Fiche de révision : Cours Fondamental de Mathématiques Avancées

📋 Plan du Cours

Logique et raisonnement mathématique
Fonctions, bijections et ensembles infinis
Combinatoire et formules du binôme
Relations d’équivalence et exemples
Pour tout x, y, z ∈ R∗ alors x × ( y × z) = (x × y) × z, c’est l’associativité de la multiplication des nombres réels
Arithmétique : division euclidienne, pgcd et ppcm
Les solutions sont de la forme x = x0 + n pgcd(a,n) , ∈ Z où x0 est une solution particulière
Groupes et morphismes de groupes
Systèmes linéaires et méthodes de résolution
Matrices : opérations élémentaires et propriétés
Espaces vectoriels : définitions, bases et dimension
Changement de base et calcul du déterminant

📖 1. Logique et raisonnement mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

Table de vérité : Table qui présente toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité des propositions et indique la valeur de vérité résultante pour chaque combinaison, utilisée notamment pour définir les opérateurs logiques.
LOGIQUE ET LOGIQUE : Discipline qui formalise le langage mathématique en utilisant des phrases formelles et des symboles précis afin d'assurer la rigueur et d'éviter les ambiguïtés du langage naturel.

📝 Points essentiels

La phrase 'P ou Q' est notée 'P ⇒ Q' avec une table de vérité spécifique.
La langue naturelle peut être ambiguë, d'où l'importance d'un langage rigoureux en mathématiques.
La conjonction 'ou' peut signifier exclusif ou inclusif selon le contexte, ce qui nécessite une définition précise en logique.
Les raisonnements mathématiques utilisent des phrases formelles pour éviter les ambiguïtés du langage courant.
0). Mais surtout n’écrivez pas « ∀x réel, si f (x) = 1 =⇒ x positif ou nul ». Enfin, pour passer d’une ligne à l’autre d’un raisonnement, préférez plutôt « donc » à « =⇒ ».
Il est défendu d’écrire 6 ∃, 6 =⇒ . Ces symboles n’existent pas ! Mini-exercices. 1. Écrire la table de vérité du « ou exclusif ». (C’est le ou dans la phrase « fromage ou dessert », l’un ou l’autre mais pas les deux.) 2. Écrire la table de vérité de « non (P et

💡 À retenir

La phrase 'P ou Q' est notée 'P ⇒ Q' avec une table de vérité spécifique.

📖 2. Fonctions, bijections et ensembles infinis

🔑 Notions clés & Définitions

Exemple : Dans un amphi de 400 étudiants, il y a au moins deux étudiants nés le même jour !
Exemples : X ∈ R | |x − 2| < 1 , z ∈ C | z5 = 1 , x ∈ R | 0 6 x 6 1 = [0, 1].
Bijection : Fonction qui est à la fois injective, c’est-à-dire où chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent, et surjective, c’est-à-dire où chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, établissant ainsi une correspondance parfaite entre deux ensembles.
Ensembles finis : Collections d'éléments pour lesquelles le nombre d'éléments, appelé cardinal, est un nombre naturel fini.

📝 Points essentiels

Les propriétés d'injection, surjection et bijection sont fondamentales pour étudier les ensembles finis et infinis.
Une fonction est injective si chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent.
Chapitre 2 Vidéo Ñ partie 1. Ensembles Vidéo Ñ partie 2. Applications Vidéo Ñ partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo Ñ partie 4. Ensembles finis Vidéo Ñ partie 5. Relation d’équivalence Fiche d’exercices á Logique, ensembles, raisonnements Fiche d’exercices á Injection, surjection, bijection Fiche d’exercices á Dénombrement Fiche d’exercices á Relation d’équivalence, relation d’ordre Motivations Au début du X Xe siècle le professeur Frege peaufinait la rédaction du second tome d’un ouvrage qui souhaitait refonder les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d’un tout jeune mathématicien : « J’ai bien lu votre premier livre. Malheureusement vous supposez qu’il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut exister. » S’ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege s’écroulait et il ne s’en remettra jamais. Le jeune Russell deviendra l’un des plus grands logiciens et philosophes de son temps. Il obtient le prix Nobel de littérature en 1950. Voici le « paradoxe de Russell » pour montrer que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister. C’est très bref, mais difficile à appréhender. Par l’absurde, supposons qu’un tel ensemble E contenant tous les ensembles existe. Considérons F = ¶ E ∈ E | E /∈ E © . Expliquons l’écriture E /∈ E : le E de gauche est considéré comme un élément, en effet l’ensemble E est
Sommaire 1 Logique et raisonnements 1 1 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Ensembles et applications 11 1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Nombres complexes 31 1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Argument et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4

💡 À retenir

Les propriétés d'injection, surjection et bijection sont fondamentales pour étudier les ensembles finis et infinis.

📖 3. Combinatoire et formules du binôme

🔑 Notions clés & Définitions

Méthode : Une méthode est une procédure ou un ensemble d'étapes systématiques utilisées pour démontrer une propriété ou résoudre un problème.
Comme on a A : Comme le montrent les calculs suivants : N 2 =     0 0 2 4 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0     N 3 =     0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     et N 4
Formule du binôme de Newton : (a + 1)p = ap + Å p p − 1 ã ap−1 + Å p p − 2 ã ap−2 + · · · + Åp 1 ã + 1 GROUPES 5.
Conclusion : F est un isomorphisme entre (Z/nZ, +) et (G, ?).

📝 Points essentiels

La formule du binôme permet de développer (1 + x)^n en une somme pondérée par des coefficients binomiaux.
Les coefficients binomiaux comptent le nombre de façons de choisir k éléments parmi n.
La preuve par récurrence est une méthode clé pour démontrer des propriétés en combinatoire, notamment la formule du binôme.
Lemme 3. p divise p k pour 1 6 k 6 p − 1, c’est-à-dire p k ≡ 0 (mod p). Démonstration. p k = p! k!(p−k)! donc p! = k!(p − k)!p k . Ainsi p|k!(p − k)!p k . Or comme 1 6 k 6 p − 1 alors p ne divise pas k! (sinon p divise l’un des facteurs de k! mais il sont tous < p). De même p ne divise pas (p − k)!, donc par le lemme d’Euclide p divise p k . Preuve du théorème. Nous le montrons par récurrence pour les a > 0.
Si a = 0 alors 0 ≡ 0 (mod p).
Fixons a > 0 et supposons que ap ≡ a (mod p). Calculons (a + 1)p à l’aide de la formule du binôme de Newton : (a + 1)p = ap + Å p p − 1 ã ap−1 + Å p p − 2 ã ap−2 + · · · + Åp 1 ã + 1
Exemple 9. On cherche à calculer Ap avec A =   1 0 1 0 −1 0 0 0 2  . On calcule A2, A3 et A4 et on obtient : A2 =   1 0 3 0 1 0 0 0 4   A3 = A2 × A =   1 0 7 0 −1 0 0 0 8   A4 = A3 × A =   1 0 15 0 1 0 0 0 16   . L’observation de ces premières puissances permet de penser que la formule est : Ap =   1 0 2p − 1 0 (−1)p 0 0 0 2p  . Démontrons ce résultat par récurrence. Il est vrai pour p = 0 (on trouve l’identité). On le suppose vrai pour un entier p et on va le démontrer pour p + 1. On a, d’après la définition, Ap+1 = Ap × A =   1 0 2p − 1 0 (−1)p 0 0 0 2p   ×   1 0 1 0 −1 0 0 0 2   =   1 0 2p+1 − 1 0 (−1)p+1 0 0 0 2p+1   . Donc la propriété est démontrée. 2.7. Formule du binôme Comme la multiplication n’est pas commutative, les identités binomiales usuelles sont fausses. En particulier, (A + B)2 ne vaut en général pas A2 + 2AB + B2, mais on sait seulement que (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2.

💡 À retenir

Utiliser la formule du binôme et la preuve par récurrence permet de résoudre efficacement des problèmes combinatoires liés aux coefficients binomiaux.

📖 4. Relations d’équivalence et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

Exemples : X ∈ R | |x − 2| < 1 , z ∈ C | z5 = 1 , x ∈ R | 0 6 x 6 1 = [0, 1].
Réflexivité : Propriété d’une relation selon laquelle tout élément est en relation avec lui-même, formalisée par xRx pour tout x dans l’ensemble considéré.
Relation d’équivalence : Relation définie sur un ensemble qui est réflexive, symétrique et transitive, permettant de regrouper les éléments en classes d’équivalence.
Classe d’équivalence : Nous allons noter p q

📝 Points essentiels

Les classes d’équivalence forment une partition de l’ensemble de départ.
Les relations d’équivalence permettent de regrouper les éléments selon une propriété commune.
Définition 9. Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E. Soit x ∈ E, la classe d’équivalence de x est cl(x) = y ∈ E | yR x x x′ cl(x) cl(x′) cl(x) est donc un sous-ensemble de E, on le note aussi x. Si y ∈ cl(x), on dit que y un représentant de cl(x). Soit E un ensemble et R une relation d’équivalence.
Chapitre 2 Vidéo Ñ partie 1. Ensembles Vidéo Ñ partie 2. Applications Vidéo Ñ partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo Ñ partie 4. Ensembles finis Vidéo Ñ partie 5. Relation d’équivalence Fiche d’exercices á Logique, ensembles, raisonnements Fiche d’exercices á Injection, surjection, bijection Fiche d’exercices á Dénombrement Fiche d’exercices á Relation d’équivalence, relation d’ordre Motivations Au début du X Xe siècle le professeur Frege peaufinait la rédaction du second tome d’un ouvrage qui souhaitait refonder les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d’un tout jeune mathématicien : « J’ai bien lu votre premier livre. Malheureusement vous supposez qu’il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut exister. » S’ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege s’écroulait et il ne s’en remettra jamais. Le jeune Russell deviendra l’un des plus grands logiciens et philosophes de son temps. Il obtient le prix Nobel de littérature en 1950. Voici le « paradoxe de Russell » pour montrer que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister. C’est très bref, mais difficile à appréhender. Par l’absurde, supposons qu’un tel ensemble E contenant tous les ensembles existe. Considérons F = ¶ E ∈ E | E /∈ E © . Expliquons l’écriture E /∈ E : le E de gauche est considéré comme un élément, en effet l’ensemble E est

💡 À retenir

Les classes d’équivalence forment une partition de l’ensemble de départ.

📖 5. Pour tout x, y, z ∈ R∗ alors x × ( y × z) = (x × y) × z, c’est l’associativité de la multiplication des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

Enfin x × y : Expression utilisée pour introduire ou conclure une opération de multiplication entre deux nombres réels.
Associativité de la multiplication : Propriété de l'opération de multiplication sur les nombres réels non nuls qui stipule que pour tous x, y, z dans R*, le produit x × (y × z) est égal à (x × y) × z.
Pour tout : Expression indiquant que la propriété ou la règle s'applique à tous les éléments considérés dans un ensemble donné, ici pour tous x, y, z appartenant à R*.

📝 Points essentiels

Pour tout x, y, z ∈ R*, on a x × (y × z) = (x × y) × z, ce qui définit l'associativité de la multiplication.
L’associativité garantit que le produit de plusieurs nombres réels non nuls ne dépend pas du regroupement des facteurs.
De plus pour n ∈ N , on a n 6 a.

💡 À retenir

L’associativité est une propriété fondamentale qui assure la cohérence des opérations de multiplication sur les nombres réels non nuls, en garantissant que le regroupement des facteurs n’affecte pas le résultat.

📖 6. Arithmétique : division euclidienne, pgcd et ppcm

🔑 Notions clés & Définitions

Deuxième étape : Donc la partie polynomiale est E(X ) = X 2 + 1 et la fraction s’écrit P(X ) Q(X )
Division euclidienne : H = kn + r, avec k, r ∈ Z et 0 6 r < n.
Algorithme d’Euclide : En divisant par le pgcd on obtient l’équation équivalente : 3x − 8k

📝 Points essentiels

La division euclidienne permet d’écrire a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
Le pgcd de deux entiers a et b est le plus grand entier divisant à la fois a et b.
L’algorithme d’Euclide calcule le pgcd par divisions successives en utilisant le reste.
Le ppcm de deux entiers est le plus petit entier divisible par les deux.
Le pgcd et le ppcm sont liés par la relation : a × b = pgcd(a, b) × ppcm(a, b).
Chapitre 4 Vidéo Ñ partie 1. Division euclidienne et pgcd Vidéo Ñ partie 2. Théorème de Bézout Vidéo Ñ partie 3. Nombres premiers Vidéo Ñ partie 4. Congruences Fiche d’exercices á Arithmétique dans Z Préambule Une motivation : l’arithmétique est au cœur du cryptage des communications. Pour crypter un message on commence par le transformer en un –ou plusieurs– nombres. Le processus de codage et décodage fait appel à plusieurs notions de ce chapitre :
- On choisit deux nombres premiers p et q que l’on garde secrets et on pose n = p × q. Le principe étant que même connaissant n il est très difficile de retrouver p et q (qui sont des nombres ayant des centaines de chiffres).
- La clé secrète et la clé publique se calculent à l’aide de l’algorithme d’Euclide et des coefficients de Bézout.
- Les calculs de cryptage se feront modulo n.
- Le décodage fonctionne grâce à une variante du petit théorème de Fermat. 1. Division euclidienne et pgcd 1.1. Divisibilité et division euclidienne
Écrire la division euclidienne de 111 111 par 20x x, où 20x x est l’année en cours.

💡 À retenir

La division euclidienne permet d’écrire a = bq + r avec 0 ≤ r < b.

📖 7. Les solutions sont de la forme x = x0 + `n pgcd(a,n) ,` ∈ Z où x0 est une solution particulière

🔑 Notions clés & Définitions

1 on pose ω : Si k 6 = 1 on pose ω = a−k2 b 1−k2 alors l’équation obtenue est z¯z − z ¯ω − ¯zω = −|a|2+k2|b|2 1−k2 .

📝 Points essentiels

Les solutions d’une équation diophantienne ax ≡ c (mod n) sont de la forme x = x0 + ℓ × (n / pgcd(a,n)) avec ℓ ∈ Z.
Une solution existe si et seulement si pgcd(a,n) divise c.
Exemple 1. 1. Le système 2x + 3 y − 4z = 7 4x + 6 y − 8z = −1 n’a pas de solution. En effet, en divisant par 2 la seconde équation, on obtient le système équivalent : 2x + 3 y − 4z = 7 2x + 3 y − 4z = − 1 2 . Les deux lignes sont clairement incompa- tibles : aucun (x, y, z) ne peut vérifier à la fois 2x + 3 y − 4z = 7 et 2x + 3 y − 4z = − 1 2 . L’ensemble des solutions est donc S = ∅. 2. Pour le système 2x + 3 y − 4z = 7 4x + 6 y − 8z = 14 , les deux équations définissent le même plan ! Le système est donc équivalent à une seule équation : 2x + 3 y − 4z = 7. Si on réécrit cette équation sous la forme z = 1 2 x + 3 4 y − 7 4 , alors on peut décrire l’ensemble des solutions sous la forme : S = (x, y, 1 2 x + 3 4 y − 7 4 ) | x, y ∈ R . 3. Soit le système 7x + 2 y − 2z = 1 2x + 3 y + 2z = 1 . Par substitution : 7x + 2 y − 2z = 1 2x + 3 y + 2z = 1 ⇐⇒ z = 7 2 x + y − 1 2 2x + 3 y + 2 7 2 x + y − 1 2 = 1 ⇐⇒ z = 7 2 x + y − 1 2 9x + 5 y = 2 ⇐⇒ z = 7 2 x + y − 1 2 y = − 9 5 x + 2 5 ⇐⇒ z = 17 10 x − 1 10 y = − 9 5 x + 2 5 Pour décrire l’ensemble des solutions, on peut choisir x comme paramètre : S = ßÅ x, − 9 5 x + 2 5 , 17 10 x − 1 10 ã | x ∈ R ™ . Géométriquement : nous avons trouvé une équation paramétrique de la droite définie par l’intersection de deux plans. Du point de vue du nombre de solutions, nous constatons qu’il n’y a que deux possibilités, à savoir aucune solution
Exemple 3. Résolvons le système x + y = 1 x + t2 y = t suivant la valeur du paramètre t ∈ R. Le déterminant du système est 1 1 1 t2 = t2 − 1. Premier cas. t 6 = +1 et t 6 = −1. Alors t2 − 1 6 = 0. La matrice A = 1 1 1 t2 est inversible d’inverse A−1 = 1 t2−1 t2 −1 −1 1 . Et la solution X = x y est X = A−1Y = 1 t2 − 1 t2 −1 −1 1 1 t = 1 t2 − 1 t2 − t t − 1 = t t+1 1 t+1 . Pour chaque t 6 = ±1, l’ensemble des solutions est S = t t+1 , 1 t+1 . Deuxième cas. t = +1. Le système s’écrit alors : x + y = 1 x + y = 1 et les deux équations sont identiques. Il y a une infinité de solutions : S = (x, 1 − x) | x ∈ R . Troisième cas. t = −1. Le système s’écrit alors : x + y = 1 x + y = −1 , les deux équations sont clairement incompatibles et donc S = ∅. Mini-exercices. 1. Tracer les droites d’équations x − 2 y = −1 −x + 3 y = 3 et résoudre le système linéaire de trois façons différentes : substitution, méthode de Cramer, inverse d’une matrice. Idem avec 2x − y = 4 3x + 3 y = −5 . 2. Résoudre suivant la valeur du paramètre t ∈ R : 4x − 3 y = t 2x − y = t2 . SYSTÈMES

💡 À retenir

Il est essentiel de connaître la forme générale des solutions d'une congruence linéaire pour pouvoir exprimer toutes les solutions à partir d'une solution particulière.

📖 8. Groupes et morphismes de groupes

🔑 Notions clés & Définitions

En effet : 1 ∈ R∗ +, — si x, y ∈ R∗ + alors x × y ∈ R∗ +, — si x ∈ R∗ + alors x−1 = 1 x ∈ R∗ +.
Sa bijection réciproque f −1 : Continuons notre exemple f (x)
Groupe : Un ensemble muni d’une loi de composition interne associative, possédant un élément neutre et pour lequel chaque élément admet un inverse.
Soit f : X′) = f (x) f (x′) = eG′ eG′

📝 Points essentiels

Un groupe est un ensemble muni d’une loi associative, d’un élément neutre et d’inverses.
Un sous-groupe est un sous-ensemble stable par la loi et contenant l’élément neutre.
Un morphisme de groupes est une application respectant la loi de groupe.
Le noyau d’un morphisme est l’ensemble des éléments envoyés sur l’élément neutre du groupe d’arrivée.
Définition 3. Soient (G, ?) et (G′, ) deux groupes. Une application f : G −→ G′ est un morphisme de groupes si : pour tout x, x′ ∈ G f (x ? x′) = f (x) f (x′) L’exemple que vous connaissez déjà est le suivant : soit G le groupe (R, +) et G′ le groupe (R∗ +, ×). Soit f : R −→ R∗ + l’application exponentielle définie par f (x) = exp(x). Nous avons bien f (x + x′) = exp(x + x′) = exp(x) × exp(x′) = f (x) × f (x′). Et donc f est bien un morphisme de groupes.
Sous-groupes Montrer qu’un ensemble est un groupe à partir de la définition peut être assez long.

💡 À retenir

Comprendre la structure des groupes et l’importance des morphismes permet d’étudier leurs relations et leur classification.

📖 9. Systèmes linéaires et méthodes de résolution

🔑 Notions clés & Définitions

La matrice A : La matrice A est une matrice carrée ou rectangulaire constituée des coefficients des variables d'un système d'équations linéaires, utilisée pour représenter ce système sous forme matricielle.
Système linéaire : Résoudre les systèmes suivants :    x1 +2x2 +3x3 +4x4 = 0 x2 +2x3 +3x4 = 9 x3 +2x4 = 0    x1 +2x2 +3x3 = 1 x1 +x2 +x3 = 2 x1 −x2 +x3 = 3    x1 +x2 = 1 x2 +x3 = 2 x3 +x4 = 3 x1 +2x2 +2x3 +x4
Systèmes linéaires : Ensembles d’équations linéaires à résoudre simultanément, pouvant admettre une unique solution, aucune solution, ou une infinité de solutions selon leur compatibilité.
Systèmes homogènes : Systèmes homogènes Un cas particulier important est celui des systèmes homogènes, pour lesquels b1 = b2 = · · · = bn = 0, c’est-à-dire dont le second membre est nul.

📝 Points essentiels

La méthode de Gauss utilise des opérations élémentaires pour simplifier le système, notamment l’échange de lignes, la multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, et l’addition d’une ligne à une autre multipliée par un scalaire.
Ces opérations ne changent pas l’ensemble des solutions du système, permettant de transformer le système en une forme plus simple pour le résoudre.
Corollaire 1. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) La matrice A est inversible. (ii) Le système linéaire AX = 0 ... 0 a une unique solution X = 0 ... 0 . (iii) Pour tout second membre B, le système linéaire AX = B a une unique solution X . Démonstration. Nous avons déjà vu (i) =⇒ (ii) et (i) =⇒ (iii). Nous allons seulement montrer (ii) =⇒ (i). Nous raisonnons par contraposée : nous allons montrer la proposition équivalente non(i) =⇒ non(ii). Si A n’est pas inversible, alors sa forme échelonnée réduite U contient un premier zéro sur sa diagonale, disons à la place . Alors U à la forme suivante             1 0 · · · c1 ∗ · · · ∗ 0 ... 0 ... · · · ∗ 0 0 1 c−1 · · · ∗ 0 · · · 0 0 ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 ∗ · · · ∗ ... ... ... · · · 0 ... ... 0 · · · · · · 0 ∗             . On note X =             −c1 ... −c`−1 1 0 ... 0             . Alors X n’est pas le vecteur nul, mais U X est le vecteur nul. Comme A = E−1U, alors AX est le vecteur nul. Nous avons donc trouvé un vecteur non nul X tel que AX = 0. Mini-exercices. 1. Exprimer les systèmes linéaires suivants sous forme matricielle et les résoudre en inversant la matrice : 2x + 4 y = 7 −2x + 3 y = −14 ,    x + z = 1 −2 y + 3z = 1 x + z = 1 ,    x + t = α x − 2 y = β x + y + t = 2 y + t = 4 . 2. Écrire les matrices 4 × 4 correspondant aux opérations élémentaires : L2 ← 1 3 L2, L3 ← L3 − 1 4 L2, L1 ↔ L4. Sans calculs, écrire leurs inverses. Écrire la matrice 4 × 4 de l’opération L1 ← L1 − 2L3 + 3L4. 3. Écrire les matrices suivantes sous forme échelonnée, puis échelonnée réduite : Ä 1 2 3 1 4 0 −2 −2 −3 ä , Ä 1 0 2 1 −1 1 2 −2 3 ä , Å 2 0 −2 0 0 −1 1 0 1 −2 1 4 −1 2 −1 −2 ã .
TERMINANTS 233 Le déterminant det P est non nul puisque les vecteurs (v1, . . . , vp, ep+1, . . . , en) forment une base de E. Or ce déterminant se calcule en développant par rapport aux dernières colonnes autant de fois que nécessaire (soit n − p fois). Et l’on trouve que det P = a1,1 . . . a1,p ... ... ... ap,1 . . . ap,p Le mineur a1,1 . . . a1,p ... ... ... ap,1 . . . ap,p est donc non nul. Montrons maintenant la réciproque. Supposons que le mineur correspondant aux lignes i1, i2, . . . , ip soit non nul. Autrement dit, la matrice B =    ai1,1 . . . ai1,p ... ... ... aip ,1 . . . aip ,p    satisfait det B 6 = 0. Supposons aussi λ1 v1 + · · · + λp vp = 0 En exprimant chaque vi dans la base (e1, . . . , en), on voit aisément que cette relation équivaut au système suivant à n lignes et p inconnues :   a1,1λ1 + . . . + a1,pλp = 0 a2,1λ1 + . . . + a2,pλp = 0 ... ... ... ... ... ... ... an,1λ1 + . . . + an,pλp = 0 Ce qui implique, en ne retenant que les lignes i1, . . . , ip :    ai1,1λ1 + . . . + ai1,pλp = 0 ai2,1λ1 + . . . + ai2,pλp = 0 ... ... ... ... ... ... ... aip ,1λ1 + . . . + aip ,pλp = 0 ce qui s’écrit matriciellement B    λ1 ... λp    = 0. Comme B est inversible (car det B 6 = 0), cela implique λ1 = · · · = λp = 0. Ce qui montre l’indépendance des vi . Mini-exercices. 1. Résoudre ce système linéaire, en fonction du paramètre t ∈ R :    t y + z = 1 2x + t y = 2 − y + tz = 3 2. Pour quelles valeurs de a, b ∈ R, les vecteurs suivants forment-ils une base de R3 ?   a 1 b   ,   2a 1 b   ,   3a 1 −2b  

💡 À retenir

La méthode de Gauss utilise des opérations élémentaires pour simplifier le système, notamment l’échange de lignes, la multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, et l’addition d’une ligne à une autre multipliée par un scalaire.

📖 10. Matrices : opérations élémentaires et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

La matrice identité I : Une matrice carrée dont les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et tous les autres éléments sont nuls, agissant comme l'élément neutre pour la multiplication matricielle.
Soit g : Une application linéaire bijective dont la matrice associée est inversible, ce qui signifie qu'il existe une application inverse g⁻¹ telle que la composition g⁻¹ ◦ g est l'identité.
Matrice inversible :
- Réciproquement, si A
Opérations élémentaires : Transformations sur les lignes d'une matrice comprenant la multiplication d'une ligne par un scalaire non nul, l'échange de deux lignes, et l'addition d'une ligne multipliée par un scalaire à une autre, utilisées pour manipuler les matrices de manière réversible.

📝 Points essentiels

Une matrice est inversible si et seulement si il existe une matrice inverse telle que leur produit est la matrice identité.
Les opérations élémentaires sur matrices correspondent à des transformations linéaires réversibles, permettant de manipuler ou d’inverser des matrices.
Le produit de matrices inversibles est inversible, et l’inverse du produit est le produit des inverses dans l’ordre inverse.
Théorème 4. Une matrice A de taille n × n , triangulaire, est inversible si et seulement si ses éléments diagonaux sont tous non nuls. Démonstration. Supposons que A soit triangulaire supérieure.
Si les éléments de la diagonale sont tous non nuls, alors la matrice A est déjà sous la forme échelonnée. En multipliant chaque ligne i par l’inverse de l’élément diagonal aii , on obtient des 1 sur la diagonale. De ce fait, la forme échelonnée réduite de A sera la matrice identité. Le théorème 3 permet de conclure que A est inversible.
Inversement, supposons qu’au moins l’un des éléments diagonaux soit nul et notons a`` le premier élément nul de la diagonale. En multipliant les lignes 1 à − 1 par l’inverse de leur élément diagonal, on obtient une matrice de la forme             1 ∗ · · · · · · ∗ 0 ... ∗ · · · · · · ∗ 0 0 1 ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 ∗ · · · ∗ ... ... ... · · · 0 ... ... 0 · · · · · · 0 ∗             . Il est alors clair que la colonne numéro de la forme échelonnée réduite ne contiendra pas de 1 comme pivot. La forme échelonnée réduite de A ne peut donc pas être In et par le théorème 3, A n’est pas inversible. Dans le cas d’une matrice triangulaire inférieure, on utilise la transposition (qui fait l’objet de la section suivante) et on obtient une matrice triangulaire supérieure. On applique alors la démonstration ci-dessus. 6.2. La transposition Soit A la matrice de taille n × p A =      a11 a12 . . . a1p a21 a22 . . . a2p ... ... ... an1 an2 . . . anp      .

💡 À retenir

Les opérations élémentaires sur matrices permettent de manipuler et d’inverser des transformations linéaires, essentielles pour résoudre des systèmes ou calculer des inverses.

📖 11. Espaces vectoriels : définitions, bases et dimension

🔑 Notions clés & Définitions

Espace vectoriel : F = E ⇐⇒ dim F
Montrer que si f : E → F est une application linéaire et que {v1, .

📝 Points essentiels

Un espace vectoriel est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire vérifiant des axiomes.
Une base est une famille de vecteurs libre et génératrice de l’espace.
Autrement dit, lorsque le nombre de vecteurs considéré est exactement égal à la dimension de l’espace vectoriel, l’une des deux conditions – être libre ou bien génératrice – suffit pour que ces vecteurs déterminent une base de E.
La dimension d’un espace vectoriel de dimension finie E, notée dim E, est par définition le nombre d’éléments d’une base de E.

💡 À retenir

Comprendre la notion de base et dimension permet de caractériser la structure d’un espace vectoriel.

📖 12. Changement de base et calcul du déterminant

🔑 Notions clés & Définitions

Soit A : On a donc l’égalité de matrices suivante : B = MatB′ E ,B′ F ( f ) = MatBF ,B′ F (idF ) × MatBE ,BF ( f ) × MatB′ E ,BE (idE ) = PB′ F ,BF × MatBE ,BF ( f ) × PBE ,B′ E
Changement de base : On calcule aussi P−1

📝 Points essentiels

Le déterminant est une fonction associée à une matrice carrée qui caractérise l’inversibilité.
Un mineur est le déterminant d’une sous-matrice carrée extraite d’une matrice.
Le rang d’une matrice est le plus grand ordre d’un mineur non nul.
Le déterminant d’une matrice transposée est égal au déterminant de la matrice originale.
BASES 208 4.3. Formule de changement de base
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie.
Soit f : E → F une application linéaire.
Soient BE , B′ E deux bases de E.
Soient BF , B′ F deux bases de F .
Soit P = PBE ,B′ E la matrice de passage de BE à B′ E .
Soit Q = PBF ,B′ F la matrice de passage de BF à B′ F .
Soit A = MatBE ,BF ( f ) la matrice de l’application linéaire f de la base BE vers la base BF .
Soit B = MatB′ E ,B′ F ( f ) la matrice de l’application linéaire f de la base B′ E vers la base B′ F .
Exemple 19. Soit E = R3 muni de sa base canonique B. Définissons B1 =     1 1 0   ,   0 −1 0   ,   3 2 −1     et B2 =     1 −1 0   ,   0 1 0   ,   0 0 −1     . Quelle est la matrice de passage de B1 vers B2 ? On a d’abord PB,B1 =   1 0 3 1 −1 2 0 0 −1   et PB,B2 =   1 0 0 −1 1 0 0 0 −1   . La proposition 12 implique que PB,B2 = PB,B1 × PB1,B2 . Donc on a PB1,B2 = P−1 B,B1 × PB,B2 . En appliquant la méthode de Gauss pour calculer P−1 B,B1 , on trouve alors : PB1,B2 =   1 0 3 1 −1 2 0 0 −1   −1 ×   1 0 0 −1 1 0 0 0 −1   =   1 0 3 1 −1 1 0 0 −1   ×   1 0 0 −1 1 0 0 0 −1   =   1 0 −3 2 −1 −1 0 0 1   . Nous allons maintenant étudier l’effet d’un changement de bases sur les coordonnées d’un vecteur.
Soient B = (e1, e2, . . . , en) et B′ = (e′ 1, e′ 2, . . . , e′ n) deux bases d’un même K-espace vectoriel E.
Soit PB,B′ la matrice de passage de la base B vers la base B′.
Pour x ∈ E, il se décompose en x = ∑n i=1 xi ei dans la base B et on note X = MatB (x) = x1 x2 ... xn ! B .
Ce même x ∈ E se décompose en x = ∑n i=1 x′ i e′ i dans la base B′ et on note X ′ = MatB′ (x) =   x′ 1 x′ 2 ... x′ n   B′ .

💡 À retenir

Utiliser le changement de base et le calcul du déterminant permet d’analyser les propriétés des matrices et des applications linéaires.

🧩 Compléments de couverture

Détail source à réviser : C O U R S D E M AT H É M AT I Q U E S P R E M I È R E A N N É E Exo7 À la découverte de l’algèbre La première année d’études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une telle expédition ? Dé (Source: "C O U R S D E M AT H É M AT I Q U E S P R E M I È R E A N N É E Exo7 À la découverte de l’algèbre La première année d’études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une telle expédition ? Déjà parce que les mathématiques vous offriront un langage unique pour accéder à une multitude de domaines scientifiques. Mais aussi")
Détail source à réviser : d’une fonction est souvent expliquée par « on trace le graphe sans lever le crayon ». Il est clair que c’est une définition peu satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d’une fonction f : I → R en (Source: "d’une fonction est souvent expliquée par « on trace le graphe sans lever le crayon ». Il est clair que c’est une définition peu satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d’une fonction f : I → R en un point x0 ∈ I : ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I (|x − x0| < δ =⇒ | f (x) − f (x0)| < ε). C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus")
Détail source à réviser : prend la négation de l’assertion P. • Pour la négation d’une proposition, il faut être précis : la négation de l’inégalité stricte « < » est l’inégalité large « > », et inversement. • Les quantificateurs ne sont pas des (Source: "prend la négation de l’assertion P. • Pour la négation d’une proposition, il faut être précis : la négation de l’inégalité stricte « < » est l’inégalité large « > », et inversement. • Les quantificateurs ne sont pas des abréviations. Soit vous écrivez une phrase en français : « Pour tout réel x, si f (x) = 1 alors x > 0. » , soit vous écrivez la phrase")
Détail source à réviser : non, alors par définition on met E dans l’ensemble F . La contradiction arrive lorsque l’on se pose la question suivante : a-t-on F ∈ F ou F /∈ F ? L’une des deux affirmation doit être vraie. Et pourtant : • Si F ∈ F alo (Source: "non, alors par définition on met E dans l’ensemble F . La contradiction arrive lorsque l’on se pose la question suivante : a-t-on F ∈ F ou F /∈ F ? L’une des deux affirmation doit être vraie. Et pourtant : • Si F ∈ F alors par définition de F , F est l’un des ensembles E tel que F /∈ F . Ce qui est contradictoire. • Si F /∈ F alors F vérifie bien la")
Détail source à réviser : par f2(x) = x2. Alors f2 n’est pas injective. En effet on peut trouver deux éléments x, x′ ∈ Z différents tels que f2(x) = f2(x′). Il suffit de prendre par exemple x = 2, x′ = −2. f2 n’est pas non plus surjective, en eff (Source: "par f2(x) = x2. Alors f2 n’est pas injective. En effet on peut trouver deux éléments x, x′ ∈ Z différents tels que f2(x) = f2(x′). Il suffit de prendre par exemple x = 2, x′ = −2. f2 n’est pas non plus surjective, en effet il existe des éléments y ∈ N qui n’ont aucun antécédent. Par exemple y = 3 : si y = 3 avait un antécédent x par f2, nous aurions")
Détail source à réviser : d’un ensemble à n éléments dans un ensemble à n éléments est n! • P1 est vraie. Il n’y a qu’une bijection d’un ensemble à 1 élément dans un ensemble à 1 élément. • Fixons n > 1 et supposons que Pn est vraie. Soit E un en (Source: "d’un ensemble à n éléments dans un ensemble à n éléments est n! • P1 est vraie. Il n’y a qu’une bijection d’un ensemble à 1 élément dans un ensemble à 1 élément. • Fixons n > 1 et supposons que Pn est vraie. Soit E un ensemble à n + 1 éléments. On fixe a ∈ E. Pour chaque b ∈ E il y a –par l’hypothèse de récurrence– exactement n! applications bijectives")
Détail source à réviser : des droites parallèles à cette droite. À chaque classe d’équivalence correspond une et une seule direction. Voici un exemple que vous connaissez depuis longtemps : ENSEMBLES ET APPLICATIONS 5. RELATION D’ÉQUIVALENCE 29 E (Source: "des droites parallèles à cette droite. À chaque classe d’équivalence correspond une et une seule direction. Voici un exemple que vous connaissez depuis longtemps : ENSEMBLES ET APPLICATIONS 5. RELATION D’ÉQUIVALENCE 29 Exemple 10. Définissons sur E = Z × N∗ la relation R par (p, q)R(p′, q′) ⇐⇒ pq′ = p′q. Tout d’abord R est une relation d’équivalence :")
Détail source à réviser : les longueurs des côtés sont notées L et et les longueurs des diagonales sont D et d alors il s’agit de montrer l’égalité D2 + d2 = 22 + 2L2. d D L L 0 z z′ z + z′ |z| |z| |z′| |z′| |z − z′| |z + z′| Démonstration (Source: "les longueurs des côtés sont notées L et et les longueurs des diagonales sont D et d alors il s’agit de montrer l’égalité D2 + d2 = 22 + 2L2. d D L L 0 z z′ z + z′ |z| |z| |z′| |z′| |z − z′| |z + z′| Démonstration. Cela devient simple si l’on considère que notre parallélogramme a pour sommets 0, z, z′ et le dernier sommet est donc z + z′. La longueur")
Détail source à réviser : exponentielle. Nous les appliquons dans la suite à deux problèmes : le développement et la linéarisation. Développement. On exprime sin nθ ou cos nθ en fonction des puissances de cos θ et sin θ . Méthode : on utilise la (Source: "exponentielle. Nous les appliquons dans la suite à deux problèmes : le développement et la linéarisation. Développement. On exprime sin nθ ou cos nθ en fonction des puissances de cos θ et sin θ . Méthode : on utilise la formule de Moivre pour écrire cos (nθ ) + i sin (nθ ) = (cos θ + i sin θ )n que l’on développe avec la formule du binôme de Newton. Exemple")
Détail source à réviser : 1. Exemple 6. Pour tout a ∈ Z, a et a + 1 sont premiers entre eux. En effet soit d un diviseur commun à a et à a + 1. Alors d divise aussi a + 1 − a. Donc d divise 1 mais alors d = −1 ou d = +1. Le plus grand diviseur de (Source: "1. Exemple 6. Pour tout a ∈ Z, a et a + 1 sont premiers entre eux. En effet soit d un diviseur commun à a et à a + 1. Alors d divise aussi a + 1 − a. Donc d divise 1 mais alors d = −1 ou d = +1. Le plus grand diviseur de a et a + 1 est donc 1. Et donc pgcd(a, a + 1) = 1. Si deux entiers ne sont pas premiers entre eux, on peut s’y ramener en divisant par")
Détail source à réviser : qu’il existe une infinité de nombres premiers. 3.2. Eratosthène et Euclide Comment trouver les nombres premiers ? Le crible d’Eratosthène permet de trouver les premiers nombres premiers. Pour cela on écrit les premiers e (Source: "qu’il existe une infinité de nombres premiers. 3.2. Eratosthène et Euclide Comment trouver les nombres premiers ? Le crible d’Eratosthène permet de trouver les premiers nombres premiers. Pour cela on écrit les premiers entiers : pour notre exemple de 2 à 25. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Rappelons-nous qu’un diviseur")
Détail source à réviser : n) Proposition 7. Soit a ∈ Z∗, b ∈ Z fixés et n > 2. Considérons l’équation ax ≡ b (mod n) d’inconnue x ∈ Z : 1. Il existe des solutions si et seulement si pgcd(a, n)|b. 2. Les solutions sont de la forme x = x0 + n pgc _(Source: "n) Proposition 7. Soit a ∈ Z∗, b ∈ Z fixés et n > 2. Considérons l’équation ax ≡ b (mod n) d’inconnue x ∈ Z : 1. Il existe des solutions si et seulement si pgcd(a, n)|b. 2. Les solutions sont de la forme x = x0 + n pgcd(a,n) , ` ∈ Z où x0 est une solution particulière. Il existe donc pgcd(a, n) classes de solutions. Exemple 16. Résolvons l’équation 9x ≡")_
Détail source à réviser : polynôme est donc une somme finie de monômes. Mini-exercices. 1. Soit P(X ) = 3X 3 − 2, Q(X ) = X 2 + X − 1, R(X ) = aX + b. Calculer P +Q, P ×Q, (P +Q) × R et P ×Q × R. Trouver a et b afin que le degré de P − QR soit le (Source: "polynôme est donc une somme finie de monômes. Mini-exercices. 1. Soit P(X ) = 3X 3 − 2, Q(X ) = X 2 + X − 1, R(X ) = aX + b. Calculer P +Q, P ×Q, (P +Q) × R et P ×Q × R. Trouver a et b afin que le degré de P − QR soit le plus petit possible. 2. Calculer (X + 1)5 − (X − 1)5. 3. Déterminer le degré de (X 2 + X + 1)n − aX 2n − bX 2n−1 en fonction de a, b.")
Détail source à réviser : 2 à coefficients réels : a, b, c ∈ R et a 6 = 0. • Si ∆ = b2 − 4ac > 0 alors P admet 2 racines réelles distinctes −b+p∆ 2a et −b−p∆ 2a . • Si ∆ < 0 alors P admet 2 racines complexes distinctes −b+i p|∆| 2a et −b−i p|∆| 2 (Source: "2 à coefficients réels : a, b, c ∈ R et a 6 = 0. • Si ∆ = b2 − 4ac > 0 alors P admet 2 racines réelles distinctes −b+p∆ 2a et −b−p∆ 2a . • Si ∆ < 0 alors P admet 2 racines complexes distinctes −b+i p|∆| 2a et −b−i p|∆| 2a . • Si ∆ = 0 alors P admet une racine réelle double −b 2a . En tenant compte des multiplicités on a donc toujours exactement 2")
Détail source à réviser : d’une part F2(−2) = c et d’autre part F2(−2) = 3. Ainsi c = 3. Comme les coefficients sont uniques tous les moyens sont bons pour les déterminer. Par exemple lorsque l’on évalue la décomposition théorique P′(X ) Q(X ) = (Source: "d’une part F2(−2) = c et d’autre part F2(−2) = 3. Ainsi c = 3. Comme les coefficients sont uniques tous les moyens sont bons pour les déterminer. Par exemple lorsque l’on évalue la décomposition théorique P′(X ) Q(X ) = a (X −1)2 + b X −1 + c X +2 en x = 0, on obtient : P′(0) Q(0) = a − b + c 2 Donc 9 2 = a − b + c 2 . Donc b = a + c 2 − 9 2 = −1. 4.2.")
Détail source à réviser : Proposition 1. L’ensemble des matrices 2 × 2 ayant un déterminant non nul, muni de la multiplication des matrices ×, forme un groupe non-commutatif. Ce groupe est noté (G2, ×). Nous aurons besoin d’un résultat prélimina _(Source: "Proposition 1. L’ensemble des matrices 2 × 2 ayant un déterminant non nul, muni de la multiplication des matrices ×, forme un groupe non-commutatif. Ce groupe est noté (G2, ×). Nous aurons besoin d’un résultat préliminaire : Lemme 1. det(M × M ′) = det M · det M ′. GROUPES 1. GROUPE 75 Pour la preuve, il suffit de vérifier le calcul : aa′ + bc′c b′ +")_
Détail source à réviser : de G. 2. Im f est un sous-groupe de G′. 3. f est injectif si et seulement si Ker f = {eG }. 4. f est surjectif si et seulement si Im f = G′. Démonstration. 1. Montrons que le noyau est un sous-groupe de G. (a) f (eG ) = (Source: "de G. 2. Im f est un sous-groupe de G′. 3. f est injectif si et seulement si Ker f = {eG }. 4. f est surjectif si et seulement si Im f = G′. Démonstration. 1. Montrons que le noyau est un sous-groupe de G. (a) f (eG ) = eG′ donc eG ∈ Ker f . (b) Soient x, x′ ∈ Ker f . Alors f (x ? x′) = f (x) f (x′) = eG′ eG′ = eG′ et donc x ? x′ ∈ Ker f . (c)")
Détail source à réviser : du dernier élément n il ne reste qu’une possibilité. Au final il y a n × (n − 1) × · · · × 2 × 1 = n! façon de construire des bijections de {1, 2 , . . . , n}. 5.2. Notation et exemples Décrire une permutation f : {1 , 2 (Source: "du dernier élément n il ne reste qu’une possibilité. Au final il y a n × (n − 1) × · · · × 2 × 1 = n! façon de construire des bijections de {1, 2 , . . . , n}. 5.2. Notation et exemples Décrire une permutation f : {1 , 2 , . . . , n} −→ {1, 2 , . . . , n} équivaut à donner les images de chaque i allant de 1 à n. Nous notons donc f par 1 2 · · · n f (1) f")
Détail source à réviser : de solutions. x y D1 D2 x y D2 D1 x y D1 = D2 Nous verrons plus loin que ces trois cas de figure (une seule solution, aucune solution, une infinité de solutions) sont les seuls cas qui peuvent se présenter pour n’importe (Source: "de solutions. x y D1 D2 x y D2 D1 x y D1 = D2 Nous verrons plus loin que ces trois cas de figure (une seule solution, aucune solution, une infinité de solutions) sont les seuls cas qui peuvent se présenter pour n’importe quel système d’équations linéaires. 1.2. Résolution par substitution Pour savoir s’il existe une ou plusieurs solutions à un système")
Détail source à réviser : un système linéaire donné consistera à le transformer en un système équivalent dont la résolution sera plus simple que celle du système de départ. Nous verrons plus loin comment procéder de façon systématique pour arrive (Source: "un système linéaire donné consistera à le transformer en un système équivalent dont la résolution sera plus simple que celle du système de départ. Nous verrons plus loin comment procéder de façon systématique pour arriver à ce but. 2.2. Différents types de systèmes Voici un résultat théorique important pour les systèmes linéaires. Théorème 1. Un système")
Détail source à réviser : de l’université Pierre et Marie Curie, reprenant des parties d’un cours de H. Ledret et d’une équipe de l’université de Bordeaux animée par J. Queyrut, • mixés et révisés par Arnaud Bodin, relu par Vianney Combet. Matric (Source: "de l’université Pierre et Marie Curie, reprenant des parties d’un cours de H. Ledret et d’une équipe de l’université de Bordeaux animée par J. Queyrut, • mixés et révisés par Arnaud Bodin, relu par Vianney Combet. Matrices Chapitre 8 Vidéo Ñ partie 1. Définition Vidéo Ñ partie 2. Multiplication de matrices Vidéo Ñ partie 3. Inverse d’une matrice :")
Détail source à réviser : . La matrice unité d’ordre p est telle que tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, les autres étant tous nuls. On peut formaliser cela en introduisant le symbole de Kronecker. Si i et j sont deux ent (Source: ". La matrice unité d’ordre p est telle que tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, les autres étant tous nuls. On peut formaliser cela en introduisant le symbole de Kronecker. Si i et j sont deux entiers, on appelle symbole de Kronecker, et on note δi, j , le réel qui vaut 0 si i est différent de j, et 1 si i est égal à j. Donc δi, j =")
Détail source à réviser : . 3. Li ↔ L j : on peut échanger deux lignes. N’oubliez pas : tout ce que vous faites sur la partie gauche de la matrice augmentée, vous devez aussi le faire sur la partie droite. 4.3. Un exemple Calculons l’inverse de A (Source: ". 3. Li ↔ L j : on peut échanger deux lignes. N’oubliez pas : tout ce que vous faites sur la partie gauche de la matrice augmentée, vous devez aussi le faire sur la partie droite. 4.3. Un exemple Calculons l’inverse de A =   1 2 1 4 0 −1 −1 2 2   . Voici la matrice augmentée, avec les lignes numérotées : (A | I) =   1 2 1 1 0 0 4 0 −1 0 1 0 −1 2 2 0 0")
Détail source à réviser : · · a1 1 j · · · a1 1p 0 a1 22 · · · a1 2 j · · · a1 2p ... ... ... ... 0 a1 i2 · · · a1 i j · · · a1 ip ... ... ... ... 0 a1 n2 · · · a1 n j · · · a1 np           ∼ A dont la première colonne est bien celle d’ (Source: "· · a1 1 j · · · a1 1p 0 a1 22 · · · a1 2 j · · · a1 2p ... ... ... ... 0 a1 i2 · · · a1 i j · · · a1 ip ... ... ... ... 0 a1 n2 · · · a1 n j · · · a1 np           ∼ A dont la première colonne est bien celle d’une matrice échelonnée. On va donc conserver cette première colonne. Si a1 11 6 = 0, on conserve aussi la première ligne, et l’on repart")
Détail source à réviser : triangulaire inférieure, on utilise la transposition (qui fait l’objet de la section suivante) et on obtient une matrice triangulaire supérieure. On applique alors la démonstration ci-dessus. 6.2. La transposition Soit A (Source: "triangulaire inférieure, on utilise la transposition (qui fait l’objet de la section suivante) et on obtient une matrice triangulaire supérieure. On applique alors la démonstration ci-dessus. 6.2. La transposition Soit A la matrice de taille n × p A =      a11 a12 . . . a1p a21 a22 . . . a2p ... ... ... an1 an2 . . . anp      . Définition")
Détail source à réviser :      b1 j b2 j ... bp j      . Autrement dit, c’est le produit scalaire du i-ème vecteur ligne de A avec le j-ème vecteur colonne de B. Notons 1, . . . , n les vecteurs lignes formant la matrice A, et c1, . . (Source: "     b1 j b2 j ... bp j      . Autrement dit, c’est le produit scalaire du i-ème vecteur ligne de A avec le j-ème vecteur colonne de B. Notons 1, . . . , n les vecteurs lignes formant la matrice A, et c1, . . . , cq les vecteurs colonnes formant la matrice B. On a alors AB =      〈1 | c1〉 〈1 | c2〉 · · · 〈1 | cq〉 〈2 | c1〉 〈`2 | c2〉 · · ·")
Détail source à réviser : suivantes sont équivalentes : (i) La matrice A est inversible. (ii) Le système linéaire AX = 0 ... 0 a une unique solution X = 0 ... 0 . (iii) Pour tout second membre Y , le système linéaire AX = Y a une unique solution (Source: "suivantes sont équivalentes : (i) La matrice A est inversible. (ii) Le système linéaire AX = 0 ... 0 a une unique solution X = 0 ... 0 . (iii) Pour tout second membre Y , le système linéaire AX = Y a une unique solution X . Voici donc la preuve du théorème 2. Démonstration. • Si A est inversible, alors pour tout vecteur Y le système AX = Y a une unique")
Détail source à réviser : ne contient pas le vecteur nul Ä 0 0 0 ä . 1.3. Terminologie et notations Rassemblons les définitions déjà vues. • On appelle les éléments de E des vecteurs. Au lieu de K-espace vectoriel, on dit aussi espace vectoriel s (Source: "ne contient pas le vecteur nul Ä 0 0 0 ä . 1.3. Terminologie et notations Rassemblons les définitions déjà vues. • On appelle les éléments de E des vecteurs. Au lieu de K-espace vectoriel, on dit aussi espace vectoriel sur K. • Les éléments de K seront appelés des scalaires. • L’ élément neutre 0E s’appelle aussi le vecteur nul. Il ne doit pas être")
Détail source à réviser : • En ajoutant −(0 · u) de chaque côté de l’égalité, on obtient : 0 · u = 0E . 2. La preuve est semblable en partant de l’égalité 0E + 0E = 0E . 3. Montrer (−1) · u = −u signifie exactement que (−1) · u est le symétrique (Source: "• En ajoutant −(0 · u) de chaque côté de l’égalité, on obtient : 0 · u = 0E . 2. La preuve est semblable en partant de l’égalité 0E + 0E = 0E . 3. Montrer (−1) · u = −u signifie exactement que (−1) · u est le symétrique de u, c’est-à-dire vérifie u + (−1) · u = 0E . En effet : u + (−1) · u = 1 · u + (−1) · u = (1 + (−1)) · u = 0 · u = 0E . 4. On sait déjà")
Détail source à réviser : linéaire des vecteurs (1, 1 , 0) et (1, 1, 1) car on a l’égalité (3, 3, 1) = 2(1, 1, 0) + (1, 1, 1). ESPACES VECTORIELS 4. SOUS-ESPACE VECTORIEL (MILIEU) 148 2. Dans le R-espace vectoriel R2, le vecteur u = (2, 1) n’est (Source: "linéaire des vecteurs (1, 1 , 0) et (1, 1, 1) car on a l’égalité (3, 3, 1) = 2(1, 1, 0) + (1, 1, 1). ESPACES VECTORIELS 4. SOUS-ESPACE VECTORIEL (MILIEU) 148 2. Dans le R-espace vectoriel R2, le vecteur u = (2, 1) n’est pas colinéaire au vecteur v1 = (1, 1) car s’il l’était, il existerait un réel λ tel que u = λv1, ce qui équivaudrait à l’égalité")
Détail source à réviser : donc w′ − w ∈ G. Conclusion : v − v′ = w′ − w ∈ F ∩ G. Mais par définition d’espaces supplémentaires F ∩ G = {0E }, donc v − v′ = 0E et aussi w′ − w = 0E . On en déduit v = v′ et w = w′, ce qu’il fallait démontrer. • Sup (Source: "donc w′ − w ∈ G. Conclusion : v − v′ = w′ − w ∈ F ∩ G. Mais par définition d’espaces supplémentaires F ∩ G = {0E }, donc v − v′ = 0E et aussi w′ − w = 0E . On en déduit v = v′ et w = w′, ce qu’il fallait démontrer. • Supposons que tout u ∈ E se décompose de manière unique et montrons E = F ⊕ G. ESPACES VECTORIELS 5. SOUS-ESPACE VECTORIEL (FIN) 153 —")
Détail source à réviser : définie par f : R3 → R2 (x, y, z) 7 → (−2x, y + 3z) est une application linéaire. En effet, soient u = (x, y, z) et v = (x′, y′, z′) deux éléments de R3 et λ un réel. f (u + v) = f (x + x′, y + y′, z + z′) = − 2(x + x′), (Source: "définie par f : R3 → R2 (x, y, z) 7 → (−2x, y + 3z) est une application linéaire. En effet, soient u = (x, y, z) et v = (x′, y′, z′) deux éléments de R3 et λ un réel. f (u + v) = f (x + x′, y + y′, z + z′) = − 2(x + x′), y + y′ + 3(z + z′) = (−2x, y + 3z) + (−2x′, y′ + 3z′) = f (u) + f (v) et f (λ · u) = f (λx, λ y, λz) = (−2λx, λ y + 3λz) = λ · (−2x, y +")
Détail source à réviser : ) = f −1{0F }. Proposition 9. Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F . Le noyau de f est un sous-espace vectoriel de E. Démonstration. Ker( f ) est non vide car f (0E ) = 0F don (Source: ") = f −1{0F }. Proposition 9. Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F . Le noyau de f est un sous-espace vectoriel de E. Démonstration. Ker( f ) est non vide car f (0E ) = 0F donc 0E ∈ Ker( f ). Soient x1, x2 ∈ Ker( f ) et λ, μ ∈ K. Montrons que λx1 + μx2 est un élément de Ker( f ). On a, en utilisant la linéarité")
Détail source à réviser : cours de Sophie Chemla de l’université Pierre et Marie Curie, reprenant des parties d’un cours de H. Ledret et d’une équipe de l’université de Bordeaux animée par J. Queyrut, • et un cours de Eva Bayer-Fluckiger, Philipp (Source: "cours de Sophie Chemla de l’université Pierre et Marie Curie, reprenant des parties d’un cours de H. Ledret et d’une équipe de l’université de Bordeaux animée par J. Queyrut, • et un cours de Eva Bayer-Fluckiger, Philippe Chabloz, Lara Thomas de l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, • mixés et révisés par Arnaud Bodin, relu par Vianney Combet.")
Détail source à réviser : 7. Soient maintenant les vecteurs v1 = Ä 1 1 1 ä , v2 = Ä 1 2 3 ä de E = R3. Les vecteurs {v1, v2} ne forment pas une famille génératrice de R3. Par exemple, le vecteur v = Ä 0 1 0 ä n’est pas dans Vect(v1, v2). En effet (Source: "7. Soient maintenant les vecteurs v1 = Ä 1 1 1 ä , v2 = Ä 1 2 3 ä de E = R3. Les vecteurs {v1, v2} ne forment pas une famille génératrice de R3. Par exemple, le vecteur v = Ä 0 1 0 ä n’est pas dans Vect(v1, v2). En effet, si c’était le cas, alors il existerait λ1, λ2 ∈ R tels que v = λ1 v1 + λ2 v2. Ce qui s’écrirait aussi Ä 0 1 0 ä = λ1 Ä 1 1 1 ä + λ2")
Détail source à réviser : famille F telle que L ∪ F soit une famille libre et génératrice de E. 2. De toute famille génératrice G on peut extraire une base de E. C’est-à-dire qu’il existe une famille B ⊂ G telle que B soit une famille libre et gé (Source: "famille F telle que L ∪ F soit une famille libre et génératrice de E. 2. De toute famille génératrice G on peut extraire une base de E. C’est-à-dire qu’il existe une famille B ⊂ G telle que B soit une famille libre et génératrice de E. 3.5. Preuves Les deux théorèmes précédents sont la conséquence d’un résultat encore plus général : Théorème 5. Soit G")
Détail source à réviser : base incomplète. Autrement dit, lorsque le nombre de vecteurs considéré est exactement égal à la dimension de l’espace vectoriel, l’une des deux conditions – être libre ou bien génératrice – suffit pour que ces vecteurs (Source: "base incomplète. Autrement dit, lorsque le nombre de vecteurs considéré est exactement égal à la dimension de l’espace vectoriel, l’une des deux conditions – être libre ou bien génératrice – suffit pour que ces vecteurs déterminent une base de E. Démonstration. • Les implications (i) =⇒ (ii) et (i) =⇒ (iii) découlent de la définition d’une base. • Voici la")
Détail source à réviser : non nuls u de E ; • soit de dimension 2 : c’est alors l’espace E tout entier. Vocabulaire. Plus généralement, dans un K-espace vectoriel E de dimension n (n > 2), tout sous-espace vectoriel de E de dimension 1 est appelé (Source: "non nuls u de E ; • soit de dimension 2 : c’est alors l’espace E tout entier. Vocabulaire. Plus généralement, dans un K-espace vectoriel E de dimension n (n > 2), tout sous-espace vectoriel de E de dimension 1 est appelé droite vectorielle de E et tout sous-espace vectoriel de E de dimension 2 est appelé plan vectoriel de E. Tout sous-espace vectoriel")
Détail source à réviser : · · · + ai j ei + · · · + an j en, ce que l’on note vj =     a1 j ... ai j ... an j     B . En juxtaposant ces vecteurs colonnes, on obtient une matrice A ∈ Mn,p(K). Le rang de la famille {v1, . . . , vp} est éga (Source: "· · · + ai j ei + · · · + an j en, ce que l’on note vj =     a1 j ... ai j ... an j     B . En juxtaposant ces vecteurs colonnes, on obtient une matrice A ∈ Mn,p(K). Le rang de la famille {v1, . . . , vp} est égal au rang de la matrice A. Définition 3. On dit qu’une matrice est échelonnée par rapport aux colonnes si le nombre de zéros commençant")
Détail source à réviser : déterminée par les images des vecteurs d’une base de l’espace vectoriel E de départ. C’est ce qu’affirme le théorème suivant : Théorème 2 (Construction d’une application linéaire). Soient E et F deux espaces vectoriels s (Source: "déterminée par les images des vecteurs d’une base de l’espace vectoriel E de départ. C’est ce qu’affirme le théorème suivant : Théorème 2 (Construction d’une application linéaire). Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K. On suppose que l’espace vectoriel E est de dimension finie n et que (e1, . . . , en) est une base de E .")
Détail source à réviser : ε1, ε2, . . . , εn sont linéairement indépendants et par conséquent pour tout i = 1, . . . , p, λi = 0, et pour tout i = p + 1, . . . , n, αi = 0. Les vecteurs f (εp+1), . . . , f (εn) définissent donc bien une base de I (Source: "ε1, ε2, . . . , εn sont linéairement indépendants et par conséquent pour tout i = 1, . . . , p, λi = 0, et pour tout i = p + 1, . . . , n, αi = 0. Les vecteurs f (εp+1), . . . , f (εn) définissent donc bien une base de Im f . Ainsi le sous-espace vectoriel Im f est de dimension n − p, ce qui achève la démonstration. On remarquera le rôle essentiel")
Détail source à réviser : B = MatB′,B′′ (g) C = MatB,B′′ (g ◦ f ) Alors C = B × A Autrement dit, à condition de bien choisir les bases, la matrice associée à la composition de deux applications linéaires est le produit des matrices associées à ch (Source: "B = MatB′,B′′ (g) C = MatB,B′′ (g ◦ f ) Alors C = B × A Autrement dit, à condition de bien choisir les bases, la matrice associée à la composition de deux applications linéaires est le produit des matrices associées à chacune d’elles, dans le même ordre. En fait, le produit de matrices, qui semble compliqué au premier abord, est défini afin de correspondre")
Détail source à réviser : y1 y2 ... yn ! B′ . Alors, si y = f (x), on a Y = AX Autrement dit : MatB′ f (x) = MatB,B′ ( f ) × MatB (x) Démonstration. • On pose B = (e1, . . . , ep), B′ = ( f1, f2, . . . , fn), A = (ai, j ) = MatB,B′ ( f ) et X = M (Source: "y1 y2 ... yn ! B′ . Alors, si y = f (x), on a Y = AX Autrement dit : MatB′ f (x) = MatB,B′ ( f ) × MatB (x) Démonstration. • On pose B = (e1, . . . , ep), B′ = ( f1, f2, . . . , fn), A = (ai, j ) = MatB,B′ ( f ) et X = MatB (x) = x1 x2 ... xp ! . • On a f (x) = f p∑ j=1 x j ej ! = p∑ j=1 x j f (ej ) = p∑ j=1 x j Ç n∑ i=1 ai, j fi å . MATRICES ET")
Détail source à réviser : Calculer la matrice de passage de B0 à B1. 4. En déduire les coordonnées de v dans la base B1, et de f (v) dans la base B1. 5. Calculer la matrice de f dans la base B1. Même exercice dans R3 avec f : R3 → R3, f (x, y, z) (Source: "Calculer la matrice de passage de B0 à B1. 4. En déduire les coordonnées de v dans la base B1, et de f (v) dans la base B1. 5. Calculer la matrice de f dans la base B1. Même exercice dans R3 avec f : R3 → R3, f (x, y, z) = (x − 2 y, y − 2z, z − 2x), v = Ä 3 −2 1 ä ∈ R3 et B1 = ÄÄ 0 1 2 ä , Ä 2 0 1 ä , Ä 1 2 0 ää . MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 4.")
Détail source à réviser : 1. La première propriété découle de la partie (i) de la définition du déterminant. 2. Soit A = C1 · · · Ci · · · Cj · · · Cn une matrice représentée par ses vecteurs colonnes Ck. L’opéra- tion Ci ← Ci + λCj transforme la (Source: "1. La première propriété découle de la partie (i) de la définition du déterminant. 2. Soit A = C1 · · · Ci · · · Cj · · · Cn une matrice représentée par ses vecteurs colonnes Ck. L’opéra- tion Ci ← Ci + λCj transforme la matrice A en la matrice A′ = C1 · · · Ci + λCj · · · Cj · · · Cn . Par linéarité par rapport à la colonne i, on sait que det A′ = det A +")
Détail source à réviser : ces propriétés, nous aurons besoin des matrices élémentaires. 3.1. Déterminant et matrices élémentaires Pour chacune des opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice A, on associe une matrice élémen- taire E, t (Source: "ces propriétés, nous aurons besoin des matrices élémentaires. 3.1. Déterminant et matrices élémentaires Pour chacune des opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice A, on associe une matrice élémen- taire E, telle que la matrice obtenue par l’opération élémentaire sur A soit A′ = A × E. 1. Ci ← λCi avec λ 6 = 0 : ECi ←λCi = diag(1, . . . , 1,")
Détail source à réviser : 0 3 1 −1 1 0 2 3     On choisit de développer par rapport à la seconde colonne (car c’est là qu’il y a le plus de zéros) : det A = 0C12 + 2C22 + 3C32 + 0C42 (développement par rapport à la deuxième colonne) = +2 4 3 (Source: "0 3 1 −1 1 0 2 3     On choisit de développer par rapport à la seconde colonne (car c’est là qu’il y a le plus de zéros) : det A = 0C12 + 2C22 + 3C32 + 0C42 (développement par rapport à la deuxième colonne) = +2 4 3 1 0 1 −1 1 2 3 − 3 4 3 1 4 1 0 1 2 3 on n’oublie pas les signes des cofacteurs et on recommence en développant chacun de ces deux")
Détail source à réviser : 1 2 3 1 1 1 α 1   • Clairement, le rang ne peut pas être égal à 4, puisque 4 vecteurs de R3 ne sauraient être indépendants. DÉTERMINANTS 5. APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS 232 • On obtient les mineurs d’ordre 3 de A en s (Source: "1 2 3 1 1 1 α 1   • Clairement, le rang ne peut pas être égal à 4, puisque 4 vecteurs de R3 ne sauraient être indépendants. DÉTERMINANTS 5. APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS 232 • On obtient les mineurs d’ordre 3 de A en supprimant une colonne. Calculons le mineur d’ordre 3 obtenu en supprimant la première colonne, en le développant par rapport à sa première")
Détail source à réviser : » • « 2 + 2 = 4 » • « 2 × 3 = 7 » • « Pour tout x ∈ R, on a x2 > 0. » • « Pour tout z ∈ C, on a |z| = 1. » Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à pa (Source: "» • « 2 + 2 = 4 » • « 2 × 3 = 7 » • « Pour tout x ∈ R, on a x2 > 0. » • « Pour tout z ∈ C, on a |z| = 1. » Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à partir de P et de Q. L’opérateur logique « et » L’assertion « P et Q » est vraie si P est vraie et Q est vraie. L’assertion « P et Q » est...")
Détail source à réviser : (Contraposée ou absurde) Soient a, b ∈ Z. Montrer que si b 6 = 0 alors a + bp2 /∈ Q. (On utilisera que p2 /∈ Q.) 4. (Absurde) Soit n ∈ N∗. Montrer que pn2 + 1 n’est pas un entier. 5. (Contre-exemple) Est-ce que pour tout (Source: "(Contraposée ou absurde) Soient a, b ∈ Z. Montrer que si b 6 = 0 alors a + bp2 /∈ Q. (On utilisera que p2 /∈ Q.) 4. (Absurde) Soit n ∈ N∗. Montrer que pn2 + 1 n’est pas un entier. 5. (Contre-exemple) Est-ce que pour tout x ∈ R on a x < 2 =⇒ x2 < 4 ? 6. (Récurrence) Montrer que pour tout n > 1, 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) 2 . 7. (Récurrence) Fixons un réel...")
Détail source à réviser : 1. L’application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE (Source: "1. L’application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE")
Détail source à réviser : Voici un exemple que vous connaissez depuis longtemps : ENSEMBLES ET APPLICATIONS 5. RELATION D’ÉQUIVALENCE 29 Exemple 10. Définissons sur E = Z × N∗ la relation R par (p, q)R(p′, q′) ⇐⇒ pq′ = p′q. Tout d’abord R est une (Source: "Voici un exemple que vous connaissez depuis longtemps : ENSEMBLES ET APPLICATIONS 5. RELATION D’ÉQUIVALENCE 29 Exemple 10. Définissons sur E = Z × N∗ la relation R par (p, q)R(p′, q′) ⇐⇒ pq′ = p′q. Tout d’abord R est une relation d’équivalence : • R est réflexive : pour tout (p, q) on a bien pq = pq et donc (p, q)R(p, q). • R est symétrique : pour tout (p...")
Détail source à réviser : 1. Mettre les nombres suivants sont la forme module-argument (avec la notation exponentielle) : 1, i, −1, − i, 3 i, 1 + i, p3 − i, p3 − i, 1p3−i , (p3 − i)20x x où 20x x est l’année en cours (Source: "1. Mettre les nombres suivants sont la forme module-argument (avec la notation exponentielle) : 1, i, −1, − i, 3 i, 1 + i, p3 − i, p3 − i, 1p3−i , (p3 − i)20x x où 20x x est l’année en cours")
Détail source à réviser : Pour cela on écrit les premiers entiers : pour notre exemple de 2 à 25. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Rappelons-nous qu’un diviseur positif d’un entier n est inférieur ou égal à n. Donc (Source: "Pour cela on écrit les premiers entiers : pour notre exemple de 2 à 25. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Rappelons-nous qu’un diviseur positif d’un entier n est inférieur ou égal à n. Donc 2 ne peut avoir comme diviseurs que 1 et 2 et est donc premier. On entoure 2. Ensuite on raye (ici en grisé) tous les multiples suivants...")
Détail source à réviser : 3. Soient A, B ∈ K[X ], on dit que B divise A s’il existe Q ∈ K[X ] tel que A = BQ (Source: "3. Soient A, B ∈ K[X ], on dit que B divise A s’il existe Q ∈ K[X ] tel que A = BQ")
Détail source à réviser : Écrivons la division euclidienne : h = kn + r, avec k, r ∈ Z et 0 6 r < n. Mais h ∈ H et kn ∈ H donc r = h − kn ∈ H. Nous avons un entier r > 0 qui est un élément de H et strictement plus petit que n. Par la définition d (Source: "Écrivons la division euclidienne : h = kn + r, avec k, r ∈ Z et 0 6 r < n. Mais h ∈ H et kn ∈ H donc r = h − kn ∈ H. Nous avons un entier r > 0 qui est un élément de H et strictement plus petit que n. Par la définition de n, nécessairement r = 0. Autrement dit h = kn et donc h ∈ nZ. Conclusion H = nZ. 2.4. Sous-groupes engendrés Soit (G, ?) un groupe et E...")
Détail source à réviser : 4. LE GROUPE Z/nZ 80 Plus généralement si l’on fixe n ∈ Z, n 6 = 0, et que f est définie par f (k) = k · n alors Ker f = {0} et Im f = nZ (Source: "4. LE GROUPE Z/nZ 80 Plus généralement si l’on fixe n ∈ Z, n 6 = 0, et que f est définie par f (k) = k · n alors Ker f = {0} et Im f = nZ")
Détail source à réviser : Par exemple pour le système : 3x + 2 y = 1 2x − 7 y = −2 (S) Nous réécrivons la première ligne 3x + 2 y = 1 sous la forme y = 1 2 − 3 2 x. Et nous remplaçons (nous substituons) le y de la seconde équation, par l’expressi (Source: "Par exemple pour le système : 3x + 2 y = 1 2x − 7 y = −2 (S) Nous réécrivons la première ligne 3x + 2 y = 1 sous la forme y = 1 2 − 3 2 x. Et nous remplaçons (nous substituons) le y de la seconde équation, par l’expression 1 2 − 3 2 x. Nous obtenons un système équivalent : y = 1 2 − 3 2 x 2x − 7( 1 2 − 3 2 x) = −2 La seconde équation est maintenant une ex...")
Détail source à réviser : INVERSE D’UNE MATRICE : DÉFINITION 106 D’où Ap =     1 p p2 p(p2 − p + 1) 0 1 2p p(3p − 2) 0 0 1 3p 0 0 0 1     . Mini-exercices. 1. Soient A = 0 2 −2 6 −4 0 , B = Ä 2 1 0 0 1 0 2 −2 −3 ä , C = Ä 8 2 −3 2 −5 5 ä (Source: "INVERSE D’UNE MATRICE : DÉFINITION 106 D’où Ap =     1 p p2 p(p2 − p + 1) 0 1 2p p(3p − 2) 0 0 1 3p 0 0 0 1     . Mini-exercices. 1. Soient A = 0 2 −2 6 −4 0 , B = Ä 2 1 0 0 1 0 2 −2 −3 ä , C = Ä 8 2 −3 2 −5 5 ä , D = Ä 5 2 −1 ä , E = x y z. Quels produits sont possibles ? Les calculer ! 2. Soient A = Ä 0 0 1 0 1 0 1 1 2 ä et B = Ä 1 0 0 0 0 2 1 −...")
Détail source à réviser : 1. Si possible calculer l’inverse des matrices : 3 1 7 2 , 2 −3 −5 4 , 0 2 3 0 , α+1 1 2 α (Source: "1. Si possible calculer l’inverse des matrices : 3 1 7 2 , 2 −3 −5 4 , 0 2 3 0 , α+1 1 2 α")
Détail source à réviser : 12. Une matrice A de taille n × n est symétrique si elle est égale à sa transposée, c’est-à-dire si A = AT , ou encore si ai j = aji pour tout i, j = 1 , (Source: "12. Une matrice A de taille n × n est symétrique si elle est égale à sa transposée, c’est-à-dire si A = AT , ou encore si ai j = aji pour tout i, j = 1 ,")
Détail source à réviser : • Si A n’est pas inversible, alors il existe un vecteur X non nul tel que AX = 0. En conséquence on a X 6 = 0 mais f (X ) = f (0) = 0. f n’est pas injective donc pas bijective. 3.3. Caractérisation des applications linéa (Source: "• Si A n’est pas inversible, alors il existe un vecteur X non nul tel que AX = 0. En conséquence on a X 6 = 0 mais f (X ) = f (0) = 0. f n’est pas injective donc pas bijective. 3.3. Caractérisation des applications linéaires Théorème 4. Une application f : Rp −→ Rn est linéaire si et seulement si pour tous les vecteurs u, v de Rp et pour tout scalaire λ ∈...")
Détail source à réviser : Par exemple, (0, 1) + (1, 0) = (1, 1) est la somme d’un élément de F et d’un élément de G, mais n’est pas dans F ∪ G. G F (0, 1) (1, 0) (1, 1) 0 Mini-exercices. 1. Peut-on trouver t ∈ R tel que les vecteurs −2p2 t et Å − (Source: "Par exemple, (0, 1) + (1, 0) = (1, 1) est la somme d’un élément de F et d’un élément de G, mais n’est pas dans F ∪ G. G F (0, 1) (1, 0) (1, 1) 0 Mini-exercices. 1. Peut-on trouver t ∈ R tel que les vecteurs −2p2 t et Å −4p2 4t 2p2 ã soient colinéaires ? 2. Peut-on trouver t ∈ R tel que le vecteur Ä 1 3t t ä soit une combinaison linéaire de Ä 1 3 2 ä et Ä...")
Détail source à réviser : Est-ce que les sous-espaces vectoriels F et G de R3 définis par F = (x, y, z) ∈ R3 | x − y − z = 0 et G = (x, y, z) ∈ R3 | y = z = 0 sont supplémentaires dans R3 ? F G 0 ESPACES VECTORIELS 5. SOUS-ESPACE VECTORIEL (FIN) (Source: "Est-ce que les sous-espaces vectoriels F et G de R3 définis par F = (x, y, z) ∈ R3 | x − y − z = 0 et G = (x, y, z) ∈ R3 | y = z = 0 sont supplémentaires dans R3 ? F G 0 ESPACES VECTORIELS 5. SOUS-ESPACE VECTORIEL (FIN) 154 1. Il est facile de vérifier que F ∩ G = {0}. En effet si l’élément u = (x, y, z) appartient à l’intersection de F et de G, alors les...")
Détail source à réviser : 27. Reprenons l’exemple de l’application linéaire f définie par f : R3 → R2 (x, y, z) 7 → (−2x, y + 3z) • Calculons le noyau Ker( f ) (Source: "27. Reprenons l’exemple de l’application linéaire f définie par f : R3 → R2 (x, y, z) 7 → (−2x, y + 3z) • Calculons le noyau Ker( f )")
Détail source à réviser : 2. Il s’agit donc d’étudier l’existence de solutions au système : 2λ + μ = x λ + μ = y Il a pour solution λ = x − y et μ = −x + 2 y, et ceci, quels que soient les réels x et y (Source: "2. Il s’agit donc d’étudier l’existence de solutions au système : 2λ + μ = x λ + μ = y Il a pour solution λ = x − y et μ = −x + 2 y, et ceci, quels que soient les réels x et y")
Détail source à réviser : Soient E un espace vectoriel de dimension finie et F, G des sous-espaces vectoriels de E. Alors : dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G) Corollaire 3. Si E = F ⊕ G, alors dim E = dim F + dim G. Exemple 22. Dans un espac (Source: "Soient E un espace vectoriel de dimension finie et F, G des sous-espaces vectoriels de E. Alors : dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G) Corollaire 3. Si E = F ⊕ G, alors dim E = dim F + dim G. Exemple 22. Dans un espace vectoriel E de dimension 6, on considère deux sous-espaces F et G avec dim F = 3 et dim G = 4. Que peut-on dire de F ∩ G ? de F + G ? P...")
Détail source à réviser : • Nous avons une famille de 3 vecteurs donc rg f 6 3. • Mais en fait les vecteurs v1, v2, v3 vivent dans un espace de dimension 2 donc rg f 6 2. • f n’est pas l’application linéaire nulle (autrement dit v1, v2, v3 ne son (Source: "• Nous avons une famille de 3 vecteurs donc rg f 6 3. • Mais en fait les vecteurs v1, v2, v3 vivent dans un espace de dimension 2 donc rg f 6 2. • f n’est pas l’application linéaire nulle (autrement dit v1, v2, v3 ne sont pas tous nuls) donc rg f > 1. Donc le rang de f vaut 1 ou 2. Il est facile de voir que v1 et v2 sont linéairement indépendants, donc le...")
Détail source à réviser : MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE 197 Proposition 7. Soit f : E → F un isomorphisme d’espaces vectoriels. Si E (respectivement F ) est de dimension finie, alors F (respective (Source: "MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE 197 Proposition 7. Soit f : E → F un isomorphisme d’espaces vectoriels. Si E (respectivement F ) est de dimension finie, alors F (respectivement E) est aussi de dimension finie et on a dim E = dim F . Démonstration. Si E est de dimension finie, alors comme f est surjective, F...")
Détail source à réviser : On trouve Ker f = x1e1 + x2e2 + x3e3 ∈ E | x1 + 2x2 + x3 = 0 et x2 + x3 = 0 = ¶Ä t −t t ä | t ∈ K © = Vect Ä 1 −1 1 ä B Le noyau est donc de dimension 1. Par le théorème du rang, l’image Im f est de dimension 2. Les deux (Source: "On trouve Ker f = x1e1 + x2e2 + x3e3 ∈ E | x1 + 2x2 + x3 = 0 et x2 + x3 = 0 = ¶Ä t −t t ä | t ∈ K © = Vect Ä 1 −1 1 ä B Le noyau est donc de dimension 1. Par le théorème du rang, l’image Im f est de dimension 2. Les deux premiers vecteurs de la matrice A étant linéairement indépendants, ils engendrent Im f : Im f = Vect Ä 1 2 1 ä B , Ä 2 3 1 ä B . 4.2. Ma...")
Détail source à réviser : Cette matrice a deux colonnes distinctes égales, donc d’après (ii), det B = 0. DÉTERMINANTS 2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT 217 D’un autre côté, nous pouvons développer ce déterminant en utilisant la propriété (i) de multil (Source: "Cette matrice a deux colonnes distinctes égales, donc d’après (ii), det B = 0. DÉTERMINANTS 2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT 217 D’un autre côté, nous pouvons développer ce déterminant en utilisant la propriété (i) de multilinéarité, c’est-à-dire linéarité par rapport à chaque colonne. Ceci donne 0 = det B = det C1 · · · Ci + Cj · · · Cj + Ci · · · Cn = det C...")
Détail source à réviser : Calculer les matrices extraites, les mineurs d’ordre 2 et les cofacteurs de chacune des matrices A et B. En déduire le déterminant de A et de B. En déduire l’inverse de A et de B lorsque c’est possible. 2. Par développem (Source: "Calculer les matrices extraites, les mineurs d’ordre 2 et les cofacteurs de chacune des matrices A et B. En déduire le déterminant de A et de B. En déduire l’inverse de A et de B lorsque c’est possible. 2. Par développement suivant une ligne (ou une colonne) bien choisie, calculer les déterminants : 1 0 1 2 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 −1 t 0 1 0 1 t 0 0 0 1 t 0...")
Détail source à réviser : MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE 195 Exemple 8. Soit l’application linéaire f : R4 −→ R3 (x1, x2, x3, x4) 7 −→ (x1 − x2 + x3, 2x1 + 2x2 + 6x3 + 4x4, −x1 − 2x3 − x4) Calculon (Source: "MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE 195 Exemple 8. Soit l’application linéaire f : R4 −→ R3 (x1, x2, x3, x4) 7 −→ (x1 − x2 + x3, 2x1 + 2x2 + 6x3 + 4x4, −x1 − 2x3 − x4) Calculons le rang de f et la dimension du noyau de f . • Première méthode. On calcule d’abord le noyau : (x1, x2, x3, x4) ∈ Ker f ⇐⇒ f (x1, x2, x...")
Détail source à réviser : ramètres et on trouve : Ker f = ß (−2x3 − x4, −x3 − x4, x3, x4) | x3, x4 ∈ R ™ = ß x3 Å −2 −1 1 0 ã + x4 Å −1 −1 0 1 ã | x3, x4 ∈ R ™ = Vect ÅÅ −2 −1 1 0 ã , Å −1 −1 0 1 ãã Les deux vecteurs définissant le noyau sont lin (Source: "ramètres et on trouve : Ker f = ß (−2x3 − x4, −x3 − x4, x3, x4) | x3, x4 ∈ R ™ = ß x3 Å −2 −1 1 0 ã + x4 Å −1 −1 0 1 ã | x3, x4 ∈ R ™ = Vect ÅÅ −2 −1 1 0 ã , Å −1 −1 0 1 ãã Les deux vecteurs définissant le noyau sont linéairement indépendants, donc dim Ker f = 2. On applique maintenant le théorème du rang pour en déduire sans calculs la dimension de l’ima...")
Détail source à réviser : 2. On applique maintenant le théorème du rang pour en déduire sans calculs la dimension de l’image : dim Im f = dim R4 − dim Ker f = 4 − 2 = 2 (Source: "2. On applique maintenant le théorème du rang pour en déduire sans calculs la dimension de l’image : dim Im f = dim R4 − dim Ker f = 4 − 2 = 2")
Détail source à réviser : 9. Soit l’application linéaire f : Rn[X ] −→ Rn[X ] P(X ) 7 −→ P′′(X ) où P′′(X ) est la dérivée seconde de P(X ) (Source: "9. Soit l’application linéaire f : Rn[X ] −→ Rn[X ] P(X ) 7 −→ P′′(X ) où P′′(X ) est la dérivée seconde de P(X )")
Détail source à réviser : n) est une base de l’espace de départ Rn[X ], donc rg f = dim Im f = dim Vect f (1), f (X ), (Source: "n) est une base de l’espace de départ Rn[X ], donc rg f = dim Im f = dim Vect f (1), f (X ),")
Détail source à réviser : Tout d’abord, f (1) = 0 et f (X ) = 0. Pour k > 2, f (X k) = k(k − 1)X k−2. Comme les degrés sont échelonnés, il est clair que f (X 2), f (X 3), . . . , f (X n) = 2, 6X , 12X 2, . . . , n(n − 1)X n−2 engendre un espace d (Source: "Tout d’abord, f (1) = 0 et f (X ) = 0. Pour k > 2, f (X k) = k(k − 1)X k−2. Comme les degrés sont échelonnés, il est clair que f (X 2), f (X 3), . . . , f (X n) = 2, 6X , 12X 2, . . . , n(n − 1)X n−2 engendre un espace de dimension n − 1, donc rg f = n − 1. Par le théorème du rang, dim Ker f = dim Rn[X ] − rg f = (n + 1) − (n − 1) = 2. Preuve du théorème...")
Détail source à réviser : 0. Puisque f est une application linéaire, cette égalité équivaut à l’égalité f αp+1εp+1 + · · · + αnεn = 0, qui prouve que le vecteur αp+1εp+1 + · · · + αnεn appartient au noyau de f (Source: "0. Puisque f est une application linéaire, cette égalité équivaut à l’égalité f αp+1εp+1 + · · · + αnεn = 0, qui prouve que le vecteur αp+1εp+1 + · · · + αnεn appartient au noyau de f")
Détail source à réviser : Si E est de dimension finie, alors comme f est surjective, F = Im f , donc F est engendré par l’image d’une base de E. On a donc F de dimension finie et dim F 6 dim E. De même f −1 : F → E est un isomorphisme, donc f −1( (Source: "Si E est de dimension finie, alors comme f est surjective, F = Im f , donc F est engendré par l’image d’une base de E. On a donc F de dimension finie et dim F 6 dim E. De même f −1 : F → E est un isomorphisme, donc f −1(F ) = E, ce qui prouve cette fois dim E 6 dim F . Si c’est F qui est de dimension finie, on fait le même raisonnement avec f −1. Nous all...")
Détail source à réviser : E. D’après l’hypothèse sur l’égalité des dimensions de E et de F , ceci équivaut à dim Im f = dim F (Source: "E. D’après l’hypothèse sur l’égalité des dimensions de E et de F , ceci équivaut à dim Im f = dim F")
Détail source à réviser : Ensuite on calcule le noyau : (x, y) ∈ Ker f ⇐⇒ f (x, y) = 0 ⇐⇒ (x − y, x + y) = (0, 0) ⇐⇒ x + y = 0 x − y = 0 ⇐⇒ (x, y) = (0, 0) Ainsi Ker f = (0, 0) est réduit au vecteur nul, ce qui prouve que f est injective et donc, (Source: "Ensuite on calcule le noyau : (x, y) ∈ Ker f ⇐⇒ f (x, y) = 0 ⇐⇒ (x − y, x + y) = (0, 0) ⇐⇒ x + y = 0 x − y = 0 ⇐⇒ (x, y) = (0, 0) Ainsi Ker f = (0, 0) est réduit au vecteur nul, ce qui prouve que f est injective et donc, par le théorème 4, que f est un isomorphisme. Exemple 11. On termine par la justification que si une matrice admet un inverse à droite,...")
Détail source à réviser : (b) f est injective : en effet supposons f (M ) = O (où O est la matrice nulle), cela donne M A = O. On multiplie cette égalité par B à droite, ainsi M AB = OB, donc M I = O, donc M = O. (c) Par le théorème 4, f est donc (Source: "(b) f est injective : en effet supposons f (M ) = O (où O est la matrice nulle), cela donne M A = O. On multiplie cette égalité par B à droite, ainsi M AB = OB, donc M I = O, donc M = O. (c) Par le théorème 4, f est donc aussi surjective. (d) Comme f est surjective, alors en particulier l’identité est dans l’image de f . C’est-à-dire il existe C ∈ Mn(K) t...")
Détail source à réviser : C’est-à-dire il existe C ∈ Mn(K) tel que f (C) = I. Ce qui est exactement dire que C est un inverse à gauche de A : CA = I. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 198 2. Nous avons AB = (Source: "C’est-à-dire il existe C ∈ Mn(K) tel que f (C) = I. Ce qui est exactement dire que C est un inverse à gauche de A : CA = I. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 198 2. Nous avons AB = I et CA = I. Montrons B = C. Calculons CAB de deux façons : (CA)B = I B = B et C(AB) = C I = C donc B = C. Mini-exercices. 1. Soit (e1, e...")
Détail source à réviser : MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 198 2. Nous avons AB = I et CA = I. Montrons B = C. Calculons CAB de deux façons : (CA)B = I B = B et C(AB) = C I = C donc B = C. Mini-exercices. 1. Soit (e1, e2, e3) la base canonique (Source: "MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 198 2. Nous avons AB = I et CA = I. Montrons B = C. Calculons CAB de deux façons : (CA)B = I B = B et C(AB) = C I = C donc B = C. Mini-exercices. 1. Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3. Donner l’expression de f (x, y, z) où f : R3 → R3 est l’application linéaire qui envoie e1 sur son opposé, qui envoie e2 sur le ve...")
Détail source à réviser : z) où f : R3 → R3 est l’application linéaire qui envoie e1 sur son opposé, qui envoie e2 sur le vecteur nul et qui envoie e3 sur la somme des trois vecteurs e1, e2, e3 (Source: "z) où f : R3 → R3 est l’application linéaire qui envoie e1 sur son opposé, qui envoie e2 sur le vecteur nul et qui envoie e3 sur la somme des trois vecteurs e1, e2, e3")
Détail source à réviser : 4. Même question avec l’application linéaire f : Rn[X ] → Rn[X ] qui à X k associe X k−1 pour 1 6 k 6 n et qui à 1 associe 0 (Source: "4. Même question avec l’application linéaire f : Rn[X ] → Rn[X ] qui à X k associe X k−1 pour 1 6 k 6 n et qui à 1 associe 0")
Détail source à réviser : 5. Lorsque c’est possible, calculer la dimension du noyau, le rang et dire si f peut être injective, surjective, bijective : • Une application linéaire surjective f : R7 → R4 (Source: "5. Lorsque c’est possible, calculer la dimension du noyau, le rang et dire si f peut être injective, surjective, bijective : • Une application linéaire surjective f : R7 → R4")
Détail source à réviser : Il est donc naturel d’introduire la définition suivante : MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 199 Définition 4. La matrice de l’application linéaire f par rapport aux bases B et B′ es (Source: "Il est donc naturel d’introduire la définition suivante : MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 199 Définition 4. La matrice de l’application linéaire f par rapport aux bases B et B′ est la matrice (ai, j ) ∈ Mn,p(K) dont la j-ème colonne est constituée par les coordonnées du vecteur f (ej ) dans la base B′ = ( f1, f2, ....")
Détail source à réviser : f (ε1) = f (1, 1, 0) = (2 , −1) = 3φ1 − φ2, f (ε2) = f (1 , 0, 1) = (0, 4) = −4φ1 + 4φ2, f (ε3) = f (0, 1 , 1) = (0, 1) = −φ1 + φ2, donc MatB0,B′ 0 ( f ) = 3 −4 −1 −1 4 1 . Cet exemple illustre bien le fait que la matric (Source: "f (ε1) = f (1, 1, 0) = (2 , −1) = 3φ1 − φ2, f (ε2) = f (1 , 0, 1) = (0, 4) = −4φ1 + 4φ2, f (ε3) = f (0, 1 , 1) = (0, 1) = −φ1 + φ2, donc MatB0,B′ 0 ( f ) = 3 −4 −1 −1 4 1 . Cet exemple illustre bien le fait que la matrice dépend du choix des bases. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 200 3.2. Opérations sur les applica...")
Détail source à réviser : n. Deux situations : • Si on choisit la même base B au départ et à l’arrivée, alors on note simplement MatB ( f ) la matrice associée à f (Source: "n. Deux situations : • Si on choisit la même base B au départ et à l’arrivée, alors on note simplement MatB ( f ) la matrice associée à f")
Détail source à réviser : • Cas de rθ : R2 −→ R2 la rotation d’angle θ , centrée à l’origine, dans l’espace vectoriel R2 muni de la base canonique B. Alors rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ , x sin θ + y cos θ ). On a MatB (rθ ) = cos θ − sin θ sin (Source: "• Cas de rθ : R2 −→ R2 la rotation d’angle θ , centrée à l’origine, dans l’espace vectoriel R2 muni de la base canonique B. Alors rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ , x sin θ + y cos θ ). On a MatB (rθ ) = cos θ − sin θ sin θ cos θ . Dans le cas particulier de la puissance d’un endomorphisme de E, nous obtenons : Corollaire 1. Soient E un espace vectoriel de...")
Détail source à réviser : MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 203 1. f est bijective si et seulement si la matrice A est inversible. Autrement dit, f est un isomorphisme si et seulement si sa matrice associée (Source: "MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 203 1. f est bijective si et seulement si la matrice A est inversible. Autrement dit, f est un isomorphisme si et seulement si sa matrice associée MatB,B′ ( f ) est inversible. 2. De plus, si f : E → F est bijective, alors la matrice de l’application linéaire f −1 : F → E est la matr...")
Détail source à réviser : 2. De plus, si f : E → F est bijective, alors la matrice de l’application linéaire f −1 : F → E est la matrice A−1 (Source: "2. De plus, si f : E → F est bijective, alors la matrice de l’application linéaire f −1 : F → E est la matrice A−1")
Détail source à réviser : 16. Soient r : R2 → R2 la rotation d’angle π 6 (centrée à l’origine) et s la réflexion par rapport à l’axe ( y = x) (Source: "16. Soient r : R2 → R2 la rotation d’angle π 6 (centrée à l’origine) et s la réflexion par rapport à l’axe ( y = x)")
Détail source à réviser : Alors par la proposition 9 on sait que BA = MatB′,B ( f −1) × MatB,B′ ( f ) = MatB,B ( f −1 ◦ f ) = MatB,B (idE ) = I. De même AB = I. Ainsi A = MatB,B′ ( f ) est inversible et son inverse est B = MatB′,B ( f −1). • Réci (Source: "Alors par la proposition 9 on sait que BA = MatB′,B ( f −1) × MatB,B′ ( f ) = MatB,B ( f −1 ◦ f ) = MatB,B (idE ) = I. De même AB = I. Ainsi A = MatB,B′ ( f ) est inversible et son inverse est B = MatB′,B ( f −1). • Réciproquement, si A = MatB,B′ ( f ) est une matrice inversible, notons B = A−1. Soit g : F → E l’application linéaire telle que B = MatB′,B...")

📊 Tableaux de Synthèse

Propriétés des opérations sur matrices

Propriété	Description
Inversibilité	Une matrice est inversible si et seulement si elle possède une matrice inverse telle que leur produit est la matrice identité
Opérations élémentaires	Transformations réversibles sur les lignes d'une matrice : échange, multiplication par un scalaire non nul, addition d'une ligne multipliée par un scalaire à une autre
Produit de matrices inversibles	Le produit de matrices inversibles est inversible, et l'inverse du produit est le produit des inverses dans l'ordre inverse
Matrice triangulaire et inversibilité	Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont non nuls

Relations d’équivalence et ensembles

Concept	Description
Relation d’équivalence	Relation qui est réflexive, symétrique et transitive
Classe d’équivalence	Ensemble d’éléments liés par une relation d’équivalence
Exemple de relation d’équivalence	Sur E = Z × N*, (p, q)R(p′, q′) ⇐⇒ pq′ = p′q

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

Mélanger propriétés de matrices inversibles avec celles de matrices triangulaires.
Confondre relation d’équivalence avec relation d’ordre.
Oublier que l’associativité garantit que le regroupement des facteurs n’affecte pas le résultat.
Confusion entre division euclidienne et division dans d’autres contextes.
Mélanger propriétés de matrices inverses et applications linéaires.
Confondre la définition de la bijection avec la propriété d’être une application linéaire.

✅ Checklist Examen

Vérifier la définition d’une bijection.
S’entraîner à écrire la table de vérité du « ou exclusif ».
Revoir la propriété d’associativité de la multiplication réelle.
Étudier la relation entre pgcd et ppcm.
Comprendre la méthode d’Euclide pour le calcul du pgcd.
Savoir manipuler les matrices avec opérations élémentaires.
Revoir la définition d’une application linéaire et ses matrices associées.
Étudier les propriétés des matrices triangulaires.
Revoir la notion de classe d’équivalence.
S’entraîner à démontrer des égalités géométriques.

📋 Plan du Cours

📖 1. Logique et raisonnement mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 2. Fonctions, bijections et ensembles infinis

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 3. Combinatoire et formules du binôme

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 4. Relations d’équivalence et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 5. Pour tout x, y, z ∈ R∗ alors x × ( y × z) = (x × y) × z, c’est l’associativité de la multiplication des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 6. Arithmétique : division euclidienne, pgcd et ppcm

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 7. Les solutions sont de la forme x = x0 + n pgcd(a,n) , ∈ Z où x0 est une solution particulière

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 8. Groupes et morphismes de groupes

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 9. Systèmes linéaires et méthodes de résolution

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 10. Matrices : opérations élémentaires et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 11. Espaces vectoriels : définitions, bases et dimension

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

📖 12. Changement de base et calcul du déterminant

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

💡 À retenir

🧩 Compléments de couverture

📊 Tableaux de Synthèse

Propriétés des opérations sur matrices

Relations d’équivalence et ensembles

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

✅ Checklist Examen

Testez vos connaissances

Révisez avec les flashcards

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📖 7. Les solutions sont de la forme x = x0 + `n pgcd(a,n) ,` ∈ Z où x0 est une solution particulière