Fiche de révision : Cours fondamentaux en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Conventions sur les ensembles et applications
2. Fonctions indicatrice et application sign
3. Polices de caractères et alphabet grec
4. Divisions euclidiennes et factorisation des polynômes
5. Matrices : opérations et puissances
6. Déterminants : calculs et jacobienne
7. Gram et déterminant de Gram pour la coplanarité
8. Limites et équivalences
9. Continuité : domaines et prolongements
10. Dérivabilité : domaines et calcul des dérivées
11. Convexité et propriétés des fonctions convexes

📖 1. Conventions sur les ensembles et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensembles N, Z, Q, R, C : Ensembles de base utilisés en mathématiques, représentant respectivement les entiers naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes.
• Corps K : Notation désignant l’un des trois corps possibles $Q$, $R$ ou $C$, donc $K\in\{Q,R,C\}$.
• Intervalle d’entiers $\langle n,p\rangle$ : Notation d’un ensemble d’entiers entre $n$ et $p$, défini par $\langle n,p\rangle=[n,p]\cap N$.
• Ensemble $\{n,\dots,p\}$ : Notation alternative pour désigner l’ensemble des entiers compris entre $n$ et $p$ (dans le cas considéré par le cours).
• Ensemble des applications $F^E$ : Notation désignant l’ensemble des fonctions de $E$ vers $F$, aussi noté $F(E,F)$.

📝 Points essentiels

• Les symboles $N,Z,Q,R,C$ désignent respectivement les entiers naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes.
• On note $K$ l’un des corps $Q$, $R$ ou $C$, donc $K\in\{Q,R,C\}$.
• Pour $n\le p$, l’ensemble des entiers entre $n$ et $p$ est souvent noté $\langle n,p\rangle$ et vérifie $\langle n,p\rangle=[n,p]\cap N$.
• Le cours autorise aussi l’écriture $\{n,\dots,p\}$ pour désigner cet ensemble d’entiers.
• Si $n>1$, alors $N_n$ désigne $\langle 1,n\rangle$, c’est-à-dire l’ensemble des entiers de $1$ à $n$.
• Si $E$ et $F$ sont des ensembles, $F^E$ (ou $F(E,F)$) est l’ensemble des applications de $E$ vers $F$.

💡 Astuce mémo

$N,Z,Q,R,C$ : même ordre que la “ligne numérique” (naturels → relatifs → rationnels → réels → complexes).

📖 2. Fonctions indicatrice et application sign

🔑 Notions clés & Définitions

• Application sign : Application qui associe à tout réel non nul son signe, avec sign(x)=1 si x>0 et sign(x)=-1 si x<0.
• Prolongement de sign : Prolongement de l’application sign à l’origine en posant sign(0)=0 pour couvrir tous les réels.
• Fonction indicatrice : Fonction qui code l’appartenance d’un élément à un sous-ensemble via une valeur 1 si l’élément est dedans et 0 sinon.
• Fonction indicatrice 1Q : Fonction indicatrice de l’ensemble des rationnels, notée 1Q, qui sert d’exemple d’application réelle partout définie et nulle en tout irrationnel.
• Symbole de Kronecker : Application δ:N×N→{0,1} qui vaut 1 exactement quand ses deux indices sont égaux, et 0 sinon.

📝 Points essentiels

• sign : R*→{-1,1} et sign(x) dépend uniquement du fait que x soit strictement positif ou strictement négatif.
• Le prolongement à R impose sign(0)=0 pour obtenir une fonction définie sur tous les réels.
• Pour Y⊂X, la fonction indicatrice 1Y|X (ou 1Y) vérifie 1Y|X(x)=1 si x∈Y et 0 sinon.
• La notation 1Q désigne l’indicatrice des rationnels, utilisée comme exemple d’application réelle partout définie et continue en aucun point.
• Le symbole de Kronecker δ(i,j) vaut 1 si i=j et 0 si i≠j, et l’écriture δi,j peut aussi apparaître sous d’autres ordres.
• Le symbole de Kronecker simplifie des sommes/produits et intervient dans la définition de certaines matrices.

💡 Astuce mémo

sign : + pour les positifs, − pour les négatifs, et 0 à l’origine ; indicatrice : 1 si “dans”, 0 si “dehors” ; Kronecker : égalité des indices → 1, sinon → 0.

📖 3. Polices de caractères et alphabet grec

🔑 Notions clés & Définitions

• Digamma : Digamma est une lettre grecque ancienne utilisée comme symbole mathématique, notamment pour désigner une forme de caractère spécifique.
• Vii digamma : Vii digamma désigne une variante numérotée du symbole digamma, employée pour distinguer des polices ou glyphes proches.
• Viii digamma : Viii digamma désigne une autre variante numérotée du symbole digamma, utilisée pour différencier des caractères dans un support de cours.
• Alphabet grec : L’alphabet grec regroupe les lettres grecques utilisées en mathématiques pour nommer des variables, des constantes et des polices de caractères.

📝 Points essentiels

• Les notations du cours peuvent afficher des lettres grecques sous forme de glyphes numérotés (ex. digamma vii, digamma viii) pour distinguer des polices ou caractères proches.
• Les symboles grecs servent à repérer des éléments précis dans les exercices (variables, indices, racines complexes comme $i$), donc il faut les lire exactement.
• Dans les énoncés, $i$ apparaît comme unité imaginaire, et les lettres grecques peuvent aussi être utilisées pour des paramètres (ex.  dans des expressions trigonométriques).
• Les exercices utilisent des notations standard de polynômes et de divisions (divisions euclidiennes, factorisations dans $\mathbb R[X]$ ou $\mathbb C[X]$) où la lecture correcte des symboles est indispensable.
• Les polices/lettres peuvent être confondues si on ne distingue pas les variantes (comme digamma vii vs digamma viii), ce qui peut mener à une mauvaise interprétation du symbole.

💡 Astuce mémo

Digamma = « $\psi$ ancien » : si tu vois digamma vii/viii, c’est une variante de glyphe à lire au millimètre.

📖 4. Divisions euclidiennes et factorisation des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne de deux polynômes consiste à écrire $A=BQ+R$ avec $R$ de degré strictement inférieur à celui de $B$.
• Quotient : Le quotient est le polynôme $Q$ obtenu dans une division euclidienne $A=BQ+R$.
• Reste : Le reste est le polynôme $R$ de la division euclidienne, caractérisé par un degré plus petit que celui du diviseur.
• Factorisation dans R[X] : La factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ consiste à décomposer un polynôme en facteurs de degré inférieur ou égal à ceux possibles sur les réels.
• Décomposition en éléments simples : La décomposition en éléments simples exprime une fraction rationnelle comme somme de fractions dont les dénominateurs sont des puissances de facteurs irréductibles.

📝 Points essentiels

• Dans une division euclidienne $A=BQ+R$, le reste $R$ vérifie $\deg(R)<\deg(B)$ et l’écriture est unique.
• Pour factoriser un polynôme dans $\mathbb{R}[X]$, on cherche des facteurs linéaires (racines réelles) et des facteurs quadratiques irréductibles si nécessaire.
• Les racines réelles d’un polynôme s’obtiennent en résolvant $P(x)=0$ une fois la factorisation (ou une forme équivalente) obtenue.
• Pour les fractions rationnelles, la décomposition en éléments simples se fait en séparant les contributions des facteurs du dénominateur (linéaires, puissances, et quadratiques).
• Les exercices de décomposition en éléments simples portent sur des dénominateurs produits de facteurs comme $(X-a)$, $(X-a)^k$ et des polynômes quadratiques comme $X^2+1$.
• Les exercices listés demandent aussi de traiter des cas avec numérateurs de degré supérieur, ce qui impose d’utiliser la structure du dénominateur pour répartir les termes.

💡 Astuce mémo

Division = $\text{dividende} = \text{diviseur}\times\text{quotient} + \text{reste}$, et le reste est toujours “plus petit en degré” que le diviseur.

📖 5. Matrices : opérations et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice inversible : Une matrice inversible est une matrice qui admet une inverse, notée $P^{-1}$, telle que $PP^{-1}=P^{-1}P=I$.
• Matrice diagonalisable : Une matrice diagonalisable est une matrice $A$ qui s’écrit $A=PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale et $P$ inversible.
• Polynôme annulateur : Un polynôme annulateur de $A$ est un polynôme $q$ tel que $q(A)=0$, ce qui permet de réduire les puissances de $A$.
• Matrice $B=A-I_3$ : La matrice $B=A-I_3$ est une matrice obtenue par décalage de $A$ par l’identité, utile pour calculer $A^n$ via $B^n$.
• **Forme $A^n=a_nB+b_nI_3** : Une écriture de type$A^n=a_nB+b_nI_3$exprime la puissance de$A$comme combinaison linéaire de$B$et de$I_3$.

📝 Points essentiels

• Si $P$ est inversible et $A=PDP^{-1}$, alors $A^n=PD^nP^{-1}$ pour tout $n\in\mathbb N$.
• Pour une matrice $A$ vérifiant une relation polynomiale du type $A^2-\alpha A+\beta I=0$, on peut exprimer toute puissance $A^n$ comme combinaison de $A$ et $I$.
• Dans l’exercice avec $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$ et $B=A-I_3$, on calcule d’abord $B^2$ et $B^3$, puis on déduit $B^n$ pour tout $n\in\mathbb N$ avant de revenir à $A^n$.
• Si une matrice $M$ vérifie $(M-I)(M+3I)=0$, alors $M$ vérifie un polynôme annulateur de degré 2 et on peut en déduire $M^n$.
• Si $A$ vérifie $A^2-2A-I_2=0$, alors $A$ est inversible et $A^{-1}$ se déduit en réarrangeant l’égalité pour isoler $A^{-1}$.
• Si $A$ vérifie $A^2-5A+4I_2=0$, alors pour $n>2$ le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-5X+4$ permet d’écrire $A^n$ sous la forme $u_nA+v_nI_2$.

💡 Astuce mémo

Diagonale→puissance : $A=PDP^{-1}$ donne $A^n=PD^nP^{-1}$ ; Annulateur→réduction : $q(A)=0$ transforme $A^n$ en combinaison de $I$ et des puissances < degré de $q$.

📖 6. Déterminants : calculs et jacobienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice jacobienne : Une matrice jacobienne regroupe toutes les dérivées partielles reliant des variables de sortie à des variables d’entrée.
• Jaco-bien : Le jaco-bien est le déterminant de la matrice jacobienne, utilisé pour mesurer localement le changement de volume.
• Comatrice : La comatrice d’une matrice est la matrice formée des cofacteurs, transposée selon la définition standard des cofacteurs.
• Matrice des cofacteurs : La matrice des cofacteurs contient, à chaque position, le cofacteur correspondant au mineur obtenu en supprimant une ligne et une colonne.

📝 Points essentiels

• Pour une matrice $3\times 3$, la règle de Sarrus donne directement le déterminant en additionnant trois produits de diagonales et en soustrayant trois autres.
• Dans l’exercice de jacobienne, on calcule d’abord chaque coefficient $\partial x/\partial r$, $\partial x/\partial \phi$, $\partial x/\partial \theta$, puis ceux de $y$ et $z$ pour former $J$.
• Le déterminant de la jacobienne s’obtient ensuite en calculant $\det(J)$ à partir des coefficients dérivés.
• Pour inverser une matrice carrée $A$, on utilise la comatrice (ou la matrice des cofacteurs) pour construire $A^{-1}$ quand $\det(A)\neq 0$.
• Sans calculer explicitement un déterminant, on peut conclure qu’une valeur divise un déterminant en utilisant des propriétés de divisibilité liées aux mineurs et aux combinaisons linéaires (exercices 18).
• Dans les exercices de déterminants paramétrés, le déterminant peut être factorisé en identifiant des facteurs communs (exemple : divisibilité par une expression linéaire comme $x+y+z$).

💡 Astuce mémo

Jacobien = det(J) : dériver (matrice) puis prendre le déterminant (nombre).

📖 7. Gram et déterminant de Gram pour la coplanarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant de Gram : Le déterminant de Gram est le déterminant construit à partir des produits scalaires d’une famille de vecteurs, qui mesure leur dépendance géométrique.
• Matrice de Gram : La matrice de Gram est la matrice dont les coefficients sont les produits scalaires $(\vec x_i\mid\vec x_j)$ de la famille de vecteurs considérée.
• Coplanarité : La coplanarité signifie que trois vecteurs sont contenus dans un même plan vectoriel de $\mathbb R^3$.
• Base de $\mathbb R^3$ : Une base de $\mathbb R^3$ est une famille de trois vecteurs linéairement indépendants, engendrant tout l’espace.

📝 Points essentiels

• Pour $\vec p_j$ défini par $\vec p_j=((\vec x_j\mid\vec x_1),(\vec x_j\mid\vec x_2),(\vec x_j\mid\vec x_3))^T$, on a $P=^tA\,A$ où $A$ est la matrice des composantes des $\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3$.
• Les vecteurs $\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3$ sont coplanaires si et seulement si $G(\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3)=0$.
• Les vecteurs $\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3$ forment une base de $\mathbb R^3$ si et seulement si $G(\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3)>0$.
• Le déterminant de Gram vérifie $G(\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3)=G(\vec x_2,\vec x_1,\vec x_3)=G(\vec x_3,\vec x_2,\vec x_1)=G(\vec x_1,\vec x_3,\vec x_2)$ (symétries par permutation indiquées).
• Pour tout $\alpha,\beta\in\mathbb R$, on a $G(\vec x_1+\alpha\vec x_2+\beta\vec x_3,\vec x_2,\vec x_3)=G(\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3)$.
• Si $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$ est une base orthonormée, $H=\mathrm{Vect}(\vec e_2,\vec e_3)$ et $\vec e\in\mathbb R^3$, alors $d(\vec e,H)=\sqrt{\dfrac{G(\vec e,\vec e_2,\vec e_3)}{G(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)}}$.

💡 Astuce mémo

Coplanarité ⇔ Gram nul : $G=0$ signifie “pas de volume”, donc les trois vecteurs restent dans un même plan.

📖 8. Limites et équivalences

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : Deux fonctions sont équivalentes en un point si leur rapport tend vers 1, ce qui permet de remplacer l’une par l’autre dans les limites.
• Limite infinie : Une limite est dite infinie quand la valeur de la fonction diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ au voisinage du point considéré.
• Forme indéterminée : Une forme indéterminée apparaît quand l’expression ne permet pas de conclure directement (exemples typiques : $0/0$, $\infty/\infty$, $0\cdot\infty$).
• Développement limité : Un développement limité approxime une fonction près d’un point par un polynôme plus un reste négligeable, servant à obtenir des équivalences.

📝 Points essentiels

• Pour calculer une limite, on cherche souvent une équivalence locale puis on remplace la fonction par sa forme équivalente.
• Les équivalences transforment les limites : si $f\sim g$ au voisinage de $a$ et si $g$ a une limite connue, alors $f$ a la même limite.
• Les limites avec trigonométrie utilisent classiquement $\sin(x)\sim x$ quand $x\to 0$ et $1-\cos(x)\sim x^2/2$ quand $x\to 0$.
• Les limites avec expressions du type $\ln(1+u)$ se traitent via $\ln(1+u)\sim u$ quand $u\to 0$.
• Les limites du type $\sqrt{A+x}-\sqrt{A}$ se simplifient en rationalisant pour faire apparaître un facteur linéaire en $x$.
• Les limites avec $x\sin(1/x)$ ou $x\cos(1/x)$ se traitent en encadrant : la partie oscillante reste bornée tandis que le facteur $x$ tend vers 0 ou $\infty$ selon le sens de la limite.

💡 Astuce mémo

Équivalence = même “vitesse” : $f\sim g$ signifie $f/g\to 1$, donc on remplace $f$ par $g$ dans la limite.

📖 9. Continuité : domaines et prolongements

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Propriété d’une fonction où la limite en ce point coïncide avec la valeur de la fonction en ce point.
• Domaine de continuité : Ensemble des points où une fonction est définie et continue, donc où aucune discontinuité n’apparaît.
• Prolongement par continuité : Fonction définie sur un ensemble plus grand qui coïncide avec l’originale là où celle-ci est déjà définie et rend la continuité vraie aux points manquants.
• Discontinuité amovible : Discontinuité où la limite existe mais où la valeur de la fonction au point diffère de cette limite.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction définie par morceaux, la continuité se vérifie séparément sur chaque intervalle puis aux points de raccord (égalité des limites et des valeurs).
• Si une fonction est définie comme $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ avec $h(x)\neq 0$, elle est continue sur tout intervalle où $h$ ne s’annule pas.
• Pour $f(x)=\sin\left(\frac1x\right)$ (ou $\sin\left(\frac1x\right)$ multiplié par une expression non nulle), la limite en $0$ n’existe pas en général car les oscillations ne se stabilisent pas.
• Quand un facteur tend vers $0$ (ex. $|x|\sin(1/x)$), on peut obtenir une limite nulle car $|\sin(1/x)|\le 1$ et le produit est alors borné par une quantité qui s’annule.
• Pour un prolongement par continuité en un point $x_0$, on calcule d’abord $\lim_{x\to x_0} f(x)$ ; si la limite existe finie, on peut définir la valeur manquante égale à cette limite.
• Dans les exercices de continuité, les “domaines de continuité” se trouvent en repérant les points où la formule change, où un dénominateur s’annule, ou où une expression comme $\ln(x)$ impose $x>0$.

💡 Astuce mémo

Oscillations vs amortissement : $\sin(1/x)$ oscille, mais $|x|\sin(1/x)$ s’éteint car $|\sin(1/x)|\le 1$.

📖 10. Dérivabilité : domaines et calcul des dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité sur R : La dérivabilité sur R signifie que la dérivée existe en tout point réel, y compris aux points où la formule change ou où une expression n’est définie que d’un côté.
• Classe C1 : Une fonction est de classe C1 sur R si elle est dérivable en tout point et si sa dérivée est continue sur tout R.
• Dérivabilité seconde : Une fonction est deux fois dérivable sur R si sa dérivée première est dérivable en tout point et que la dérivée seconde existe partout.
• Théorème de Rolle : Le théorème de Rolle garantit l’existence d’un point où la dérivée s’annule quand une fonction est continue sur un intervalle, dérivable à l’intérieur, et prend la même valeur aux bornes.
• Théorème des accroissements finis : Le théorème des accroissements finis assure qu’entre deux abscisses, il existe un point où la pente instantanée égale la pente moyenne, sous des hypothèses de continuité et de dérivabilité.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=\begin{cases}(x^2)^x & x>0\\1 & x\le 0\end{cases}$, la dérivabilité en $0$ se teste via la limite du taux d’accroissement $\frac{f(h)-f(0)}{h}$ quand $h\to 0$.
• Pour $x>0$, on peut écrire $f(x)=(x^2)^x=e^{x\ln(x^2)}$ puis dériver en utilisant la dérivation de $e^{u(x)}$ et de $u(x)=x\ln(x^2)$.
• La classe $C^1$ impose en plus que la dérivée obtenue ait une limite (et donc une continuité) au point de raccord, typiquement en $0$ pour une fonction définie différemment de part et d’autre.
• Deux fois dérivable sur R signifie que la dérivée première est dérivable en tout point, donc qu’on peut dériver la formule de $f'$ sans créer de singularité ni de discontinuité de dérivée.
• Dans les exercices Rolle, on vérifie d’abord la continuité sur l’intervalle fermé, puis la dérivabilité sur l’intervalle ouvert, et enfin l’égalité des valeurs aux bornes.
• Pour $x\mapsto \sin(2t+w)$ sur $[0,\pi]$, l’application de Rolle nécessite que les valeurs en $0$ et en $\pi$ coïncident, ce qui impose une condition sur $w$ (donnée dans l’énoncé).

💡 Astuce mémo

Rolle = Continuité + Dérivabilité + Même valeur aux bornes ⇒ dérivée nulle quelque part.

📖 11. Convexité et propriétés des fonctions convexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Une fonction convexe est une fonction dont le segment entre deux points de son graphe reste au-dessus du graphe.
• Minimum local : Un minimum local est une valeur atteinte en un point telle que la fonction soit plus grande ou égale à cette valeur dans un voisinage.
• Minimum global : Un minimum global est une valeur minimale valable pour tous les points du domaine.
• Composition de fonctions : La composition f∘g associe à chaque x la valeur f(g(x)) et peut préserver ou non des propriétés comme la convexité.

📝 Points essentiels

• Si f et g sont convexes et si f est croissante, alors la composée f∘g est convexe.
• Il existe des exemples de fonctions convexes dont la composition n’est pas convexe, donc la convexité n’est pas toujours stable par composition.
• Si une fonction convexe admet un minimum local en a, alors ce minimum est aussi global en a.
• L’exponentielle est convexe sur son domaine.
• La fonction x↦ln(ln(x)) est concave sur son domaine de définition (à préciser dans l’exercice).
• À partir de la concavité de ln(ln(x)), on obtient une inégalité reliant ln(ln(a)), ln(ln(b)) et ln( (a+b)/2 ).

💡 Astuce mémo

Convexe = “au-dessus du segment” ; minimum local d’une convexe ⇒ minimum global ; composition convexe seulement si la fonction externe est croissante.

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles et corps K

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’intervalle ⟦n,p⟧ avec l’ensemble {n,…,p} : le cours autorise {n,…,p} mais l’écriture ⟦n,p⟧ signifie précisément [n,p]∩N.
2. Oublier le domaine de sign : sign est d’abord définie sur R* puis prolongée à R avec sign(0)=0 ; sinon on attribue à tort une valeur à 0.
3. Se tromper sur la fonction indicatrice : 1Y|X(x)=1 si x∈Y et 0 sinon ; beaucoup inversent les rôles ou oublient la restriction à X.
4. Mélanger i et j dans les complexes : i est solution de x^2+1=0, tandis que j est une racine de z^3=1 (avec la convention j=e^{2iπ/3}).
5. Croire que la division euclidienne impose un reste nul : en réalité A=BQ+R avec deg(R)<deg(B) et le reste n’est pas forcément 0.
6. Pour les puissances de matrices, oublier que le polynôme annulateur permet une réduction : on ne calcule pas A^n “à la main” mais on exprime A^n via une combinaison de I et des puissances < degré.
7. Confondre coplanarité et base : le cours dit coplanaires ⇔ G=0, et base de R^3 ⇔ G>0 (pas “G≠0”).

✅ Checklist Examen

1. Écrire correctement les conventions : N,Z,Q,R,C, le corps K∈{Q,R,C}, l’intervalle ⟦n,p⟧=[n,p]∩N et l’écriture {n,…,p}.
2. Donner la définition de F^E (ou F(E,F)) comme ensemble des applications de E vers F.
3. Définir sign sur R* puis son prolongement à R avec sign(0)=0.
4. Définir la fonction indicatrice 1Y|X et en particulier l’exemple 1Q ; savoir interpréter 1Y|X(x).
5. Définir le symbole de Kronecker δ:N×N→{0,1} et donner δ(i,j) selon i=j ou i≠j.
6. Reconnaître i et j dans le cours : i solution de x^2+1=0 et j solution de z^3=1 (avec la convention j=e^{2iπ/3}).
7. Savoir appliquer une division euclidienne de polynômes : A=BQ+R avec deg(R)<deg(B) et unicité du quotient/reste.
8. Factoriser dans R[X] puis dans C[X] quand demandé (racines réelles linéaires et facteurs quadratiques irréductibles si nécessaire).
9. Effectuer une décomposition en éléments simples : séparer les contributions des facteurs (X−a), (X−a)^k et des quadratiques comme X^2+1.
10. Pour les matrices : utiliser A=PDP^{-1} pour obtenir A^n=PD^nP^{-1} et exploiter un polynôme annulateur q(A)=0 pour réduire A^n.
11. Pour les déterminants : calculer det(J) à partir de la matrice jacobienne (coefficients dérivés), et utiliser comatrice/mineurs pour construire l’inverse quand det(A)≠0.
12. Pour la coplanarité via Gram : construire G, conclure coplanarité ⇔ G=0 et base ⇔ G>0, puis utiliser l’invariance G(x1+αx2+βx3,x2,x3)=G(x1,x2,x3).
13. Pour les limites/équivalences : savoir utiliser f∼g ⇒ même limite, et les équivalences trigonométriques et ln(1+u)∼u quand u→0.
14. Pour la continuité : vérifier par morceaux (continuité sur chaque intervalle + raccord), et traiter les prolongements par continuité via lim_{x→x0} f(x).