Fiche de révision : Distances et normes équivalentes

📋 Plan du Cours

1. Distances dans un espace normé
2. Distance à une partie
3. Distance entre deux parties
4. Équivalence des normes

📖 1. Distances dans un espace normé

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout x,y ∈ E, la formule $d(x,y)=N(x-y)$ définit une distance sur l’espace normé E.

💡 Astuce mémo

La norme de la différence construit la distance : norme → distance

📖 2. Distance à une partie

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance d’un vecteur à une partie : Définie par $\delta(x,B)=\inf\{\|x-b\|:b\in B\}$.

💡 Astuce mémo

Un point cherche le représentant le plus proche dans la partie

📖 3. Distance entre deux parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux parties : Définie par $\Delta(B_1,B_2)=\inf\{\|b_1-b_2\|:(b_1,b_2)\in B_1\times B_2\}$.

💡 Astuce mémo

Deux parties rapprochent leurs deux points les plus proches

📖 4. Équivalence des normes

🔑 Notions clés & Définitions

• Normes équivalentes : Deux normes N et N′ sur E sont équivalentes s’il existe α,β>0 tels que, pour tout x∈E, $\alpha N(x)\leq N'(x)\leq\beta N(x)$.

★ À maîtriser

📌 Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Compléments

• L’équivalence des normes est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes.

📌 Les normes N₁ et N∞ ne sont pas équivalentes dans C⁰([0,1],K), comme le montre la famille de fonctions t↦tⁿ, tandis qu’elles sont équivalentes dans Kⁿ[X], comme le montre la famille Pₙ=∑ᵢ₌₀ⁿXⁱ.

💡 Astuce mémo

Dimension finie : toutes les normes sont équivalentes ; dimension infinie : elles peuvent ne pas l’être

📊 Tableaux de synthèse

Équivalence selon l’espace