rapport k < 1 est dite contractante. Une isométrie, en revanche, préserve les distances entre les points et n’est pas définie par un rapport inférieur à 1.

18. Que signifie qu’une application entre espaces vectoriels normés est continue au point a ?

Pour chaque ε > 0, il existe η > 0 tel que ∥x−a∥E < η entraîne ∥f(x)−f(a)∥F < ε.
Il existe un η > 0 tel que, pour chaque x, ∥x−a∥E < η entraîne f(x) = f(a).
Pour chaque η > 0, il existe ε > 0 tel que ∥f(x)−f(a)∥F < ε entraîne ∥x−a∥E < η.
Pour chaque ε > 0, il existe η > 0 tel que ∥x−a∥E < η entraîne ∥f(x)∥F < ε.

Pour chaque ε > 0, il existe η > 0 tel que ∥x−a∥E < η entraîne ∥f(x)−f(a)∥F < ε.

Explication

La continuité en a contrôle l’écart entre f(x) et f(a) par l’écart entre x et a, avec un η choisi en fonction de ε. Contrôler la norme de f(x) sans la comparer à f(a) ne correspond pas à cette définition.

19. Pourquoi l’application qui associe à chaque vecteur sa norme est-elle continue dans un espace normé ?

La norme de chaque vecteur est égale à la distance entre ce vecteur et tout autre vecteur.
La différence entre les normes de deux vecteurs est majorée par la norme de leur différence.
La somme des normes de deux vecteurs est égale à la norme de leur différence.
La norme de la différence de deux vecteurs est majorée par la différence de leurs normes.

La différence entre les normes de deux vecteurs est majorée par la norme de leur différence.

Explication

L’inégalité triangulaire inversée donne |∥y∥E−∥x∥E| ≤ ∥y−x∥E, ce qui montre que l’application norme est 1-lipschitzienne et donc continue. La norme de la différence n’est pas en général majorée par la différence des normes.

20. Quelle structure possède l’ensemble des applications continues de X vers un espace vectoriel normé F ?

C’est une partie de F^X stable par composition, mais pas nécessairement par addition.
C’est un sous-espace vectoriel de l’espace F^X de toutes les applications de X vers F.
C’est un sous-espace vectoriel de l’espace des applications de F vers X.
C’est un sous-espace affine de F^X qui ne contient pas nécessairement l’application nulle.

C’est un sous-espace vectoriel de l’espace F^X de toutes les applications de X vers F.

Explication

Les applications continues de X vers F forment un sous-espace vectoriel de F^X, l’espace de toutes les applications de X vers F. La stabilité par composition ne remplace pas la structure vectorielle et n’est pas la propriété énoncée ici.

21. Pour une application linéaire entre espaces normés, quelle propriété équivaut à sa continuité sur tout son domaine ?

Il existe c ≥ 0 tel que ∥T(x)∥F ≥ c∥x∥E pour tout x de E.
Il existe c ≥ 0 tel que ∥T(x)∥F ≤ c∥x∥E pour tout x de E.
L’image de la boule unité contient la boule unité de F.
L’application préserve la norme de chaque vecteur de E.

Il existe c ≥ 0 tel que ∥T(x)∥F ≤ c∥x∥E pour tout x de E.

Explication

Pour une application linéaire, la continuité équivaut notamment à l’existence d’une constante c qui majore la norme de T(x) par c∥x∥E pour tout x. Une minoration de la norme exprime une propriété différente et n’est pas l’équivalence caractéristique donnée.

22. Quelle structure forme l’ensemble des applications linéaires continues de E vers F ?

Un sous-espace vectoriel de l’espace des applications linéaires de E vers F.
Un sous-espace vectoriel de l’espace des applications continues de F vers E.
Un sous-espace affine de l’espace des applications linéaires de E vers F.
Une partie stable par composition, sans stabilité requise par addition.

Un sous-espace vectoriel de l’espace des applications linéaires de E vers F.

Explication

Les applications linéaires continues de E vers F forment un sous-espace vectoriel de l’espace de toutes les applications linéaires entre ces espaces. Les applications de F vers E ont le sens opposé et ne constituent pas l’espace ambiant visé.

23. Comment peut-on exprimer la norme d’opérateur d’une application linéaire continue T:E→FT:E\to F à l’aide du rapport entre les normes de T(x)T(x) et de xx ?

sup⁡∥x∥E=1∥x∥E\sup_{\|x\|_E=1}\|x\|_E
sup⁡x≠0∥T(x)∥F∥x∥E\sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|_F}{\|x\|_E}
inf⁡x≠0∥T(x)∥F∥x∥E\inf_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|_F}{\|x\|_E}
sup⁡x≠0∥x∥E∥T(x)∥F\sup_{x\neq 0}\frac{\|x\|_E}{\|T(x)\|_F}

$$\sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|_F}{\|x\|_E}$$

Explication

La norme d’opérateur est le supremum du rapport entre la norme de l’image et celle du vecteur non nul. L’infimum de ce rapport mesure une borne inférieure et ne caractérise pas la norme d’opérateur.

24. Quelle propriété caractérise la norme d’opérateur de TT parmi les constantes qui bornent ∥T(x)∥F\|T(x)\|_F par rapport à ∥x∥E\|x\|_E ?

C’est la plus petite constante c≥0c\geq 0 telle que ∥T(x)∥F≤c∥x∥E\|T(x)\|_F\leq c\|x\|_E pour tout xx.
C’est la plus petite constante c≥0c\geq 0 telle que ∥x∥E≤c∥T(x)∥F\|x\|_E\leq c\|T(x)\|_F pour tout xx.
C’est la plus grande constante c≥0c\geq 0 telle que ∥T(x)∥F≤c∥x∥E\|T(x)\|_F\leq c\|x\|_E pour tout xx.
C’est une constante positive qui borne ∥T(x)∥F\|T(x)\|_F pour un vecteur fixé de EE.

C’est la plus petite constante $$c\geq 0$$ telle que $$\|T(x)\|_F\leq c\|x\|_E$$ pour tout $$x$$.

Explication

La norme d’opérateur est la plus petite constante qui fournit cette majoration pour tous les vecteurs de EE. Une constante qui convient pour un seul vecteur ne garantit pas la borne sur tout l’espace.

25. Si deux normes sur un même espace vectoriel sont topologiquement équivalentes, quelle relation existe entre elles ?

Elles sont Lipschitz-équivalentes.
L’une est toujours plus forte que l’autre sans constante de comparaison.
Elles définissent des topologies opposées.
Elles sont égales sur chaque vecteur.

Elles sont Lipschitz-équivalentes.

Explication

L’équivalence topologique de deux normes sur un espace vectoriel entraîne leur équivalence Lipschitz. Elle n’impose pas que les deux normes aient les mêmes valeurs sur chaque vecteur.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 47 flashcards sur Continuité en espaces métriques.

Quelle condition définit la continuité de f:X→Yf:X\to Y en aa entre espaces métriques ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 tel que dX(x,a)<ηd_X(x,a)<\eta implique dY(f(x),f(a))<εd_Y(f(x),f(a))<\varepsilon pour tout x∈Xx\in X.

Quelle condition caractérise la continuité de f en a par les voisinages de f(a) ?

Pour tout voisinage V de f(a), il existe un voisinage U de a tel que f(U) ⊂ V.

Que caractérise f⁻¹(V) lorsque f est continue en a et V est un voisinage de f(a) ?

f⁻¹(V) est un voisinage de a.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Continuité en espaces métriques.

Voir la fiche →

Cours similaires

Atmosphère terrestre et vie

SVT

Dynamique interne de la Terre

SVT

Structure sociale française

SVT

Climat, cryosphère et atmosphère

SVT

Introduction à la génomique et analyses

SVT

Écologie de la santé

SVT

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM