QCM : Distances et normes équivalentes (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la distance dans un espace normé, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La distance s’exprime par la norme du vecteur somme x+yx+y.
La distance entre x et y est donnée par N(x)−N(y)N(x)-N(y).
Pour tous x,y appartenant à E, la distance s’écrit d(x,y)=N(x−y)d(x,y)=N(x-y).
La norme est appliquée au vecteur obtenu en soustrayant y de x.
La formule de distance utilise la norme appliquée au couple ordonné (x,y)(x,y).

Pour tous x,y appartenant à E, la distance s’écrit $$d(x,y)=N(x-y)$$. · La norme est appliquée au vecteur obtenu en soustrayant y de x.

Explication

La distance est définie par d(x,y)=N(x−y)d(x,y)=N(x-y), et la norme porte donc sur le vecteur différence. Elle ne s’applique ni au couple (x,y)(x,y), ni à la somme x+yx+y, ni à la différence des deux normes.

2. Concernant la distance d’un vecteur x à une partie non vide B, quelles sont les réponses exactes au sujet de sa définition ?

La distance à B est notée δ(B,x)\delta(B,x) et porte sur deux parties.
La distance à B est calculée comme le minimum atteint par un élément de B.
La formule utilise la norme de la somme x+bx+b pour b appartenant à B.
L’infimum porte sur les valeurs ∥x−b∥\|x-b\| lorsque b parcourt B.
La définition compare x à chaque élément b appartenant à B.

L’infimum porte sur les valeurs $$\|x-b\|$$ lorsque b parcourt B. · La définition compare x à chaque élément b appartenant à B.

Explication

La définition examine les quantités ∥x−b∥\|x-b\| pour chaque b de B et en prend l’infimum. Elle concerne x et une partie, ne garantit pas que l’infimum soit atteint, et n’utilise pas la somme x+bx+b.

3. À propos de la distance d’un vecteur à une partie non vide B :

La définition utilise le supremum des normes ∥x−b∥\|x-b\| pour b appartenant à B.
Elle se note δ(x,B)=inf⁡{∥x−b∥:b∈B}\delta(x,B)=\inf\{\|x-b\|:b\in B\}.
La distance à B se définit à partir de deux parties non vides distinctes.
La distance de x à B est définie pour un vecteur x et une partie non vide B.
La quantité considérée est l’infimum des distances de x aux éléments b de B.

Elle se note $$\delta(x,B)=\inf\{\|x-b\|:b\in B\}$$. · La distance de x à B est définie pour un vecteur x et une partie non vide B. · La quantité considérée est l’infimum des distances de x aux éléments b de B.

Explication

La distance à B concerne un vecteur x et une partie non vide B, selon δ(x,B)=inf⁡{∥x−b∥:b∈B}\delta(x,B)=\inf\{\|x-b\|:b\in B\}. Il s’agit donc d’un infimum sur les éléments de B, et non d’un supremum ni d’une distance entre deux parties.

4. Parmi les propositions suivantes concernant la formule de distance dans un espace normé, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La distance est obtenue en calculant N(x/y)N(x/y) lorsque y est non nul.
La formule d(x,y)=N(x+y)d(x,y)=N(x+y) définit la distance associée à la norme de E.
La formule d(x,y)=N(x−y)d(x,y)=N(x-y) définit une distance sur l’espace normé E.
La norme intervenant dans la formule porte sur les deux vecteurs séparément.
Le terme N(x−y)N(x-y) correspond à la norme d’un vecteur de E.

La formule $$d(x,y)=N(x-y)$$ définit une distance sur l’espace normé E. · Le terme $$N(x-y)$$ correspond à la norme d’un vecteur de E.

Explication

Pour tous x,y de E, d(x,y)=N(x−y)d(x,y)=N(x-y) définit une distance, et x−yx-y est un vecteur auquel la norme peut s’appliquer. La somme, le quotient ou l’évaluation séparée des normes ne correspondent pas à cette définition.

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Mémorisez les réponses avec 3 flashcards sur Distances et normes équivalentes.

Quelle formule définit une distance sur un espace normé E ?

d(x,y)=N(x−y)d(x,y)=N(x-y)

Sur quel ensemble la formule d(x,y)=N(x−y)d(x,y)=N(x-y) définit-elle une distance ?

Sur l'espace normé E.

Comment se définit la distance d'un vecteur x à une partie B non vide ?

Par δ(x,B)=inf⁡{∥x−b∥:b∈B}\delta(x,B)=\inf\{\|x-b\|:b\in B\}.

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