QCM : Dérivation et tangentes — 7 questions

Question 1

1. Que signifie l’égalité $\lim_{x\to 0}f(x)=L$ ?

Les valeurs de

f(x)

deviennent de plus en plus grandes lorsque

x

se rapproche de

0

.

Les valeurs de

f(x)

peuvent se rapprocher de

L

autant qu’on le souhaite lorsque

x

est assez proche de

0

.

La fonction prend la valeur

L

pour chaque nombre réel proche de

0

.

La valeur de

f(0)

est égale à

L

dès que la fonction est définie en

0

.

Explication

Cette limite signifie que les valeurs de la fonction se rapprochent autant que voulu de $L$ lorsque la variable se rapproche suffisamment de $0$ . Elle ne demande pas que $f(0)=L$ ni que la fonction soit constante près de $0$ .

Answer

Les valeurs de $$f(x)$$ peuvent se rapprocher de $$L$$ autant qu’on le souhaite lorsque $$x$$ est assez proche de $$0$$.

Question 2

2. Une fonction prend des valeurs de plus en plus grandes lorsque $x$ se rapproche de $0$ ; quelle limite décrit cette situation ?

\lim_{x\to 0}g(x)=+\infty

\lim_{x\to 0}g(x)=1

\lim_{x\to 0}g(x)=-\infty

\lim_{x\to 0}g(x)=0

Explication

Les valeurs qui augmentent sans se rapprocher d’un nombre réel correspondent à une limite égale à $+\infty$ . Une limite finie, comme $0$ ou $1$ , désigne au contraire un rapprochement vers un nombre réel précis.

Answer

$$\lim_{x\to 0}g(x)=+\infty$$

Question 3

3. Pour deux points distincts A et B d’une courbe, de coordonnées respectives $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ avec $a<b$ , quelle expression donne la pente de la droite sécante ?

\frac{f(b)-f(a)}{a+b}

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

\frac{f(a)+f(b)}{b+a}

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Explication

La pente de la sécante reliant les deux points est le quotient de la variation des ordonnées par la variation des abscisses, soit $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . L’expression avec $h$ correspond au quotient différentiel utilisé pour définir le nombre dérivé en un point.

Answer

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Question 4

4. Comment définit-on le nombre dérivé de $f$ en $a$ lorsqu’il existe comme nombre réel ?

f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)+f(a)}{x+a}

f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

f'(a)=\lim_{h\to a}\frac{f(h)-f(a)}{h-a}

f'(a)=\lim_{x\to 0}\frac{f(a+x)-f(a)}{a+x}

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est la limite du quotient différentiel lorsque l’accroissement $h$ tend vers $0$ . Les autres expressions ne comparent pas correctement la variation de la fonction à la variation de la variable autour de $a$ .

Answer

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Question 5

5. Pour étudier la dérivabilité d’une fonction en $a$ à partir du quotient différentiel, quelle démarche est correcte ?

Remplacer directement

h

par

0

dans le quotient, puis factoriser si l’expression est indéfinie.

Calculer d’abord la limite du quotient non simplifié, puis supprimer les facteurs contenant

h

.

Factoriser puis simplifier le quotient pour

h\ne 0

, avant de calculer sa limite quand

h\to 0

.

Évaluer séparément

f(a+h)

et

f(a)

en

h=0

, puis comparer leurs valeurs.

Explication

La démarche consiste à calculer la différence, à mettre en évidence un facteur $h$ , puis à simplifier pour $h\ne 0$ avant de prendre la limite. Le remplacement direct par $h=0$ peut produire une expression indéfinie et ne permet pas cette simplification.

Answer

Factoriser puis simplifier le quotient pour $$h\ne 0$$, avant de calculer sa limite quand $$h\to 0$$.

Question 6

6. Comment caractérise-t-on la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

C’est la droite qui passe par deux points distincts de la courbe et dont la pente vaut

f(a)

.

C’est la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point de la courbe d’abscisse

a

.

C’est la droite qui passe par le point de la courbe d’abscisse

a

et dont la pente vaut

f'(a)

.

C’est la courbe elle-même lorsque sa pente moyenne entre deux points vaut

f'(a)

.

Explication

La tangente passe par le point de contact et sa pente est le nombre dérivé $f'(a)$ . La courbe représentative n’est généralement pas une droite, et $f(a)$ donne une ordonnée plutôt qu’une pente.

Answer

C’est la droite qui passe par le point de la courbe d’abscisse $$a$$ et dont la pente vaut $$f'(a)$$.

Question 7

7. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)x-f'(a)

y=f'(a)x+f(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

Explication

L’équation de la tangente utilise $f'(a)$ comme pente et passe par le point $(a,f(a))$ , ce qui donne $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . L’expression $f'(a)x+f(a)$ ne garantit pas le passage par le point de contact lorsque $a\ne 0$ .

Answer

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

QCM : Dérivation et tangentes — 7 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie l’égalité $\lim_{x\to 0}f(x)=L$ ?

2. Une fonction prend des valeurs de plus en plus grandes lorsque $x$ se rapproche de $0$ ; quelle limite décrit cette situation ?

3. Pour deux points distincts A et B d’une courbe, de coordonnées respectives $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ avec $a<b$ , quelle expression donne la pente de la droite sécante ?

4. Comment définit-on le nombre dérivé de $f$ en $a$ lorsqu’il existe comme nombre réel ?

5. Pour étudier la dérivabilité d’une fonction en $a$ à partir du quotient différentiel, quelle démarche est correcte ?

6. Comment caractérise-t-on la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

7. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

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QCM : Dérivation et tangentes — 7 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie l’égalité lim⁡x→0f(x)=L\lim_{x\to 0}f(x)=Llimx→0​f(x)=L ?

2. Une fonction prend des valeurs de plus en plus grandes lorsque xxx se rapproche de 000 ; quelle limite décrit cette situation ?

3. Pour deux points distincts A et B d’une courbe, de coordonnées respectives (a,f(a))(a,f(a))(a,f(a)) et (b,f(b))(b,f(b))(b,f(b)) avec a<ba<ba<b, quelle expression donne la pente de la droite sécante ?

4. Comment définit-on le nombre dérivé de fff en aaa lorsqu’il existe comme nombre réel ?

5. Pour étudier la dérivabilité d’une fonction en aaa à partir du quotient différentiel, quelle démarche est correcte ?

6. Comment caractérise-t-on la tangente à la courbe représentative de fff au point d’abscisse aaa ?

7. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

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1. Que signifie l’égalité $\lim_{x\to 0}f(x)=L$ ?

2. Une fonction prend des valeurs de plus en plus grandes lorsque $x$ se rapproche de $0$ ; quelle limite décrit cette situation ?

3. Pour deux points distincts A et B d’une courbe, de coordonnées respectives $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ avec $a<b$ , quelle expression donne la pente de la droite sécante ?

4. Comment définit-on le nombre dérivé de $f$ en $a$ lorsqu’il existe comme nombre réel ?

5. Pour étudier la dérivabilité d’une fonction en $a$ à partir du quotient différentiel, quelle démarche est correcte ?

6. Comment caractérise-t-on la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

7. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?