Fiche de révision : Dénombrement et méthodes associées

📋 Plan du Cours

1. Notion de dénombrement
2. Principe additif
3. Principe multiplicatif
4. K-uplets et répétition
5. Arrangements
6. Permutations
7. Combinaisons
8. Coefficients binomiaux
9. Triangle de Pascal
10. Parties d’un ensemble
11. Choisir la bonne méthode

📖 1. Notion de dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble fini : Un ensemble fini est un ensemble qui contient un nombre fini d’éléments.
• Cardinal d’un ensemble : Le cardinal d’un ensemble est le nombre d’éléments qu’il contient, noté |E| ou Card(E).
• Dénombrer : Dénombrer consiste à compter le nombre d’éléments d’un ensemble fini, donc à déterminer son cardinal.
• Ensemble disjoint : Deux ensembles disjoints n’ont aucun élément en commun.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des joueurs d’une équipe de foot a 11 éléments, donc |E|=11 pour cet exemple.
• L’ensemble N des entiers naturels n’est pas fini, donc on ne peut pas l’utiliser directement pour dénombrer avec |E|.
• Le cardinal s’écrit Card(E) et aussi |E|.
• Dire que deux ensembles sont disjoints signifie qu’ils n’ont aucun élément commun.

💡 Astuce mémo

Fini → cardinal défini : on peut compter, sinon non.

📖 2. Principe additif

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe additif : Le principe additif calcule le cardinal d’une union d’ensembles disjoints en additionnant leurs cardinaux.
• Union d’ensembles disjoints : Une union d’ensembles disjoints est une réunion où les ensembles ne se recouvrent pas.

📝 Points essentiels

• Si E1, E2, …, Ek sont finis et deux à deux disjoints, alors Card(E1∪E2∪…∪Ek)=Card(E1)+Card(E2)+…+Card(Ek).
• Dans l’exemple latin/théâtre, L et T ne sont pas disjoints car L∩T est non vide, donc le principe additif direct ne s’applique pas.
• Après schématisation, le nombre d’élèves vaut 11+5+9+8=33.
• Pour appliquer le principe additif, il faut rendre les cas disjoints en séparant ceux qui se recouvrent via des intersections.

💡 Astuce mémo

Disjoints = pas de doublons → on additionne.

📖 3. Principe multiplicatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Le produit cartésien E1×E2×…×Ep est l’ensemble de tous les p-uplets dont chaque coordonnée appartient au facteur correspondant.
• Principe multiplicatif : Le principe multiplicatif donne le cardinal d’un produit cartésien en multipliant les cardinaux des ensembles.
• p-uplets : Un p-uplet est une liste ordonnée de p éléments, utilisée pour compter des choix successifs.

📝 Points essentiels

• Si E1, E2, …, Ep sont finis, alors Card(E1×E2×…×Ep)=Card(E1)×Card(E2)×…×Card(Ep).
• Le produit cartésien E1×E2×E3 correspond à tous les triplets (a1,a2,a3) formés avec a1∈E1, a2∈E2, a3∈E3.
• Restaurant : 3 entrées, 4 plats, 2 desserts donnent Card(E×P×D)=3×4×2=24 menus.
• Restaurant avec dessert imposé : on compte seulement entrée×plat, donc 3×4=12 menus.

💡 Astuce mémo

Choix successifs → on multiplie.

📖 4. K-uplets et répétition

🔑 Notions clés & Définitions

• k-uplets : Un k-uplet est une liste ordonnée de k éléments qui sert à dénombrer des choix successifs.
• k-uplets avec répétition : Des k-uplets avec répétition autorisent que la même valeur apparaisse plusieurs fois dans le k-uplet.
• k-uplets d’éléments distincts : Un k-uplet d’éléments distincts est un k-uplet où tous les éléments sont différents.
• Cardinal de Ek : Pour un ensemble E à n éléments, le cardinal de Ek est n^k.

📝 Points essentiels

• Avec répétition et ordre compté : si Card(E)=n, alors le nombre de k-uplets vaut n^k.
• Exemple des deux dés à 6 faces : le nombre de couples possibles est 6×6=6^2, et (1,2) ≠ (2,1).
• Dans un code digicode : choisir 2 lettres parmi 26 donne Card(A^2)=26^2=676 possibilités.
• Dans le digicode étudié : choisir 10 chiffres donne 10^10 possibilités, soit au total 676×10^10=6 760 000 000 000 codes.

💡 Astuce mémo

n^k : k places, n choix à chaque place (répétition permise).

📖 5. Arrangements

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrangement de k éléments parmi n : Un arrangement de k éléments parmi n est un k-uplet d’éléments distincts tirés d’un ensemble de n éléments.
• Factorielle n : La factorielle n, notée n!, est le produit de tous les entiers de 1 à n.

📝 Points essentiels

• Si E a n éléments et k≤n, alors le nombre d’arrangements vaut n×(n−1)×…×(n−k+1)=n!/(n−k)!.
• Exemple branchement : 12 positions pour la 1ère prise, puis 11 puis 10 donne 12×11×10=1320 arrangements possibles.
• Même exemple par factorielle : 12!/(12−3)! = 12!/9! = 1320 positions.
• Convention : 0!=1 et 1!=1 pour la factorielle.

💡 Astuce mémo

Arrangements = permutations partielles : n!/(n−k)!.

📖 6. Permutations

🔑 Notions clés & Définitions

• Permutation : Une permutation d’un ensemble à n éléments est un n-uplet d’éléments tous distincts utilisant tous les éléments.
• Permutation de taille n : Pour une permutation, on a k=n, donc on utilise tous les éléments.
• Nombre de permutations : Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est égal à n!.

📝 Points essentiels

• Si E a n éléments, alors le nombre de permutations de E vaut n!.
• Exemple banc de 3 places : 3! = 6 façons d’asseoir 3 personnes.
• Conférence : cas mathématiciens donne 12!=479 001 600 façons au total.
• Cas physiciens : groupe de 3 physiciens ensemble implique 10 positions pour le bloc et 3!=6 façons à l’intérieur, puis 9!=362 880 pour le reste, soit 10×6×362 880=21 772 800 façons.

💡 Astuce mémo

Permutation = “tout placer” → n!.

📖 7. Combinaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : Une combinaison de k éléments d’un ensemble E est un sous-ensemble de E contenant k éléments.
• Ordre non important : Dans une combinaison, l’ordre des éléments ne change pas la combinaison obtenue.
• Cardinal des combinaisons : Le nombre de combinaisons de k parmi n se note C(n,k) et vaut e_n^k f.

📝 Points essentiels

• Si E a n éléments et k≤n, alors le nombre de combinaisons de k éléments vaut n!/(k!(n−k)!).
• Cas particulier : e_n^0 f=1 et e_n^n f=1, car il n’existe qu’une seule façon de choisir 0 ou n éléments.
• Cas particulier : e_n^1 f=n, car choisir 1 élément revient à choisir lequel parmi n.
• Élection : parmi 34 élèves, choisir 4 délégués donne e34_4 f=34!/4!30!=46 376 possibilités.
• Même élection avec contrainte Emma et Bastien élus : on retire 2 personnes, il reste e32_2 f=32!/2!30!=496 possibilités, donc 46 376−496=45 880.

💡 Astuce mémo

Combinaison = choix sans ordre → formule n!/(k!(n−k)!).

📖 8. Coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Le coefficient binomial e_n^k f est le nombre de combinaisons de k éléments parmi n.
• Symétrie des coefficients : La symétrie relie e_n^(n−k)f à e_n^k f en inversant k et n−k.
• Triangle de Pascal (relation) : La relation du triangle de Pascal relie des coefficients consécutifs sur des lignes différentes.

📝 Points essentiels

• Pour 0≤k≤n, on a e_n^(n−k)f = e_n^k f.
• Pour 0≤k≤n, la propriété du triangle de Pascal s’écrit e_n^k f + e_n^(k+1)f = e_(n+1)^(k+1)f.
• Exercice : e25_24 f = e25_1 f par symétrie, donc vaut 25.
• Exercice : e4_2 f = e3_1 f + e3_2 f, puis e3_2 f = e2_1 f + e2_2 f, ce qui donne 3+2+1=6.

💡 Astuce mémo

Symétrie : e_n^k = e_n^(n−k), et Pascal : “deux du bas = un du haut”.

📖 9. Triangle de Pascal

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle de Pascal : Le triangle de Pascal est un tableau qui organise les coefficients binomiaux pour les lire rapidement.
• Lecture de e_n^k f : Dans le triangle de Pascal, la valeur e_n^k f se repère à la ligne n et à la position k.
• Propriété de reconstruction : La relation e_n^k f + e_n^(k+1)f = e_(n+1)^(k+1)f permet de retrouver des valeurs dans le triangle.

📝 Points essentiels

• Le triangle peut être utilisé pour lire rapidement e_n^k f, par exemple e4_2 f = 6 dans le tableau.
• La relation affichée dans la source utilise e5_3 f + e5_4 f = e6_4 f.
• De façon générale, on retrouve e_n^k f + e_n^(k+1)f = e_(n+1)^(k+1)f pour compléter le triangle.
• Le triangle est attribué à Blaise Pascal (1623 ; 1662) comme découverte d’un triangle arithmétique.

💡 Astuce mémo

Au triangle : deux nombres adjacents donnent celui juste au-dessus.

📖 10. Parties d’un ensemble

🔑 Notions clés & Définitions

• Parties d’un ensemble : Les parties d’un ensemble E sont tous ses sous-ensembles.
• Sous-ensembles de taille k : Le nombre de sous-ensembles à k éléments d’un ensemble à n éléments vaut e_n^k f.
• Nombre total de parties : Le nombre total de parties d’un ensemble à n éléments vaut 2^n.

📝 Points essentiels

• Si E a n éléments, alors le nombre total de sous-ensembles de E vaut e_n^0 f + e_n^1 f + … + e_n^n f = 2^n.
• Dénombrage par étapes : à chaque élément de E, on choisit de le mettre ou non, ce qui fait 2 possibilités par élément.
• Ainsi, après n éléments, le total de parties est 2×2×…×2 (n facteurs), donc 2^n.
• Exemple : pour E={1,2,3}, les parties sont ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} et il y en a 8, donc 2^3.

💡 Astuce mémo

Chaque élément : dedans ou dehors → 2^n parties.

📖 11. Choisir la bonne méthode

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrangements : Les arrangements correspondent à des k choix ordonnés sans répétition, donc des k-uplets d’éléments distincts.
• Permutations : Les permutations correspondent au cas particulier où on choisit k=n sans répétition.
• Combinaisons : Les combinaisons correspondent à des choix sans ordre et sans répétition.

📝 Points essentiels

• Si l’ordre compte et que la répétition est autorisée, alors le nombre de k-uplets vaut n^k pour un ensemble de n éléments.
• Si l’ordre compte et qu’il n’y a pas de répétition, alors on utilise les arrangements : n!/(n−k)!.
• Si k=n sans répétition, alors on obtient les permutations : n!.
• Si l’ordre ne compte pas et qu’il n’y a pas de répétition, alors on utilise les combinaisons : e_n^k f = n!/(k!(n−k)!).
• Exemple mots de 3 lettres de l’alphabet (26) : ordre + répétition → 26^3.
• Exemple mots de 3 lettres toutes différentes : ordre + sans répétition → 26×25×24.

💡 Astuce mémo

Décision flash : ordre ? répétition ? puis n^k / n!/(n−k)! / n! / e_n^k f.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Choisir selon l’ordre et la répétition

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre principe additif et principe multiplicatif : l’additif exige des ensembles deux à deux disjoints, sinon il faut d’abord séparer avec des intersections.
2. Penser que (a,b) et (b,a) sont identiques : ils diffèrent dès qu’on compte l’ordre, donc on n’utilise pas alors une combinaison.
3. Utiliser e_n^k f alors que l’ordre compte : si l’ordre compte, il faut prendre des arrangements n!/(n−k)!.
4. Appliquer le principe multiplicatif sans vérifier les choix indépendants sous forme de produit cartésien : ici, on compte bien des p-uplets issus de facteurs donnés.
5. Oublier la contrainte “sans répétition” dans les arrangements et permutations : répéter une valeur change le dénombrement (on doit passer à n^k).
6. Se tromper sur le cas limite : e_n^0 f = 1 et e_n^n f = 1, ce sont des choix forcés.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir ensemble fini, cardinal |E| et expliquer ce que signifie dénombrer un ensemble fini.
2. Appliquer le principe additif uniquement quand les ensembles sont deux à deux disjoints et écrire Card(∪Ei)=∑Card(Ei).
3. Savoir utiliser la notion d’ensembles disjoints pour traiter des cas qui se recouvrent via une schématisation adaptée.
4. Savoir calculer le cardinal d’un produit cartésien via le principe multiplicatif : Card(E1×…×Ep)=∏Card(Ei).
5. Distinguer k-uplets avec répétition (n^k) et k-uplets d’éléments distincts (arrangements).
6. Calculer le nombre d’arrangements n!/(n−k)! et savoir reconnaître que c’est le cas ordre compte et répétition interdite.
7. Calculer le nombre de permutations n! et reconnaître que c’est le cas k=n sans répétition.
8. Calculer le nombre de combinaisons e_n^k f = n!/(k!(n−k)!) quand l’ordre ne compte pas et qu’on ne répète pas.
9. Utiliser la symétrie e_n^(n−k)f = e_n^k f pour simplifier un calcul.
10. Utiliser la propriété du triangle de Pascal e_n^k f + e_n^(k+1)f = e_(n+1)^(k+1)f pour obtenir une valeur.
11. Lire ou reconstruire des coefficients binomiaux à partir du triangle de Pascal et relier la lecture à e_n^k f.
12. Calculer le nombre total de parties d’un ensemble : somme des e_n^k f et égalité à 2^n.
13. Savoir choisir la bonne formule (n^k, n!/(n−k)!, n!, e_n^k f) à partir de “ordre oui/non” et “répétition oui/non”.