Fiche de révision : Critères et convergence des séries infinies

📋 Plan du Cours

1. Convergence séries
2. Somme série convergente
3. Reste d'ordre n
4. Séries classiques
5. Critères de convergence
6. Séries géométriques
7. Séries à termes positifs
8. Séries absolument convergentes
9. Familles sommables
10. Séries doubles

📖 1. Convergence séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite à valeurs dans K : Suite dont chaque terme appartient à un corps K (R ou C).
• Somme partielle (Sn) : Somme des premiers n termes d'une série, notée $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$.
• Convergence d'une série : La série $\sum u_k$ est convergente si la suite $S_n$ de ses sommes partielles converge vers une limite finie $S$.
• Somme d'une série convergente : La limite $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ est appelée somme de la série.
• Reste d'ordre n (Rn) : $R_n = S - S_n$, différence entre la somme totale et la somme partielle d'ordre n. Si la série converge, $R_n \to 0$.
• Série géométrique : $\sum a^n$ avec $|a| < 1$, somme $\frac{1}{1 - a}$.
• Série de Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$, converge si $\alpha > 1$.
• Convergence absolue : $\sum |u_k|$ converge, alors $\sum u_k$ est dite absolument convergente.
• Série alternée : Série où les termes changent de signe selon une suite $p_{(-1)^n}$.
• Critère de d'Alembert : Si $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$, alors la série converge si $l < 1$, diverge si $l > 1$.
• Critère de comparaison : Si $|u_k| \leq v_k$ et $\sum v_k$ converge, alors $\sum u_k$ converge.

📝 Points essentiels

• Convergence et somme : La convergence d'une série implique la convergence de ses sommes partielles vers une limite unique.
• Propriétés de linéarité : La somme de deux séries convergentes est la somme de leurs sommes, et la multiplication par un scalaire est compatible.
• Critère nécessaire : Si une série $\sum u_k$ converge, alors $u_k \to 0$. La réciproque est fausse (ex : série harmonique divergente).
• Séries classiques :
  • Harmoniques : divergentes.
  • Alternées (ex : série de Leibniz) : convergentes si termes tendent vers 0 et décroissent en valeur absolue.
  • Exponentielle $\sum \frac{z^n}{n!}$ : convergente pour tout $z$.
  • Géométrique $\sum a^n$ : converge si $|a| < 1$.
• Critères de convergence : d'Alembert, ratio, comparaison, racine, etc., pour tester la convergence.
• Séries absolument convergentes : plus robustes, conservent leur convergence sous toute permutation.

💡 À retenir

Une série converge si la suite de ses sommes partielles tend vers une limite finie, et la convergence absolue garantit la stabilité de cette convergence. La majorité des tests (ratio, comparaison, racine) permettent d'établir la convergence ou divergence selon le comportement des termes.

📖 2. Somme série convergente

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : somme infinie de termes d'une suite $(u_k)$, notée $\sum_{k=0}^\infty u_k$. La série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ converge vers une limite finie $S$.

• Convergence d'une série : la série $\sum u_k$ est convergente si $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ existe et est finie. La limite $S$ est appelée somme de la série.

• Reste d'ordre $n$ : $R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^\infty u_k$. Il mesure l'erreur entre la somme totale et la somme partielle d'ordre $n$. Si la série converge, $R_n \to 0$.

• Série absolument convergente : si $\sum |u_k|$ converge, alors $\sum u_k$ est dite absolument convergente. La convergence absolue implique la convergence, mais l'inverse n'est pas toujours vrai.

• Critère de convergence : plusieurs critères existent (ratio, comparaison, racine, etc.) pour tester la convergence d'une série.

• Série géométrique : $\sum_{k=0}^\infty a^k$ converge si $|a| < 1$, avec somme $\frac{1}{1 - a}$.

• Série de Riemann : $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}$ converge si $\alpha > 1$.

📝 Points essentiels

• La convergence d'une série implique que ses termes tendent vers 0 : $\lim_{k \to \infty} u_k = 0$. La réciproque est fausse en général.

• La somme d'une série convergente est unique. La limite des sommes partielles est la seule somme possible.

• La convergence peut être prouvée par différents critères : comparaison, ratio, racine, critère de d'Alembert, critère de Cauchy, etc.

• La série géométrique est un exemple fondamental : elle converge si et seulement si $|a| < 1$.

• La convergence absolue est une propriété forte : si une série est absolument convergente, alors elle est convergente.

• La série alternée (termes de signes alternés) peut converger même si la série de leurs valeurs absolues diverge, sous condition que les termes tendent vers 0 et décroissent en valeur absolue.

• La somme d'une famille sommable de réels positifs ou complexes est la somme de ses éléments, définie par la majoration de la somme partielle.

• La convergence de séries doubles ou de familles indexées par un ensemble discret peut être étudiée par sommation par paquets ou par critères de convergence.

💡 À retenir

Une série convergente possède une somme unique, et sa convergence peut souvent être démontrée par des critères simples comme la comparaison ou le critère de d'Alembert. La convergence absolue est une propriété forte garantissant la stabilité de la somme face à des modifications ou regroupements.

📖 3. Reste d'ordre n

🔑 Notions clés & Définitions

• Reste d'ordre n (Rn) : Quantité représentant la différence entre la somme exacte S d'une série convergente et sa somme partielle Sn d'indice n, soit
  $R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^\infty u_k$ où $u_k$ sont les termes de la série.

• Convergence d'une série : La série $\sum u_k$ est convergente si la suite de ses sommes partielles $S_n$ converge vers une limite finie S. La limite $\lim_{n \to \infty} R_n = 0$.

• Propriété du reste : Si la série $\sum u_k$ converge, alors $R_n \to 0$ quand $n \to \infty$. La réciproque n'est pas toujours vraie.

• Reste d'ordre n pour une série convergente :
  $R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^\infty u_k$ Il mesure l'erreur ou la partie "restante" de la somme après le n-ième terme.

📝 Points essentiels

• Comportement du reste : Pour une série convergente, le reste $R_n$ tend vers 0. Cependant, connaître la limite de $R_n$ ne suffit pas à prouver la convergence ; il faut aussi que $S_n$ converge.

• Calcul du reste : En pratique, on utilise souvent des majorations ou des critères pour estimer $R_n$, notamment pour obtenir une approximation de la somme avec une erreur contrôlée.

• Reste d'ordre n et convergence** : La propriété fondamentale est que si $R_n \to 0$, alors la série est convergente. La convergence implique donc que le reste devient arbitrairement petit.

• Exemples classiques :

  • Série géométrique : $R_n = \frac{a^{n+1}}{1 - a}$ si $|a| < 1$.
  • Série de Riemann $\sum \frac{1}{k^\alpha}$ : reste d'ordre n peut être estimé par intégrale pour étudier la convergence.

• Influence de la modification d’un terme : Modifier un nombre fini de termes ne change pas la nature de la série ni la convergence, mais peut affecter la somme.

💡 À retenir

Le reste d'ordre n quantifie l'erreur de l'approximation partielle d'une série convergente. Sa limite nulle est une condition nécessaire à la convergence, mais pas suffisante pour en déterminer la somme. Son étude permet d’évaluer la précision des approximations et d’assurer la convergence par estimation.

📖 4. Séries classiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite à valeurs dans K : Suite dont chaque terme appartient à un corps K (R ou C).
• Somme partielle : $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$, somme des premiers termes jusqu’à n.
• Convergence d’une série : La série $\sum u_k$ est convergente si la suite $S_n$ de ses sommes partielles converge vers une limite finie.
• Somme d’une série convergente : $\sum u_k$ a pour somme $\lim_{n \to \infty} S_n$.
• Reste d’ordre n : $R_n = S - S_n$, différence entre la somme totale S et la somme partielle $S_n$.
• Série géométrique : $\sum a^k$, convergence si $|a| < 1$, somme $\frac{1}{1 - a}$.
• Série de Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$, converge si $\alpha > 1$.
• Série alternée : $\sum (-1)^n u_n$, avec $u_n > 0$.
• Convergence absolue : $\sum |u_k|$ converge, alors $\sum u_k$ converge absolument.
• Critère de d'Alembert : Si $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$, alors la série converge si $l < 1$, diverge si $l > 1$.
• Critère de comparaison : Si $0 \leq u_n \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
• Série à termes positifs : Série où tous les termes sont positifs ou nuls.
• Série semi-convergente : Série convergente mais pas absolument.

📝 Points essentiels

• La convergence d’une série dépend de la limite de ses sommes partielles.
• La somme d’une série convergente est unique.
• La nature d’une série (convergence ou divergence) peut être prouvée séparément du calcul de sa somme.
• La convergence peut être assurée par des critères comme la comparaison, la majoration, le critère de d'Alembert, ou la comparaison série-intégrale.
• Les séries classiques incluent : série géométrique, série harmonique, série alternée, série de Riemann, série exponentielle.
• La convergence absolue implique la convergence, mais pas l’inverse.
• La série géométrique converge si $|a| < 1$, avec somme $\frac{1}{1 - a}$.
• La série de Riemann converge si $\alpha > 1$.
• La série alternée dont le terme décroît en valeur absolue vers 0 est convergente (critère CSSA).
• La somme double $\sum_{p,q} a_{p,q}$ est sommable si la série des sommes par lignes ou colonnes converge.

💡 À retenir

Les séries classiques, notamment géométriques, de Riemann, et alternées, sont fondamentales pour analyser la convergence, avec des critères précis comme la comparaison, la majoration, ou le critère de d'Alembert. La convergence absolue garantit la convergence, mais il existe aussi des séries semi-convergentes.

📖 5. Critères de convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Somme infinie de termes $u_k$ (suite $u_k$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).
• Somme partielle : $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$.
• Convergence d'une série : La série $\sum u_k$ est convergente si la suite $S_n$ de ses sommes partielles converge vers une limite finie $S$.
• Somme d'une série convergente : $S = \lim_{n \to \infty} S_n$.
• Reste d'ordre $n$ : $R_n = S - S_n$, la différence entre la somme totale et la somme partielle d'ordre $n$.
• Critère de convergence (limite des termes) : Si $\sum u_k$ converge, alors $\lim_{k \to \infty} u_k = 0$. La réciproque n'est pas toujours vraie.
• Série géométrique : $\sum_{k=0}^\infty a^k$, converge si $|a| < 1$, somme $\frac{1}{1 - a}$.
• Série de Riemann : $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}$, converge si $\alpha > 1$.
• Convergence absolue : $\sum |u_k|$ converge, alors $\sum u_k$ est dite absolument convergente.
• Série semi-convergente : converge sans être absolument convergente.

📝 Points essentiels

• Critère de convergence nécessaire : $\lim_{k \to \infty} u_k = 0$.
• Critère de convergence suffisant (Critère de d'Alembert) : Si $\lim_{k \to \infty} \frac{u_{k+1}}{u_k} = l$, alors :
  • Si $l < 1$, la série converge.
  • Si $l > 1$, la série diverge.
  • Si $l = 1$, le critère est indéterminé.
• Critère de comparaison : Si $|u_k| \leq v_k$ et $\sum v_k$ converge, alors $\sum u_k$ converge.
• Critère de convergence par majoration : Si $u_k \geq 0$ et $S_n$ est majorée, alors $\sum u_k$ converge.
• Critère de convergence par équivalence : Si $u_k \sim v_k$ (même comportement asymptotique) et $\sum v_k$ converge, alors $\sum u_k$ converge.
• Critère de convergence par le test de la série $n^\alpha$ : Si $\lim_{k \to \infty} k^l u_k = 0$ pour $l > 1$, la série converge. Si $l < 1$, divergence.
• Critère de d'Alembert : Pour séries à termes positifs, si $\lim_{k \to \infty} \frac{u_{k+1}}{u_k} = l$, alors convergence si $l < 1$, divergence si $l > 1$.
• Critère de comparaison série-intégrale : Si $f$ décroissante, positive, continue, alors $\sum_{n=N}^\infty f(n)$ et $\int_N^\infty f(t) dt$ ont le même comportement de convergence.
• Séries absolument convergentes : Si $\sum |u_k|$ converge, alors $\sum u_k$ converge.
• Série de Cauchy (produit de séries) : Si $\sum a_k$ et $\sum b_k$ sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy est aussi absolument convergent, avec somme donnée par la convolution.

💡 À retenir

La convergence d'une série dépend principalement de la limite de ses termes et de leur comportement asymptotique. Les critères de d'Alembert, de comparaison, et de convergence absolue sont essentiels pour analyser la nature d'une série. La convergence absolue garantit la convergence, mais pas l'inverse.

📖 6. Séries géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série géométrique : Série de la forme $\sum_{k=0}^{\infty} a r^k$, où $a$ est le premier terme et $r$ la raison.
• Raison $a$ : Nombre complexe ou réel, tel que chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $a$.
• Convergence d'une série géométrique : La série converge si et seulement si $|a| < 1$.
• Somme d'une série géométrique convergente : $S = \frac{a}{1 - r}$, avec $|r| < 1$.
• Reste d'ordre $n$ : $R_n = S - S_n = \sum_{k=n}^{\infty} a r^k$, mesure l'erreur après $n$ termes.
• Lien suite-série : La série $\sum a r^k$ est liée à la suite $u_n = a r^n$, convergence de la série $\iff$ $u_n \to 0$.

📝 Points essentiels

• Critère de convergence : $\sum a r^k$ converge si $|r| < 1$.
• Somme : Si $|r| < 1$, alors $\sum_{k=0}^{\infty} a r^k = \frac{a}{1 - r}$.
• Reste d'ordre $n$ : $R_n = \frac{a r^n}{1 - r}$, ce qui permet d'estimer l'erreur après $n$ termes.
• Cas particulier : La série géométrique est divergente si $|r| \geq 1$.
• Relation avec la suite : La convergence de la série géométrique est équivalente à $u_n = a r^n \to 0$.
• Série géométrique complexe : La même condition $|r| < 1$ s'applique, avec somme $S = \frac{a}{1 - r}$.

💡 À retenir

La série géométrique converge si et seulement si la raison $r$ a une norme inférieure à 1, et sa somme est donnée par la formule simple $\frac{a}{1 - r}$. La convergence est directement liée à la limite de la suite $a r^n$.

📖 7. Séries à termes positifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Série à termes positifs : série dont tous les termes $u_n$ sont réels positifs ou nuls ($u_n \geq 0$).
• Somme partielle : $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$, somme des premiers termes de la série.
• Convergence d'une série : la série $\sum u_n$ est convergente si la suite $S_n$ de ses sommes partielles est convergente vers une limite finie.
• Reste d'ordre n : $R_n = S - S_n$, où $S$ est la somme de la série. Il mesure l'erreur de la somme partielle $S_n$.
• Critère de convergence par majoration : si la suite $(S_n)$ des sommes partielles est majorée et croissante, la série converge.
• Critère de convergence par domination : si $0 \leq u_n \leq v_n$ et que $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge aussi.
• Série géométrique : $\sum_{k=0}^\infty a^k$, converge si $|a| < 1$, somme $\frac{1}{1 - a}$.
• Série de Riemann : $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, converge si $\alpha > 1$.
• Critère de d'Alembert : si $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$, alors la série converge si $l < 1$, diverge si $l > 1$.
• Critère de comparaison : compare la série à une série connue pour en déduire la convergence ou divergence.

📝 Points essentiels

• Convergence des séries positives : une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont bornées (théorème de majoration).
• Test de la limite : si $u_n \to 0$ mais que cette condition seule n'est pas suffisante pour la convergence, il faut utiliser d'autres critères (d'Alembert, comparaison, etc.).
• Séries géométriques : convergent si $|a| < 1$, somme finie donnée par la formule $\frac{1}{1 - a}$.
• Séries de Riemann : convergence dépend de l'exposant $\alpha$.
• Convergence absolue : si $\sum |u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge (convergence absolue implique convergence).
• Critère de convergence absolue par domination : si $|z_n| \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum z_n$ est absolument convergente.
• Sommation par paquets : la somme d'une famille sommable peut être décomposée en sous-sommes, facilitant l'étude de convergence.

💡 À retenir

Les séries à termes positifs convergent si leur somme partielle est bornée, et leur étude est simplifiée par des critères comme la majoration, la comparaison ou le critère de d'Alembert. La convergence absolue est un gage de stabilité, et la série géométrique constitue un exemple fondamental pour comprendre la convergence des séries infinies.

📖 8. Séries absolument convergentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Série : Somme infinie de termes $u_k$, notée $\sum_{k=0}^{+\infty} u_k$.
• Convergence d'une série : La série $\sum u_k$ est convergente si la suite de ses sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ converge vers une limite finie.
• Somme d'une série convergente : La limite $\lim_{n \to +\infty} S_n$ est appelée somme de la série.
• Convergence absolue : La série $\sum u_k$ est absolument convergente si la série $\sum |u_k|$ est convergente.
• Série absolument convergente : Série $\sum u_k$ dont la série des valeurs absolues converge.
• Critère de convergence absolue : Si $\sum |u_k|$ converge, alors $\sum u_k$ converge (mais pas forcément absolument).
• Série semi-convergente : Série convergente mais pas absolument convergente.

📝 Points essentiels

• Implication : La convergence absolue implique la convergence de la série.
• Réciproque : La convergence d'une série ne garantit pas sa convergence absolue (exemple : série alternée harmonique).
• Critère de d'Alembert : Si $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = l$, alors :
  • Si $l < 1$, la série est absolument convergente.
  • Si $l > 1$, la série diverge.
  • Si $l = 1$, le critère est indéterminé.
• Critère de Cauchy : Si $\sum |u_k|$ converge, alors $\sum u_k$ est absolument convergente.
• Séries classiques :
  • Série géométrique $\sum a^n$ converge si $|a| < 1$.
  • Série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si $\alpha > 1$.
  • Série exponentielle $\sum \frac{z^n}{n!}$ converge pour tout $z \in \mathbb{C}$.

💡 À retenir

Une série absolument convergente est toujours convergente, ce qui garantit une stabilité forte de la somme. La convergence absolue est un critère puissant pour étudier la convergence des séries infinies, notamment dans le contexte des séries de nombres complexes ou de séries doubles.

📖 9. Familles sommables

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille sommable : Une famille de réels positifs $(a_i)_{i \in I}$ est dite sommable si l'ensemble $\left\{ \sum_{i \in J} a_i \mid J \subseteq I, J \text{ fini} \right\}$ est majoré. La somme de la famille est la borne supérieure de cet ensemble.
• Série associée : La série $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ est convergente si la suite de ses sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^N a_n$ est convergente. La somme de la famille correspond à la limite de cette suite.
• Série à termes positifs : Série dont tous les termes sont positifs ou nuls. La convergence est équivalente à la majoration de la suite des sommes partielles.
• Famille sommable de nombres complexes : Une famille $(a_i)_{i \in I}$ est sommable si la famille $(|a_i|)_{i \in I}$ est sommable (convergence de la série des modules).
• Somme d'une famille : Si la famille est sommable, sa somme est $\sum_{i \in I} a_i$, défini comme la limite de la suite des sommes partielles.

📝 Points essentiels

• Critère de sommabilité : Une famille de réels positifs est sommable si et seulement si la série $\sum a_i$ converge.
• Propriétés fondamentales :
  • Si $a_i \leq b_i$ pour tout $i$ et si $(b_i)$ est sommable, alors $(a_i)$ est sommable.
  • La sommabilité est stable par changement d’indice (bijective), permutation, multiplication par un scalaire positif, et sommation par paquets.
• Familles de nombres complexes : La sommabilité dépend de celle de la série des modules $|a_i|$.
• Applications :
  • Sommes doubles : La sommabilité d’une famille $(a_{p,q})$ peut être caractérisée par la convergence de séries associées (par lignes, colonnes, diagonales).
  • Produit de Cauchy : La série produit de deux séries absolument convergentes est absolument convergente, avec une somme donnée par la formule de Cauchy.

💡 À retenir

Une famille sommable de réels positifs ou complexes est caractérisée par la convergence de sa série associée, et ses propriétés fondamentales garantissent la stabilité de la sommabilité sous diverses opérations. La sommabilité permet d’étendre la notion de somme à des ensembles non dénombrables ou à des familles indexées par des ensembles plus complexes, ce qui est essentiel en analyse pour traiter des séries doubles, produits, et applications en probabilités ou en intégration.

📖 10. Séries doubles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Suite de sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$. La série est convergente si $S_n$ converge vers une limite finie.
• Somme d'une série : Limite $\sum_{k=0}^\infty u_k = \lim_{n \to \infty} S_n$, si elle existe.
• Reste d'ordre n : $R_n = S - S_n$, où $S$ est la somme de la série. Il mesure l'erreur après n termes.
• Série à termes positifs : Série où tous les $u_k \geq 0$. La convergence est assurée si la suite $S_n$ est majorée.
• Série absolument convergente : $\sum |u_k|$ converge. Implication : la série $\sum u_k$ converge.
• Série double : Série indexée par deux indices, généralement $\sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^\infty a_{p,q}$. La convergence peut être étudiée par différentes méthodes (lignes, colonnes, diagonales).

📝 Points essentiels

• Convergence des séries doubles :
  • La série double $\sum_{p,q} a_{p,q}$ est sommable si et seulement si la série des sommes par lignes, colonnes ou diagonales converge, et si ces sommes sont équivalentes.
  • La convergence absolue de la série double implique sa convergence.
• Critères de convergence :
  • Critère de Cauchy : La série est convergente si ses sommes partielles deviennent arbitrairement proches.
  • Critère de comparaison : Si $|a_{p,q}| \leq b_{p,q}$ avec $\sum b_{p,q}$ convergente, alors $\sum a_{p,q}$ converge.
  • Critère de convergence par lignes ou colonnes : Vérifier la convergence des séries $\sum_q a_{p,q}$ pour chaque $p$ ou $\sum_p a_{p,q}$ pour chaque $q$.
• Séries alternées : Termes de signe changeant, convergence assurée si la valeur absolue décroît vers 0 (critère CSSA).

💡 À retenir

Les séries doubles sont convergentes si leur somme peut être approchée par des sommes finies selon différentes méthodes (lignes, colonnes, diagonales), et la convergence absolue garantit leur convergence. La maîtrise des critères de comparaison, de Cauchy et de convergence par lignes est essentielle pour leur étude.

📊 Tableau comparatif des séries classiques

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre convergence et convergence absolue : Une série peut converger sans être absolument convergente (ex : série alternée). La convergence absolue garantit une stabilité plus forte.
2. Supposer que $u_k \to 0$ implique convergence : La limite des termes vers 0 est nécessaire mais pas suffisante (ex : série harmonique).
3. Confusion entre série géométrique et série arithmétique : La géométrique a une somme finie si $|a|<1$, l’arithmétique ne converge pas sauf si finit.
4. Erreur dans l’utilisation du critère de d’Alembert : La limite $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$ doit être strictement inférieure à 1 pour conclure.
5. Confusion entre série convergente et série divergente avec termes tendant vers 0 : La seule condition nécessaire est que $u_k \to 0$, mais ce n’est pas suffisant.
6. Utilisation incorrecte du critère de comparaison : Il faut comparer avec une série connue convergente ou divergente, pas seulement des termes.
7. Erreur dans la somme d’une série de Riemann : La convergence dépend de $\alpha$, pas de la forme de la série.

✅ Checklist d'examen

• Vérifier que la suite des sommes partielles $S_n$ converge pour conclure à la convergence de la série.
• S’assurer que $u_k \to 0$ est vrai pour toute série convergente.
• Connaître la formule de la somme d’une série géométrique $\sum a^n$ pour $|a|<1$.
• Utiliser le critère de d’Alembert ou de ratio pour tester la convergence.
• Savoir que la convergence absolue implique la convergence, mais pas l’inverse.
• Estimer le reste $R_n$ pour approcher la somme avec précision.
• Reconnaître une série classique (harmonique, géométrique, de Riemann) et ses propriétés.
• Vérifier la convergence pour une série alternée en utilisant le critère de Leibniz.
• Savoir que la série exponentielle converge pour tout $z \in \mathbb{C}$.
• Comprendre que la convergence d’une série ne dépend pas seulement de la limite des termes, mais aussi de leur comportement global.
• Vérifier la convergence d’une série en utilisant le critère de comparaison avec une série connue.
• Connaître la formule de la somme d’une série géométrique et la condition $|a|<1$.