Cours de Mathématiques : Fonctions, Suites et Probabilités

📋 Plan du Cours

1. Trinôme du second degré
2. Suites numériques et géométriques
3. Tangentes et dérivée
4. Probabilités conditionnelles
5. Variables aléatoires
6. Variations et optimisation
7. Fonction exponentielle
8. Droites et cercles

📖 1. Trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction polynôme de la forme $A(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme s’écrit $A(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ donnent le sommet $S(\alpha,\beta)$ de la parabole.
• Si $\Delta<0$, le trinôme n’a aucune racine réelle et $A(x)$ garde toujours le signe de $a$.
• Si $\Delta=0$, il a une unique racine réelle $\alpha$ et $A(x)=a(x-\alpha)^2$, donc $A(x)$ garde toujours le signe de $a$.
• Si $\Delta>0$, il a deux racines $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, avec $A(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $\Delta>0$, $A(x)$ est de même signe que $a$ en dehors des racines et de signe opposé entre $x_1$ et $x_2$.
• Quand $a>0$, $\beta$ est la valeur minimale du trinôme, et quand $a<0$, c’est la valeur maximale.

💡 Astuce mémo

Delta-bilan : $\Delta=b^2-4ac$ ; <0 aucun réel, =0 double racine, >0 deux racines + factorisation.