Critères et convergence des séries infinies

📋 Plan du Cours

1. Convergence séries
2. Somme série convergente
3. Reste d'ordre n
4. Séries classiques
5. Critères de convergence
6. Séries géométriques
7. Séries à termes positifs
8. Séries absolument convergentes
9. Familles sommables
10. Séries doubles

📖 1. Convergence séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite à valeurs dans K : Suite dont chaque terme appartient à un corps K (R ou C).
• Somme partielle (Sn) : Somme des premiers n termes d'une série, notée $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$.
• Convergence d'une série : La série $\sum u_k$ est convergente si la suite $S_n$ de ses sommes partielles converge vers une limite finie $S$.
• Somme d'une série convergente : La limite $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ est appelée somme de la série.
• Reste d'ordre n (Rn) : $R_n = S - S_n$, différence entre la somme totale et la somme partielle d'ordre n. Si la série converge, $R_n \to 0$.
• Série géométrique : $\sum a^n$ avec $|a| < 1$, somme $\frac{1}{1 - a}$.
• Série de Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$, converge si $\alpha > 1$.
• Convergence absolue : $\sum |u_k|$ converge, alors $\sum u_k$ est dite absolument convergente.
• Série alternée : Série où les termes changent de signe selon une suite $p_{(-1)^n}$.
• Critère de d'Alembert : Si $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$, alors la série converge si $l < 1$, diverge si $l > 1$.
• Critère de comparaison : Si $…