Quelle condition définit la continuité de en entre espaces métriques ?
Pour tout , il existe tel que implique pour tout .
Quelle condition caractérise la continuité de f en a par les voisinages de f(a) ?
Pour tout voisinage V de f(a), il existe un voisinage U de a tel que f(U) ⊂ V.
Que caractérise f⁻¹(V) lorsque f est continue en a et V est un voisinage de f(a) ?
f⁻¹(V) est un voisinage de a.
Comment une application métrique continue en a transforme-t-elle toute suite convergeant vers a ?
En une suite convergeant vers f(a).
Quand une application est-elle continue sur tout l’ensemble de départ X ?
Lorsqu’elle est continue en tout point de X.
Comment note-t-on l’ensemble des applications continues de X vers Y ?
Quel critère caractérise la continuité via les ouverts entre espaces métriques ?
L’image réciproque de tout ouvert de l’espace d’arrivée est un ouvert de l’espace de départ.
Quel critère caractérise la continuité via les fermés entre espaces métriques ?
L’image réciproque de tout fermé de l’espace d’arrivée est un fermé de l’espace de départ.
Sous quelles hypothèses la composée est-elle continue en ?
Si est continue en et en .
Que peut-on dire de chaque projection canonique d’un produit fini d’espaces métriques ?
Elle est continue.
Quelle condition caractérise la continuité d’une application vers un produit fini d’espaces métriques ?
Toutes ses composantes sont continues.
Qu’est-ce qu’un prolongement par continuité de ϕ définie sur A à X ?
Une application continue f:X→Y dont la restriction à A est ϕ.
Que peut-on conclure si deux applications continues de X vers un espace métrique coïncident sur une partie dense D ?
Elles sont égales sur tout X.
Quelles opérations préservent la continuité des fonctions à valeurs dans ℝ ou ℂ ?
La somme, le produit et le produit par un scalaire.
Quand l’inverse d’une fonction continue à valeurs dans ℝ ou ℂ est-il continu ?
Lorsque la fonction ne s’annule pas.
Quelles conditions définissent un homéomorphisme de X vers Y ?
C’est une bijection continue dont la réciproque est continue.
Pour une bijection continue entre espaces métriques, à quoi équivaut le fait d’être un homéomorphisme ?
À être une application ouverte ou une application fermée.
Quelle condition définit la continuité uniforme de ?
Pour tout , il existe tel que implique pour tous .
Quelle inégalité définit une application lipschitzienne de rapport ?
pour tous .
Quelle propriété de continuité possède toute application lipschitzienne ?
Elle est uniformément continue.
Quel contre-exemple existe parmi les applications uniformément continues ?
Certaines ne sont pas lipschitziennes.
Quand une application normée est-elle continue en ?
Pour tout , il existe tel que implique .
Quelle inégalité vérifie la norme pour ?
.
Quelle est la constante de Lipschitz de l’application norme ?
1.
Quelle structure possède dans ?
C’est un sous-espace vectoriel.
Pour une application linéaire entre espaces normés, quelles propriétés sont équivalentes ?
La continuité sur E, la continuité en 0, la bornitude sur la boule unité, une majoration de la norme et la propriété lipschitzienne.
Comment exprimer la norme d’opérateur de par un supremum sur les vecteurs de norme unité ?
Quelle est la plus petite constante contrôlant par pour tout ?
La norme d’opérateur de .
Sur quel espace la norme d’opérateur de définit-elle une norme ?
L’espace des applications linéaires continues.
Quel lien existe entre deux normes topologiquement équivalentes sur un espace vectoriel ?
Elles sont Lipschitz-équivalentes.
Dans la définition de la continuité en un point, quelles inégalités strictes peut-on remplacer par des inégalités larges ?
Les deux inégalités strictes.
Par quel seuil peut-on remplacer dans la définition de la continuité en un point ?
Par , pour toute constante .
Que peut-on dire des applications partielles d’une application continue définie sur un produit ?
Elles sont continues lorsqu’on fixe les autres variables.
Quel est le comportement en (0,0) de la fonction prolongée f(x₁,x₂)=x₁x₂/(x₁²+x₂²) ?
Elle est séparément continue, mais n’est pas continue.
Quelle propriété possède la restriction à A d’une application continue f:X→Y ?
Elle est continue pour la distance induite sur A.
Que donne une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I ?
Un homéomorphisme de I sur son image.
Quel homéomorphisme Arctan réalise-t-elle ?
Un homéomorphisme de ℝ sur ]−π/2, π/2[.
Quand une propriété est-elle de nature topologique ?
Lorsqu’elle est préservée par homéomorphisme.
Comment appelle-t-on une application lipschitzienne de rapport ?
Une contraction.
Quelles propriétés définissent une isométrie entre deux espaces ?
C’est une bijection qui préserve les distances entre tous les couples de points.
Comment appelle-t-on deux espaces reliés par une isométrie ?
Des espaces isométriques.
Quelles applications algébriques sont continues dans un espace normé ?
L’addition et la multiplication scalaire.
Quel est l’ensemble de départ de l’application addition dans ?
.
Quel est l’ensemble de départ de la multiplication scalaire dans ?
.
Quel est le statut des applications linéaires continues de E vers F parmi les applications linéaires ?
Elles forment un sous-espace vectoriel.
Que garantit une norme plus forte que sur ?
Il existe tel que pour tout .
Quelle inégalité vérifient les normes d’opérateur de , et ?
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1. Quelle condition caractérise la continuité d’une application en un point entre espaces métriques ?
2. Dans la définition de la continuité en un point, quelle modification des inégalités conserve une condition équivalente ?
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