Fiche de révision : Dérivées et primitives usuelles

📋 Plan du Cours

1. Fonctions usuelles de base
2. Règles opératoires de dérivation
3. Primitives de fonctions composées

📖 1. Fonctions usuelles de base

📝 Points essentiels

• Pour toute fonction usuelle, une primitive s’écrit avec une constante réelle arbitraire $F(x)+C$.

📐 Formule - La dérivée d’une puissance est $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$, avec $n\neq -1$, et une primitive correspondante est $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$.

📐 Formule - La dérivée de $\ln|x|$ est $\frac{1}{x}$, et une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln|x|+C$.

📐 Formule - Les dérivées usuelles comprennent $\left(e^x\right)'=e^x$, $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$, $\left(\cos x\right)'=-\sin x$ et $\left(\sin x\right)'=\cos x$.

📐 Formule - Les primitives usuelles comprennent $\int e^x\,dx=e^x+C$, $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ et $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.

💡 Astuce mémo

Dérivée : variation ; primitive : fonction dont on cherche la variation

📖 2. Règles opératoires de dérivation

★ À maîtriser

📐 Formule - La dérivée d’une somme est $(u+v)'=u'+v'$ et la dérivée d’une multiplication par une constante réelle est $(ku)'=ku'$, où k est constante.

📐 Formule - La dérivée d’un produit est $(uv)'=u'v+uv'$, ce qui correspond à la somme des deux dérivées partielles du produit.

📐 Formule - La dérivée d’un quotient est $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📐 Formule - La règle de la chaîne donne $\bigl(f(u)\bigr)'=u'\,f'(u)$.

Compléments

📐 Formule - La dérivée de l’inverse est $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$.

💡 Astuce mémo

Somme → réel → produit → quotient → inverse → chaîne

📖 3. Primitives de fonctions composées

★ À maîtriser

📐 Formule - Une primitive de $u' u^n$, avec $n\neq -1$, est $\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$.

📐 Formule - Une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln|u|+C$.

• Une primitive de $u'e^u$ est $e^u+C$, une primitive de $u'\cos(u)$ est $\sin(u)+C$ et une primitive de $u'\sin(u)$ est $-\cos(u)+C$.

• Pour calculer une primitive composée, il faut reconnaître la fonction principale, poser u égal à son expression intérieure, puis vérifier qu’il ne manque qu’une constante ou un signe pour faire apparaître u′.

Compléments

📐 Formule - Une primitive de $\frac{u'}{1+u^2}$ est $\arctan(u)+C$, tandis qu’une primitive de $\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ est $\arcsin(u)+C$.

💡 Astuce mémo

Reconnaître la forme → poser u → ajuster le facteur u′

📊 Tableaux de synthèse

Formes composées et primitives