Fiche de révision : Courants alternatifs sinusoïdaux

📋 Plan du Cours

1. Mesure des tensions à l’oscilloscope
2. Grandeurs sinusoïdales et valeurs efficaces
3. Comportement des dipôles fondamentaux
4. Impédance des dipôles
5. Association série résistance-condensateur
6. Vecteurs de Fresnel et circuit série RLC

📖 1. Mesure des tensions à l’oscilloscope

★ À maîtriser

• L’oscilloscope mesure simultanément deux tensions du circuit sur deux voies, référencées à une masse commune.

📌 Le mode DC affiche l’intégralité du signal, tandis que le mode AC élimine les signaux de basse fréquence, notamment les tensions continues.

Compléments

📌 La masse de l’oscilloscope est commune aux deux voies et ne se branche qu’une seule fois sur la masse du générateur.

• En mode GND, le signal affiché vaut zéro ; le réglage de position verticale permet de placer la droite horizontale à l’écran.

• La base de temps de l’oscilloscope indique la durée représentée par un carreau horizontal, en secondes ou sous-multiples.

📖 2. Grandeurs sinusoïdales et valeurs efficaces

★ À maîtriser

📐 Formule - Une tension sinusoïdale s’écrit $u_{BA}(t)=U_{BA}\cos(\omega t+\phi)$, où $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

📐 Formule - Pour deux tensions sinusoïdales, le déphasage vaut $\Delta\phi=\phi'-\phi=\omega\Delta t=\frac{2\pi}{T}\Delta t$.

📐 Formule - La valeur moyenne d’une tension sur une période est $\langle u(t)\rangle=\frac{1}{T}\int u(t)\,dt$ ; pour une tension sinusoïdale, elle est nulle.

📐 Formule - La valeur efficace d’une tension est $U_{\mathrm{eff}}=\sqrt{\langle u(t)^2\rangle}$ et se mesure au voltmètre en position AC.

📐 Formule - Pour un signal sinusoïdal, $U_{\mathrm{eff}}=\frac{U_{\max}}{\sqrt{2}}$ et $I_{\mathrm{eff}}=\frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}$.

📐 Formule - La puissance en régime sinusoïdal vaut $P=I_{\mathrm{eff}}U_{\mathrm{eff}}\cos(\Delta\varphi)$, où $\Delta\varphi$ est le déphasage entre l’intensité et la tension aux bornes du dipôle.

Compléments

• Lorsque la tension change de signe, le courant change de sens ; son signe dépend de son orientation par rapport au sens de référence du conducteur.

📌 Un oscilloscope ne mesure pas directement l’intensité du courant.

📐 Formule - L’intensité sinusoïdale s’écrit $i(t)=I_{\max}\cos(\omega t+\phi'')$.

📖 3. Comportement des dipôles fondamentaux

★ À maîtriser

• Une résistance vérifie la loi d’Ohm instantanée $u(t)=Ri(t)$.

• Dans une résistance, la tension et l’intensité sont en phase.

• Dans un condensateur, la tension est en quadrature retard par rapport à l’intensité, soit un retard de phase de $\frac{\pi}{2}$.

• Dans une bobine, la tension est en quadrature avance par rapport à l’intensité, soit une avance de phase de $\frac{\pi}{2}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un condensateur, si $i(t)=I_{\max}\cos(\omega t+\phi_i)$, alors $u(t)=\frac{I_{\max}}{C\omega}\cos(\omega t+\phi_i-\frac{\pi}{2})$.

📐 Formule - Pour une bobine, $u(t)=L\omega I_{\max}\cos(\omega t+\frac{\pi}{2})$ lorsque $i(t)=I_{\max}\cos(\omega t)$.

💡 Astuce mémo

Résistance : tension et courant en phase ; condensateur : tension en retard ; bobine : tension en avance.

📖 4. Impédance des dipôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Impédance : L’impédance d’un dipôle est le rapport de l’amplitude de la tension à l’amplitude de l’intensité, $Z=\frac{U_{\max}}{I_{\max}}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une résistance, l’impédance vaut $Z=R$.

📐 Formule - Pour un condensateur, l’impédance vaut $Z=\frac{1}{C\omega}$.

📐 Formule - Pour une bobine, l’impédance vaut $Z=L\omega$.

📖 5. Association série résistance-condensateur

★ À maîtriser

📌 Dans une association série résistance-condensateur, la tension totale vérifie $u_{AB}=u_R+u_C$.

• La méthode de Fresnel associe à une grandeur sinusoïdale un vecteur tournant à la vitesse angulaire $\omega$, photographié à $t=0$, dont la norme est proportionnelle à l’amplitude et dont la direction forme l’angle de phase avec l’axe Ox.

📐 Formule - Pour le circuit série RC, $U_{AB,\max}=I_{\max}\sqrt{R^2+\frac{1}{(C\omega)^2}}$.

📐 Formule - Pour le circuit série RC, le déphasage vérifie $\tan(\varphi)=\frac{1}{RC\omega}$, donc $\varphi=\arctan\left(\frac{1}{RC\omega}\right)$.

Compléments

📐 Formule - Avec l’intensité comme origine des phases, $u_R=RI_{\max}\cos(\omega t)$ et $u_C=\frac{I_{\max}}{C\omega}\cos(\omega t-\frac{\pi}{2})$.

📐 Formule - La fréquence et la pulsation sont liées par $f=\frac{1}{T}$ et $\omega=2\pi f$.

📖 6. Vecteurs de Fresnel et circuit série RLC

📝 Points essentiels

📌 Dans une association série résistance-bobine, la tension totale vérifie $u_{AB}=u_R+u_L$.

📌 Dans une association série résistance-bobine, la tension totale $u_{AB}$ est en avance de phase sur l’intensité $i$.