Fiche de révision : Dérivation et tangentes

📋 Plan du Cours

1. Limite d’une fonction en zéro
2. Nombre dérivé et dérivabilité
3. Tangente à une courbe

📖 1. Limite d’une fonction en zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en zéro : La fonction f a pour limite L lorsque x tend vers 0 si les valeurs de f(x) peuvent être aussi proches de L que l’on veut pourvu que x soit suffisamment proche de 0, ce qui se note $\lim_{x\to 0}f(x)=L$.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple étudié, lorsque x se rapproche de 0, les valeurs de f(x) se rapprochent de 2, donc $\lim_{x\to 0}f(x)=2$.

• Pour la fonction g étudiée, les valeurs de g(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque x se rapproche de 0, donc $\lim_{x\to 0}g(x)=+\infty$.

💡 Astuce mémo

x se rapproche de 0 → f(x) se rapproche de L

📖 2. Nombre dérivé et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La limite $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsqu’elle existe comme nombre réel.

★ À maîtriser

📐 Formule — La pente de la droite passant par les points A et B de coordonnées respectives (a,f(a)) et (b,f(b)), avec a<b, est $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

• Pour démontrer qu’une fonction est dérivable en a, on calcule f(a+h)-f(a), on factorise h, on simplifie le quotient différentiel pour h non nul, puis on calcule sa limite lorsque h tend vers 0.

Compléments

• Pour f(x)=x^2+2x-3, le nombre dérivé en 2 vaut f'(2)=6.

💡 Astuce mémo

La pente d’une sécante devient la pente instantanée quand M rejoint A

📖 3. Tangente à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à une courbe : La droite passant par A et dont la pente est le nombre dérivé f'(a).

★ À maîtriser

📐 Formule — Une équation de la tangente à la courbe en A d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

• Pour f(x)=x^2+2x-3 au point d’abscisse 2, la tangente est la droite passant par le point A de la courbe et de pente 6.

💡 Astuce mémo

Dérivée → pente → équation de la tangente