QCM : Dénombrement et méthodes associées — 22 questions

Explication

Dénombrer consiste à déterminer le cardinal d’un ensemble fini, c’est-à-dire son nombre d’éléments. Les autres propositions ne définissent pas le dénombrement.

Explication

Deux ensembles disjoints ne partagent aucun élément. Le fait d’avoir le même cardinal ou d’être égaux n’est pas lié à la disjonction.

Explication

Le principe additif consiste à additionner les cardinaux d’ensembles disjoints. S’il y a recouvrement, il faut d’abord traiter les intersections.

Explication

Pour des ensembles deux à deux disjoints, le cardinal de l’union est la somme des cardinaux. La multiplication relève du principe multiplicatif, pas du principe additif.

Explication

Le principe multiplicatif dit que le cardinal d’un produit cartésien est le produit des cardinaux. Chaque coordonnée correspond à un choix indépendant.

Explication

On applique le principe multiplicatif : 3 choix d’entrée, 4 de plat et 2 de dessert, donc 3×4×2=24. La réponse 12 correspondrait à un cas où un dessert serait imposé.

Explication

Un k-uplet avec répétition permet qu’un même élément apparaisse plusieurs fois. L’ordre reste pris en compte, contrairement aux combinaisons.

Explication

Avec répétition, il y a n choix à chacune des k places, donc n^k possibilités. La formule n!/(n−k)! correspond aux arrangements sans répétition.

Explication

Un arrangement est un choix ordonné de k éléments distincts parmi n. Ce n’est pas une combinaison, car l’ordre y compte.

Explication

Le nombre d’arrangements vaut n×(n−1)×…×(n−k+1), soit n!/(n−k)!. La formule n!/(k!(n−k)!) correspond aux combinaisons.

Explication

Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est n!. Ici, 5! = 120.

Explication

Une permutation utilise tous les éléments de l’ensemble, sans répétition, et l’ordre compte. Les autres propositions correspondent à d’autres notions comme les combinaisons ou les k-uplets avec répétition.

Explication

Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n vaut n!/(k!(n−k)!). Donc C(7,3)=7!/(3!4!)=35.

Explication

Une combinaison est un sous-ensemble : l’ordre n’a pas d’importance. Si l’ordre compte, on ne parle plus de combinaison.

Explication

Le coefficient binomial e_n^k f compte les combinaisons de k éléments parmi n. Il est donc directement lié au choix sans ordre et sans répétition.

Explication

La symétrie des coefficients binomiaux donne e_n^k f = e_n^(n−k)f. Elle exprime que choisir k éléments revient à choisir les n−k restants.

Explication

La relation de Pascal relie deux coefficients adjacents d’une ligne à un coefficient de la ligne suivante. C’est le principe utilisé pour compléter le triangle.

Explication

Le triangle de Pascal organise les coefficients binomiaux pour les lire ou les reconstruire rapidement. Il n’est pas destiné au dénombrement des permutations ou des produits cartésiens.

Explication

Le nombre total de parties d’un ensemble à n éléments est 2^n. Pour 4 éléments, cela donne 2^4 = 16.

Explication

Pour chaque élément, il y a deux possibilités : l’inclure ou non. En multipliant ces deux choix pour chacun des n éléments, on obtient 2^n.

Explication

Chaque élément peut être soit présent, soit absent d’une partie, ce qui donne 2 choix indépendants par élément et donc 2^n parties. L’addition des cardinaux concerne plutôt des ensembles disjoints, pas le dénombrement des sous-ensembles.

Explication

Un ensemble à 3 éléments possède 2^3 parties, soit 8. On peut aussi les lister : l’ensemble vide, les trois parties à un élément, les trois à deux éléments et la partie entière.