QCM : Dérivées et primitives usuelles (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les primitives des fonctions usuelles :

Une primitive est déterminée de manière unique dès que sa dérivée est connue.
Deux primitives d’une même fonction peuvent différer par une constante réelle.
Toute primitive d’une fonction usuelle peut s’écrire F(x)+CF(x)+C avec CC réel.
La constante CC représente une arbitraire réelle ajoutée à une primitive connue.
Une dérivée donnée possède plusieurs fonctions primitives distinctes sans constante d’ajustement.

Deux primitives d’une même fonction peuvent différer par une constante réelle. · Toute primitive d’une fonction usuelle peut s’écrire $$F(x)+C$$ avec $$C$$ réel. · La constante $$C$$ représente une arbitraire réelle ajoutée à une primitive connue.

Explication

Une primitive s’écrit sous la forme F(x)+CF(x)+C, où CC est une constante réelle arbitraire. Les primitives d’une même fonction ne sont donc pas uniques : elles diffèrent par une constante.

2. Parmi les propositions suivantes concernant la règle des puissances, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Pour n≠−1n\neq -1, une primitive de xnx^n est xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
La formule de primitive des puissances s’applique à x−1x^{-1} avec le même dénominateur.
La dérivée de xnx^n vaut nxn−1nx^{n-1} lorsque n≠−1n\neq -1.
La condition n≠−1n\neq -1 distingue la règle des puissances du cas logarithmique.
Une primitive de xnx^n vaut xnn+C\frac{x^n}{n}+C pour tout exposant non nul.

Pour $$n\neq -1$$, une primitive de $$x^n$$ est $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$. · La dérivée de $$x^n$$ vaut $$nx^{n-1}$$ lorsque $$n\neq -1$$. · La condition $$n\neq -1$$ distingue la règle des puissances du cas logarithmique.

Explication

La dérivée de xnx^n est nxn−1nx^{n-1} et sa primitive, lorsque n≠−1n\neq -1, est xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Le cas n=−1n=-1 relève de la primitive logarithmique et ne se traite pas avec ce dénominateur.

3. Pour une fonction comportant un terme en 1/x1/x, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le terme 1x\frac{1}{x} correspond au cas logarithmique des primitives.
La dérivée de ln⁡∣x∣\ln|x| est 1x\frac{1}{x}.
La règle des puissances ne fournit pas directement la primitive de x−1x^{-1}.
Une primitive de 1x\frac{1}{x} est xln⁡∣x∣+Cx\ln|x|+C.
Une primitive de 1x\frac{1}{x} est ln⁡∣x∣+C\ln|x|+C.

Le terme $$\frac{1}{x}$$ correspond au cas logarithmique des primitives. · La dérivée de $$\ln|x|$$ est $$\frac{1}{x}$$. · La règle des puissances ne fournit pas directement la primitive de $$x^{-1}$$. · Une primitive de $$\frac{1}{x}$$ est $$\ln|x|+C$$.

Explication

On a (ln⁡∣x∣)′=1x\left(\ln|x|\right)'=\frac{1}{x}, donc une primitive de 1/x1/x est ln⁡∣x∣+C\ln|x|+C. L’exposant −1-1 constitue le cas logarithmique, distinct de la règle générale des puissances.

4. Quelles sont les réponses exactes au sujet des dérivées usuelles ?

La dérivée de exe^x est exe^x.
La dérivée de cos⁡x\cos x est sin⁡x\sin x.
La dérivée de cos⁡x\cos x est −sin⁡x-\sin x.
La dérivée de sin⁡x\sin x est cos⁡x\cos x.
La dérivée de ln⁡x\ln x est ln⁡x\ln x.

La dérivée de $$e^x$$ est $$e^x$$. · La dérivée de $$\cos x$$ est $$-\sin x$$. · La dérivée de $$\sin x$$ est $$\cos x$$.

Explication

Les dérivées usuelles sont (ex)′=ex\left(e^x\right)'=e^x, (cos⁡x)′=−sin⁡x\left(\cos x\right)'=-\sin x et (sin⁡x)′=cos⁡x\left(\sin x\right)'=\cos x. En revanche, (ln⁡x)′=1/x\left(\ln x\right)'=1/x et non ln⁡x\ln x, tandis que le signe moins manque dans la dernière expression.

5. Concernant la dérivation d’une somme et d’un produit par une constante :

La constante multiplicative devient une dérivée supplémentaire dans kuku.
La dérivée de u+vu+v vaut u′v+uv′u'v+uv'.
Les deux fonctions d’une somme se dérivent séparément avant addition.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées de ses termes.
Pour une constante réelle kk, on a (ku)′=ku′ (ku)'=ku' .

Les deux fonctions d’une somme se dérivent séparément avant addition. · La dérivée d’une somme est la somme des dérivées de ses termes. · Pour une constante réelle $$k$$, on a $$ (ku)'=ku' $$.

Explication

La linéarité donne (u+v)′=u′+v′ (u+v)'=u'+v' et (ku)′=ku′ (ku)'=ku' pour une constante kk. La formule u′v+uv′u'v+uv' concerne un produit de fonctions, pas une somme, et la constante reste factorisée.

6. Un produit de deux fonctions étant donné, quelles propositions sont exactes ?

Si le premier facteur vaut une constante k, la dérivée de ku vaut u'.
La règle du produit additionne les deux termes obtenus après dérivation.
La dérivée de uvuv est u′v−uv′u'v-uv'.
Chaque facteur contribue par une dérivée dans la formule du produit.
La dérivée de uvuv est u′v+uv′u'v+uv'.

La règle du produit additionne les deux termes obtenus après dérivation. · Chaque facteur contribue par une dérivée dans la formule du produit. · La dérivée de $$uv$$ est $$u'v+uv'$$.

Explication

La règle du produit est (uv)′=u′v+uv′ (uv)'=u'v+uv'. Les deux facteurs interviennent donc successivement dans les deux termes, avec une addition et non une soustraction. Si un facteur vaut une constante k, on obtient toutefois la règle (ku)′=ku′ (ku)'=ku'.

7. Concernant la dérivée d’un quotient, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le numérateur de la règle du quotient est u′v−uv′u'v-uv'.
Le dénominateur de la règle du quotient est vv.
Le carré du dénominateur apparaît dans la formule de dérivation.
Le numérateur de la formule est u′v+uv′u'v+uv'.
La dérivée de uv\frac{u}{v} est u′v−uv′v2\frac{u'v-uv'}{v^2}.

Le numérateur de la règle du quotient est $$u'v-uv'$$. · Le carré du dénominateur apparaît dans la formule de dérivation. · La dérivée de $$\frac{u}{v}$$ est $$\frac{u'v-uv'}{v^2}$$.

Explication

La règle du quotient s’écrit (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. Le numérateur comporte une soustraction et le dénominateur est le carré de vv, non vv lui-même.

8. Une fonction composée étant dérivée, parmi les propositions suivantes la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La dérivée de f(u)f(u) se réduit à f′(u)f'(u) sans facteur supplémentaire.
La règle de la chaîne donne (f(u))′=u′f′(u)\bigl(f(u)\bigr)'=u'f'(u).
La règle de la chaîne remplace le facteur u′u' par uu.
La dérivée de l’expression intérieure uu intervient dans la règle de la chaîne.
La fonction extérieure est dérivée en conservant l’évaluation en uu.

La règle de la chaîne donne $$\bigl(f(u)\bigr)'=u'f'(u)$$. · La dérivée de l’expression intérieure $$u$$ intervient dans la règle de la chaîne. · La fonction extérieure est dérivée en conservant l’évaluation en $$u$$.

Explication

La règle de la chaîne est (f(u))′=u′f′(u)\bigl(f(u)\bigr)'=u'f'(u). Elle combine donc la dérivée de l’expression intérieure avec celle de la fonction extérieure évaluée en uu.

9. Concernant la recherche d’une primitive composée :

La méthode consiste à ignorer la structure intérieure de la fonction.
Il faut vérifier qu’un facteur constant ou un signe permet de retrouver u′u'.
Il faut identifier la fonction principale avant de choisir une substitution.
La présence de l’expression intérieure suffit sans examiner sa dérivée.
On peut poser uu égal à l’expression intérieure de la composition.

Il faut vérifier qu’un facteur constant ou un signe permet de retrouver $$u'$$. · Il faut identifier la fonction principale avant de choisir une substitution. · On peut poser $$u$$ égal à l’expression intérieure de la composition.

Explication

Une primitive composée se reconnaît en identifiant la fonction principale, puis en posant uu égal à son expression intérieure. Il faut ensuite vérifier que u′u' est présent, éventuellement à un facteur constant ou à un signe près.

10. Parmi les primitives de la forme u′unu'u^n, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le facteur u′u' accompagne la puissance de l’expression intérieure.
Pour n≠−1n\neq -1, une primitive de u′unu'u^n est un+1n+1+C\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
La formule de puissance composée exige la condition n≠−1n\neq -1.
Une primitive de u′unu'u^n est unn+C\frac{u^n}{n}+C pour tout exposant non nul.
Lorsque n=−1n=-1, la primitive correspondante suit encore cette formule de puissance.

Le facteur $$u'$$ accompagne la puissance de l’expression intérieure. · Pour $$n\neq -1$$, une primitive de $$u'u^n$$ est $$\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$$. · La formule de puissance composée exige la condition $$n\neq -1$$.

Explication

Pour n≠−1n\neq -1, la primitive de u′unu'u^n est un+1n+1+C\frac{u^{n+1}}{n+1}+C. Le facteur u′u' permet la composition, tandis que le cas n=−1n=-1 est exclu de cette formule et devient logarithmique.

11. Concernant la primitive d’un quotient de la forme u′/uu'/u, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La structure u′/uu'/u conduit à une primitive logarithmique.
La valeur absolue apparaît dans l’expression logarithmique générale.
Une primitive de u′u\frac{u'}{u} est ln⁡∣u∣+C\ln|u|+C.
Une primitive de u′u\frac{u'}{u} est u22+C\frac{u^2}{2}+C.
La primitive de u′/uu'/u suit la règle u′unu'u^n avec n=1n=1.

La structure $$u'/u$$ conduit à une primitive logarithmique. · La valeur absolue apparaît dans l’expression logarithmique générale. · Une primitive de $$\frac{u'}{u}$$ est $$\ln|u|+C$$.

Explication

La relation (ln⁡∣u∣)′=u′/u\left(\ln|u|\right)'=u'/u donne la primitive ln⁡∣u∣+C\ln|u|+C. La valeur absolue accompagne le logarithme, tandis que la règle de puissance composée ne s’applique pas à cette structure logarithmique.

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Comment s'écrit une primitive pour toute fonction usuelle ?

Avec une constante réelle arbitraire ajoutée, soit F(x)+CF(x)+C.

Quelle est la formule de la dérivée de xnx^n avec n≠−1n \neq -1 ?

(xn)′=nxn−1\left(x^n\right)'=nx^{n-1}.

Quelle est la primitive de xnx^n pour n≠−1n \neq -1 ?

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

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