Fiche de révision : Diffusion et phénomènes diffusifs

📋 Plan du Cours

1. Diffusion particulaire et loi de Fick
2. Diffusion thermique et analogies
3. Modèle cinétique de la diffusion
4. Applications et validation du modèle
5. Mouvement brownien
6. Transport et mouvement brownien
7. Équations de diffusion couplées
8. Irréversibilité et échelles diffusives
9. Solutions permanentes
10. Forçage thermique et refroidissement
11. Approches numériques et autosimilaires
12. Marche aléatoire et diffusion
13. Conditions conducto-convectives

📖 1. Diffusion particulaire et loi de Fick

★ À maîtriser

📌 La convection transfère des particules par un mouvement macroscopique de brassage, tandis que la diffusion résulte de l’agitation thermique désordonnée des particules.

• Dans une région riche séparée d’une région pauvre, l’agitation thermique provoque des traversées dans les deux sens, mais le flux net va de la région riche vers la région pauvre.

📐 Formule — Le nombre de particules traversant une surface élémentaire orientée vérifie $\delta^3N=\vec j\cdot\mathrm d^2\vec S\,\mathrm dt$, où $\vec j$ est la densité surfacique de flux particulaire.

📐 Formule — La loi de Fick s’écrit $\vec j=-D\,\operatorname{grad}n$, où $D$ est le coefficient de diffusion et où le signe négatif indique un flux dirigé vers les densités plus faibles.

📐 Formule — La diffusivité a pour dimension $[D]=L^2T^{-1}$ et s’exprime en mètres carrés par seconde.

Compléments

• La loi de Fick est valable comme approximation lorsque les gradients de concentration et les variations temporelles de la densité particulaire ne sont pas trop importants.

• La diffusivité moléculaire varie typiquement de $10^{-6}$ à $10^{-4}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}$ dans un gaz, de $10^{-12}$ à $10^{-8}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}$ dans un liquide et de $10^{-30}$ à $10^{-16}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}$ dans un solide.

💡 Astuce mémo

Convection = brassage macroscopique ; diffusion = agitation microscopique

📖 2. Diffusion thermique et analogies

★ À maîtriser

📌 Les échanges thermiques s’effectuent par convection, diffusion ou rayonnement.

📐 Formule — La loi de Fourier s’écrit $\vec j_{th}=-\lambda\,\operatorname{grad}T$, où $\lambda$ est la conductivité thermique. — Joseph Fourier, 1822

Compléments

📐 Formule — La conductivité thermique a pour dimension $[\lambda]=[P]\,\Theta^{-1}L^{-1}$ et s’exprime en watts par kelvin et par mètre.

• La conductivité thermique est de l’ordre de $10^{-2}\,\mathrm{W\,K^{-1}\,m^{-1}}$ dans les gaz, de $1\,\mathrm{W\,K^{-1}\,m^{-1}}$ dans les liquides et les solides non métalliques, et de $5\cdot10^2\,\mathrm{W\,K^{-1}\,m^{-1}}$ dans les métaux.

📐 Formule — Une inhomogénéité de potentiel électrique produit un flux de charges selon $\vec j=-\gamma\,\operatorname{grad}V=\gamma\vec E$, tandis qu’une inhomogénéité de vitesse produit un flux de quantité de mouvement selon $j=-\eta\frac{\partial v_x}{\partial z}$.

💡 Astuce mémo

CRD : convection, rayonnement, diffusion

📖 3. Modèle cinétique de la diffusion

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le premier modèle, les particules parcourent un libre parcours moyen $\ell^*$ à la vitesse quadratique moyenne $v^*$ pendant une durée $\tau$ telle que $\ell^*=v^*\tau$.

📐 Formule — Le calcul du premier modèle conduit à la diffusivité $D=\frac{\ell^*v^*}{6}$.

📐 Formule — Dans le modèle des sphères dures, le libre parcours moyen est estimé par $\ell^*=\frac{1}{n\sigma}$, avec $\sigma=\pi(R+R_0)^2$.

Compléments

• Le premier modèle limite les directions de déplacement aux six directions des axes, équiprobables avec une probabilité de $1/6$.

• Les améliorations successives remplacent les six directions par une distribution isotrope, puis la vitesse unique par une distribution de vitesses, puis la vitesse de déplacement par une vitesse relative aux particules du milieu.

📐 Formule — Pour une distribution gaussienne des vitesses, la vitesse moyenne du module vérifie $\bar v=\frac{2}{\sqrt{3\pi}}v^*\approx0{,}92v^*$.

💡 Astuce mémo

Six directions → directions isotropes → vitesses distribuées → vitesses relatives

📖 4. Applications et validation du modèle

★ À maîtriser

📐 Formule — Le modèle de la viscosité donne $\eta=\frac{nm\ell^*v^*}{6}=Dnm=D\rho$, où $\rho=nm$ est la masse volumique des particules diffusantes.

📐 Formule — Le modèle de la conduction thermique donne $\lambda=D\,n\frac{\mathrm d\varepsilon}{\mathrm dT}$, et, lorsque $n$ est exprimé en moles par unité de volume, $\frac{\mathrm d\varepsilon}{\mathrm dT}=C_{V,\mathrm{mol}}$.

📐 Formule — Pour un gaz parfait, la densité particulaire vérifie $n=\frac{p}{k_BT}$.

📐 Formule — La vitesse quadratique moyenne de translation vérifie $\frac12mv^{*2}=\frac32k_BT$ pour des particules et $\frac12Mv^{*2}=\frac32RT$ pour des moles.

Compléments

• Dans une phase condensée, la densité particulaire est de l’ordre de $10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}$, tandis qu’un gaz aux conditions ordinaires possède une densité de l’ordre de $10^{25}\,\mathrm{m^{-3}}$.

• Le modèle prévoit pour un gaz une diffusivité variant comme $T^{3/2}p^{-1}$ et de l’ordre de $10^{-5}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}$ dans l’exemple étudié.

• Le modèle prévoit une conductivité thermique et une viscosité de l’ordre de $10^{-3}\,\mathrm{W\,K^{-1}\,m^{-1}}$ et $10^{-5}\,\mathrm{Pl}$ pour les gaz, mais il sous-estime ces grandeurs dans les liquides.

💡 Astuce mémo

Gradient de vitesse ou d’énergie → transport diffusif → viscosité ou conduction

📖 5. Mouvement brownien

★ À maîtriser

• Le mouvement brownien concerne la diffusion de macromolécules qui progressent en obligeant les molécules du milieu à les contourner, selon un mécanisme différent de celui des petites particules diffusantes.

📐 Formule — Dans l’approche d’Einstein, la pression osmotique des macromolécules vérifie $\Pi=RTC=k_BTn$, où $C$ est la concentration molaire et $n$ la densité particulaire. — Albert Einstein, 1905

Compléments

• Robert Brown observe en 1827 le mouvement erratique de grains de pollen en suspension dans l’eau.

💡 Astuce mémo

Particules ordinaires : chocs successifs ; macromolécules : contournement du solvant

📖 6. Transport et mouvement brownien

★ À maîtriser

📐 Formule — La conductivité thermique vérifie $\lambda = D n k_B$ et la viscosité vérifie $\eta = D n m$.

📌 Dans un gaz, le transport est dominé par l’échange de particules à travers une surface imaginaire, tandis que dans un liquide il est dominé par les échanges d’énergie ou de quantité de mouvement entre particules lors des chocs.

📐 Formule — L’équilibre entre la force osmotique et la force de Stokes conduit à la relation d’Einstein $D = \frac{k_B T}{6\pi\eta R}$.

Compléments

• Jean Perrin a mesuré en 1908 le nombre d’Avogadro à partir de l’observation des macromolécules browniennes et a obtenu une valeur compatible avec les autres approches.

💡 Astuce mémo

Gaz : échange de particules ; liquides : échange d’énergie ou de quantité de mouvement

📖 7. Équations de diffusion couplées

★ À maîtriser

📐 Formule — La conservation du nombre de particules et la loi de Fick donnent l’équation de diffusion $\frac{\partial n}{\partial t}=D\Delta n$.

📐 Formule — La conduction thermique dans un solide indéformable vérifie $\mu c\frac{\partial T}{\partial t}=\lambda\Delta T$, soit $\frac{\partial T}{\partial t}=D_{th}\Delta T$ avec $D_{th}=\frac{\lambda}{\mu c}$.

Compléments

📐 Formule — L’équation de Navier-Stokes contient le terme diffusif $\frac{\eta}{\rho}\Delta\vec v$, qui devient dominant pour un fluide très visqueux et des vitesses faibles.

📐 Formule — Dans un conducteur en régime quasi-permanent, le champ magnétique vérifie $\Delta\vec B=\mu_0\gamma\frac{\partial\vec B}{\partial t}$, équation de diffusion associée à l’effet de peau.

💡 Astuce mémo

Particules, chaleur, vitesse, champ magnétique : P-C-V-B

📖 8. Irréversibilité et échelles diffusives

★ À maîtriser

📌 La diffusion est irréversible car le retournement du temps transforme $\partial f/\partial t=D\Delta f$ en $\partial g/\partial t=-D\Delta g$, qui n’est plus l’équation de diffusion.

📐 Formule — Les longueurs et temps caractéristiques de la diffusion sont liés par $L^2=DT$.

Compléments

• Pour une diffusivité du sucre dans l’eau de $D=0{,}5\times10^{-9}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ et une longueur de $L=10\ \mathrm{cm}$, le temps caractéristique est d’environ $T=2\times10^7\ \mathrm{s}$, soit plusieurs mois.

💡 Astuce mémo

Inversion du temps → changement de signe → diffusion irréversible

📖 9. Solutions permanentes

★ À maîtriser

📐 Formule — En régime permanent et en géométrie unidirectionnelle, la température dans un mur vérifie $\frac{\partial^2T}{\partial x^2}=0$ et varie linéairement selon $T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{\ell}x$.

📐 Formule — Le flux thermique et la puissance traversant un mur sont $j_{th}=\lambda\frac{T_1-T_2}{\ell}$ et $P_{th}=\lambda\frac{S}{\ell}(T_1-T_2)$.

📐 Formule — Dans un milieu absorbant, la concentration de neutrons et leur flux décroissent selon $n(x)=n(0)e^{-x/a}$ et $j(x)=j(0)e^{-x/a}$, avec $a=\sqrt{D/k}$.

Compléments

📐 Formule — La conductance et la résistance thermiques d’un mur sont définies par $G_{th}=\frac{\lambda S}{\ell}$ et $R_{th}=\frac{1}{G_{th}}$.

📐 Formule — Dans un mur en régime permanent, la vitesse volumique de création d’entropie vaut $\frac{\lambda}{T^2}\left(\frac{dT}{dx}\right)^2$ et elle est positive.

💡 Astuce mémo

Sans absorption : profil linéaire ; avec absorption : décroissance exponentielle

📖 10. Forçage thermique et refroidissement

★ À maîtriser

📐 Formule — Une température sinusoïdale imposée à la surface d’un milieu semi-infini produit une onde thermique $T(z,t)=T_0+T_1e^{-\kappa z}\cos(\omega t-\kappa z)$ avec $\kappa=\sqrt{\frac{\omega}{2D}}$.

📐 Formule — Pour le refroidissement d’une plaque, la solution exacte est une série de modes cosinus dont chaque mode décroît comme $\exp\left[-\frac{(2q+1)^2\pi^2Dt}{4a^2}\right]$.

Compléments

📐 Formule — Après un temps supérieur à $\tau=\frac{4a^2}{\pi^2D}$, le refroidissement de la plaque est approximativement décrit par le premier mode, et l’équilibre est atteint au-delà de $t=7\tau$.

💡 Astuce mémo

Forçage périodique → onde thermique amortie ; plaque → modes exponentiellement décroissants

📖 11. Approches numériques et autosimilaires

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le modèle discret en tranches, une tranche intérieure vérifie $N_i[(n+1)\tau]=\frac16N_{i-1}(n\tau)+\frac46N_i(n\tau)+\frac16N_{i+1}(n\tau)$.

📐 Formule — Les solutions autosimilaires de l’équation de diffusion peuvent s’écrire $n(x,t)=A\,\operatorname{erf}\left(\frac{x-x_0}{\sqrt{D(t-t_0)}}\right)+y_0$.

Compléments

• La matrice de transition du modèle discret est stochastique car la somme des coefficients de chaque ligne vaut un.

💡 Astuce mémo

Matrice stochastique discrète et fonction d’erreur continue décrivent le même étalement

📖 12. Marche aléatoire et diffusion

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une marche aléatoire de n pas équiprobables, la probabilité d’obtenir p pas à droite et n-p pas à gauche suit la loi binomiale $P_n^p=\binom{n}{p}\left(\frac12\right)^n=\frac{n!}{2^n p!(n-p)!}$.

📐 Formule — Le passage continu de la marche aléatoire donne l’équation de diffusion $\frac{\partial\Pi}{\partial t}=\frac{\ell^2}{2\tau}\frac{\partial^2\Pi}{\partial x^2}$, donc $D=\frac{\ell^2}{2\tau}$.

Compléments

📐 Formule — À grande échelle, la loi binomiale tend vers un profil gaussien $\Pi(m,q)\sim\frac{1}{\pi\sqrt{2m}}\exp\left(-\frac{q^2}{2m}\right)$.

💡 Astuce mémo

Pas équiprobables → loi binomiale → profil gaussien → équation de diffusion

📖 13. Conditions conducto-convectives

🔑 Notions clés & Définitions

• Condition conducto-convective : Relation de flux $j=h(T_s-T_f)$ qui remplace la couche limite fluide, où h est une donnée expérimentale.

📝 Points essentiels

📐 Formule — À l’interface solide-fluide, la conservation de l’énergie impose la continuité des densités de flux $j_s(0^-)=j_f(0^+)$, soit $\lambda_s\left.\frac{dT_s}{dz}\right|_{0^-}=\lambda_f\left.\frac{dT_f}{dz}\right|_{0^+}$.

💡 Astuce mémo

Interface idéale : température continue ; couche limite : flux continu

📊 Tableaux de synthèse

Analogies entre phénomènes diffusifs

Diffusion selon le phénomène