Fiche de révision : Distribution discrète et fonctions de répartition

📋 Plan du Cours

1. Distribution discrète en statistiques
2. Lois de probabilités discrètes
3. Fonction de répartition cumulée
4. Moyenne et espérance mathématique
5. Variance et écart-type
6. Loi normale et densité
7. Théorème central limite
8. Estimation par intervalle de confiance
9. Test d’hypothèse et p-value
10. Test de conformité et de comparaison
11. Test du χ² de contingence
12. Test d’égalité de deux moyennes

📖 1. Distribution discrète en statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution discrète : Une distribution qui associe chaque valeur possible d’une variable aléatoire à une fréquence d’observation ou une probabilité, représentant la répartition des résultats dans un échantillon ou une population. Elle peut être illustrée par un tableau ou un graphique des fréquences relatives.
• Distribution empirique : Représentation graphique ou tabulaire des fréquences relatives observées dans un échantillon, permettant de visualiser la répartition des valeurs d’une variable aléatoire. Elle tend à converger vers la distribution théorique avec l’augmentation du nombre d’observations.
• Convergence de la distribution empirique : Phénomène selon lequel, en augmentant le nombre d’observations, la distribution empirique se rapproche de la distribution théorique décrivant le phénomène étudié, conformément à la loi des grands nombres.
• Exemple de distribution discrète : Lancer de dé équilibré, où chaque face a une probabilité égale de 1/6 d’apparaître, illustrant une distribution discrète uniforme.
• Loi de probabilités discrètes : Fonction qui associe à chaque valeur possible d’une variable aléatoire discrète sa probabilité d’occurrence, respectant la condition que la somme de toutes ces probabilités est égale à 1.
• Fonction de répartition (F(x)) : Fonction qui donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x, soit F(x) = P(X ≤ x), permettant de représenter graphiquement la distribution cumulée.

📝 Points essentiels

• La distribution discrète relie chaque valeur d’une variable aléatoire à une fréquence ou une probabilité, souvent représentée sous forme de tableau ou de graphique.
• La distribution empirique est une approximation des fréquences observées dans un échantillon, qui tend à converger vers la distribution théorique à mesure que le nombre d’observations augmente, conformément à ****(voir section 3)**.
• La loi des grands nombres stipule que, dans le cas d’un lancer de dé équilibré, les fréquences relatives observées tendent vers la probabilité théorique de 1/6 pour chaque face.
• La fonction de répartition F(x) permet de calculer la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur inférieure ou égale à x, et peut être représentée graphiquement.
• La somme des probabilités P(X=xi) pour toutes les valeurs xi possibles doit être égale à 1, garantissant la cohérence de la distribution discrète.
• La convergence de la distribution empirique vers la distribution théorique est un principe fondamental pour l’inférence statistique en distribution discrète.

💡 À retenir

La distribution discrète relie chaque valeur d’une variable aléatoire à une probabilité ou fréquence, et la distribution empirique tend à converger vers la distribution théorique avec l’augmentation du nombre d’observations, conformément à la loi des grands nombres.

📖 2. Lois de probabilités discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité discrète : Fonction qui associe à chaque valeur possible d’une variable aléatoire discrète sa probabilité d’occurrence, notée P(X = x). Elle doit satisfaire la condition que la somme de toutes ces probabilités est égale à 1, c’est-à-dire ∑ P(X = xi) = 1, où xi sont les valeurs possibles de X.

• Loi des grands nombres (voir section 1.1) : Théorème stipulant que, lorsque le nombre d’observations augmente, la fréquence relative d’un événement observé converge vers la probabilité théorique de cet événement. En d’autres termes, la fréquence observée tend vers la probabilité réelle P(X = x) pour un grand nombre de répétitions.

• Exemple de loi discrète : loi uniforme sur les faces d’un dé : Loi où chaque valeur possible (1, 2, 3, 4, 5, 6) a la même probabilité d’occurrence, soit P(X = x) = 1/6. La distribution est représentée graphiquement par une fonction de probabilité constante pour chaque face.

• Fonction de répartition (F(x)) : Fonction définie par F(x) = P(X ≤ x), qui donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x. Elle peut être représentée graphiquement et permet de calculer des probabilités cumulées pour une variable discrète.

• Distribution empirique : Représentation graphique ou tabulaire des fréquences relatives observées lors d’expériences, qui, selon la loi des grands nombres, converge vers la loi de probabilité théorique lorsque le nombre d’observations tend vers l’infini.

📝 Points essentiels

• La loi de probabilité discrète associe à chaque valeur x d’une variable aléatoire X la probabilité P(X = x). Elle doit respecter la condition que la somme de toutes ces probabilités est égale à 1, soit ∑ P(X = xi) = 1.

• La distribution empirique, construite à partir de données observées, tend à converger vers la loi de probabilité théorique à mesure que le nombre d’observations augmente, conformément à la loi des grands nombres.

• La fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x) permet de calculer la probabilité qu’une variable discrète prenne une valeur inférieure ou égale à x, et peut être représentée graphiquement pour visualiser la distribution.

• Lorsqu’on connaît la loi de probabilité, il est possible de représenter la distribution sous forme de tableau ou graphique, où chaque valeur xi est associée à sa probabilité P(X = xi).

• La somme des probabilités pour toutes les valeurs possibles est toujours égale à 1, ce qui garantit la cohérence de la loi.

💡 À retenir

La loi de probabilité discrète relie chaque valeur d’une variable aléatoire à sa probabilité d’occurrence, et la loi des grands nombres assure que, avec un grand nombre d’observations, la fréquence observée converge vers cette loi.

📖 3. Fonction de répartition cumulée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition cumulée (F(x)) : PERRON (date) : fonction qui donne la probabilité qu’une variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x, soit F(x) = P(X ≤ x).
• Représentation graphique : La fonction de répartition peut être représentée par un graphique en escalier pour variables discrètes, où chaque saut correspond à une probabilité associée à une valeur spécifique.
• Propriétés de F(x) : La fonction est monotone croissante, bornée entre 0 et 1, avec limite 0 en -∞ et limite 1 en +∞.
• Utilisation pour calculer des probabilités : La fonction de répartition permet de déterminer la probabilité qu’une variable aléatoire prenne une valeur dans un intervalle, en utilisant la différence entre deux valeurs de F(x).
• Représentation graphique pour variables discrètes : La fonction de répartition se présente sous forme d’un graphique en escalier, où chaque étape correspond à la probabilité cumulée jusqu’à cette valeur.

📝 Points essentiels

• La fonction de répartition F(x) est définie par F(x) = P(X ≤ x). Elle permet de connaître la probabilité qu’une variable aléatoire X soit inférieure ou égale à une valeur donnée x.
• Pour une variable discrète, F(x) se construit en sommant les probabilités P(X = xi) pour toutes les valeurs xi ≤ x, ce qui se traduit graphiquement par un graphique en escalier.
• La propriété de monotonie croissante de F(x) assure que si x1 ≤ x2, alors F(x1) ≤ F(x2).
• La limite en -∞ de F(x) est 0, et en +∞ elle est 1, ce qui reflète la distribution totale de la variable.
• La fonction de répartition est un outil fondamental pour calculer des probabilités cumulées, par exemple, P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a).
• La représentation graphique de F(x) pour variables discrètes montre une série de sauts, chaque saut correspondant à la probabilité P(X=xi).

💡 À retenir

La fonction de répartition cumulée F(x) est une représentation graphique et analytique essentielle qui permet de connaître la probabilité qu’une variable aléatoire prenne une valeur inférieure ou égale à x, facilitant ainsi le calcul des probabilités dans tout intervalle.

📖 4. Moyenne et espérance mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne empirique : La moyenne empirique est la somme des valeurs observées pondérée par leurs fréquences relatives dans un échantillon. Elle permet d’estimer la moyenne d’une population à partir des données recueillies.
  Exemple : Si dans un échantillon, la valeur x₁ apparaît n₁ fois, la moyenne empirique est $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i \times x_i$.

• Espérance mathématique E(X) : La moyenne théorique d’une variable aléatoire, correspondant à la valeur moyenne attendue si l’expérience était répétée un grand nombre de fois.
  (PERROUX, date inconnue) : « L’espérance mathématique E(X) d’une loi de probabilités discrète est la somme de chaque valeur possible multipliée par sa probabilité. »
  Formule : $E(X) = \sum_{i} P(X = x_i) \times x_i$.

• Calcul de l’espérance pour une loi de probabilité discrète : L’espérance d’une variable aléatoire discrète se calcule en faisant la somme de chaque valeur possible, pondérée par sa probabilité.
  Exemple : Pour un dé équilibré à 6 faces, $E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5$.

• Interprétation de l’espérance comme moyenne sur un grand nombre de répétitions : L’espérance représente la moyenne théorique que l’on obtiendrait si l’expérience était répétée un nombre infini de fois, illustrant la loi des grands nombres.

📝 Points essentiels

• La moyenne empirique permet d’estimer la moyenne d’une population à partir d’un échantillon en utilisant la formule $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i \times x_i$, où $n_i$ est la fréquence de chaque valeur $x_i$.
• L’espérance mathématique $E(X)$ est la moyenne théorique d’une variable aléatoire, calculée par la somme des valeurs possibles pondérées par leurs probabilités : $E(X) = \sum P(X = x_i) \times x_i$.
• Dans le cas d’une loi discrète, cette somme peut être approximée par la moyenne pondérée des valeurs observées dans un grand nombre de répétitions, ce qui justifie son interprétation comme moyenne théorique.
• La convergence de la fréquence empirique vers la probabilité théorique, selon la loi des grands nombres (voir section 2), garantit que la moyenne empirique devient une bonne approximation de l’espérance pour un grand échantillon.

💡 À retenir

L’espérance mathématique est la moyenne théorique d’une variable aléatoire, calculée comme la somme pondérée de ses valeurs possibles par leurs probabilités, et elle représente la moyenne attendue si l’expérience était répétée à l’infini.

📖 5. Variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance empirique : La moyenne des carrés des écarts à la moyenne dans un échantillon. Elle mesure la dispersion des données observées autour de la moyenne.
• Variance mathématique V(X) : L’espérance du carré de l’écart à l’espérance, c’est-à-dire $V(X) = E[(X - E(X))^2]$. Elle quantifie la dispersion théorique d’une variable aléatoire.
• Formule de la variance pour une loi discrète : $V(X) = \sum_{i} P(X=xi) \times (xi - E(X))^2$. Elle calcule la variance en utilisant la probabilité de chaque valeur possible.
• Écart-type : La racine carrée de la variance, qui donne une mesure de dispersion dans la même unité que la variable.

📝 Points essentiels

• La variance empirique est calculée en faisant la moyenne des carrés des écarts à la moyenne dans un échantillon, permettant d’estimer la dispersion des observations.
• La variance mathématique $V(X)$ est définie comme l’espérance du carré de l’écart à l’espérance, ce qui représente la dispersion théorique d’une variable aléatoire.
• La formule de la variance pour une loi discrète $V(X) = \sum_{i} P(X=xi) \times (xi - E(X))^2$ permet de calculer la variance à partir des probabilités et des valeurs possibles.
• L’écart-type est la racine carrée de la variance, facilitant l’interprétation de la dispersion dans l’unité de la variable.
• Ces notions sont fondamentales pour analyser la dispersion des données ou des variables aléatoires, en distinguant la dispersion empirique (échantillon) de la dispersion théorique (loi).

💡 À retenir

La variance et l’écart-type sont des mesures essentielles de dispersion, permettant d’évaluer la variabilité des données ou des variables aléatoires, avec la variance correspondant à la moyenne des carrés des écarts et l’écart-type étant sa racine carrée.

📖 6. Loi normale et densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (Gauss-Laplace) : loi continue de référence en statistiques, caractérisée par sa courbe en cloche, symétrique par rapport à sa moyenne μ, décrite par sa fonction de densité. Elle apparaît comme limite de nombreuses lois discrètes lorsque la taille d’échantillon devient grande, notamment via le théorème central limite (Gauss (1809)).
• Densité de probabilité : fonction f(x) qui donne la probabilité dans un intervalle pour une variable continue, telle que la probabilité d’observer une valeur dans un intervalle [a, b] est donnée par l’intégrale de f(x) entre a et b. La densité ne donne pas directement la probabilité ponctuelle (nulles pour une variable continue), mais la probabilité sur un intervalle.
• Problème des probabilités ponctuelles nulles : pour une variable continue, la probabilité d’obtenir une valeur précise x est nulle, car l’intégrale de la densité en un point est nulle. La probabilité s’obtient uniquement sur des intervalles via l’intégrale de la densité.
• Fonction de répartition (F(x)) : fonction définie par F(x) = P(X ≤ x), qui donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x. Elle est reliée à la densité par une intégrale : F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. La fonction de répartition permet de calculer les probabilités pour des intervalles.
• Distribution normale centrée-réduite : loi normale de moyenne 0 et d’écart-type 1, notée N(0,1). Elle est obtenue par standardisation d’une loi normale N(μ, σ²) via la transformation Z = (X - μ)/σ, permettant d’utiliser des tables ou logiciels pour calculer les probabilités.

📝 Points essentiels

• La loi normale est la loi de référence en statistiques, notamment parce que de nombreux phénomènes naturels suivent approximativement cette distribution (Gauss (1809)). Sa fonction de densité est donnée par :
  $f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$
  où μ est la moyenne et σ² la variance.
• La courbe en cloche est symétrique par rapport à μ, avec 50% de la surface sous la courbe à gauche et 50% à droite. La valeur μ correspond à la valeur la plus fréquente (mode) et à la moyenne.
• La fonction de répartition F(x) est obtenue par intégrale de la densité :
  $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$
  Elle permet de calculer la probabilité qu’une variable X soit inférieure ou égale à x. Par exemple, P(X ≤ x) = F(x).
• La standardisation permet de transformer une variable normale N(μ, σ²) en une variable centrée-réduite N(0,1) :
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
  facilitant l’utilisation des tables de la loi normale standard pour calculer des probabilités.
• La loi normale apparaît comme limite de la somme de variables indépendantes et identiquement distribuées (théorème central limite), justifiant son importance en statistique inférentielle.

💡 À retenir

La loi normale, grâce à sa fonction de densité en forme de cloche symétrique, sert de modèle de référence pour de nombreux phénomènes, et sa compréhension repose sur l’intégrale de la densité pour calculer les probabilités sur des intervalles. La standardisation permet d’utiliser facilement ses propriétés via la loi normale centrée-réduite.

📖 7. Théorème central limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème central limite (TCL) : AUTEUR (date) : "L’addition de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées forme une nouvelle variable aléatoire distribuée selon une loi normale lorsque n devient grand." Il indique que la somme ou la moyenne d’un grand nombre de variables aléatoires i.i.d. tend vers une loi normale, indépendamment de la distribution initiale.

• Convergence de la loi binomiale vers la loi normale : AUTEUR (date) : "Lorsque n devient très grand, la loi binomiale B(n, p) converge vers une loi normale de paramètres np et p(1−p)." Elle justifie l’utilisation de la loi normale pour approximer la binomiale en grand n.

• Conditions d’application du TCL : La convergence vers la loi normale s'applique lorsque le nombre de variables indépendantes est suffisamment grand (généralement n > 30), et que les variables sont i.i.d. avec une variance finie. La distribution initiale doit être discrète ou continue, mais la majorité des lois convergent vers une normale centrée réduite après normalisation.

• Importance en inférence statistique : Le TCL permet de justifier l’usage de la loi normale pour effectuer des estimations et des tests statistiques sur des échantillons de grande taille, en assurant que la distribution de la moyenne d’échantillon est approximativement normale.

• Densité de probabilité (pour lois continues) : La fonction de densité f(x) d’une loi normale N(μ, σ²) est donnée par :
  $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$
  Elle décrit la fréquence relative des valeurs autour de la moyenne.

📝 Points essentiels

• Le TCL est une pierre angulaire en statistiques, permettant de faire des inférences sur la population à partir d’échantillons, même lorsque la distribution initiale est inconnue ou non normale, dès lors que n est suffisamment grand.

• La convergence de la loi binomiale vers la loi normale est une illustration concrète du TCL, notamment pour des variables discrètes comme le nombre de succès dans un grand nombre d’essais.

• La normalisation (centrage et réduction) d’une variable aléatoire X suivant une loi normale N(μ, σ²) est donnée par :
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
  où Z suit une loi normale centrée réduite N(0,1).

• La fonction de densité de la loi normale permet de calculer facilement les probabilités associées à des intervalles, en utilisant des tables ou logiciels statistiques.

• La limite en n→∞ de la distribution de la somme ou moyenne d’échantillons permet d’utiliser la loi normale pour approximer des probabilités, facilitant ainsi les calculs en pratique.

💡 À retenir

Le théorème central limite garantit que, pour un grand nombre de variables indépendantes et identiquement distribuées, la distribution de leur somme ou moyenne tend vers une loi normale, justifiant l’usage de cette loi en inférence statistique dès que n est suffisant.

📖 8. Estimation par intervalle de confiance

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance : Estimation probabiliste d’un paramètre de la population, représentée par un intervalle dans lequel la vraie valeur du paramètre se trouve avec une probabilité donnée (par exemple 95%). Selon PERROUX (date), cet intervalle contient la vraie valeur du paramètre avec une certaine probabilité, ce qui permet d’évaluer la précision de l’estimation.

• Calcul d’un intervalle de confiance : Procédé permettant de déterminer, à partir d’un échantillon, un intervalle autour de l’estimateur ponctuel (moyenne ou autre) dans lequel la vraie valeur du paramètre est susceptible de se situer. Il repose sur la loi normale ou la loi t de Student selon la taille de l’échantillon et la connaissance ou non de la variance (voir loi normale ou t de Student).

• Interprétation probabiliste : La probabilité associée à un intervalle de confiance (ex : 95%) indique la fréquence avec laquelle, si l’on répète l’échantillonnage, cet intervalle contiendra la vraie valeur du paramètre. PERROUX (date) précise que cet aspect est une interprétation probabiliste, non une certitude pour un seul intervalle.

• Utilisation de la loi normale ou t de Student : La loi normale est utilisée lorsque la variance de la population est connue ou lorsque la taille de l’échantillon est grande (n > 30). La loi t de Student est privilégiée lorsque la variance est inconnue et que la taille de l’échantillon est petite (n < 30). La sélection dépend donc du contexte de l’estimation.

📝 Points essentiels

• La construction de l’intervalle de confiance repose sur l’estimateur ponctuel (ex : moyenne) et la distribution de l’échantillon (loi normale ou t de Student). La formule générale pour la moyenne est :
  $\left[\bar{x} - t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}, \quad \bar{x} + t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}\right]$ où $\bar{x}$ est la moyenne de l’échantillon, $s$ l’écart-type de l’échantillon, $n$ la taille de l’échantillon, et $t_{\alpha/2, n-1}$ la valeur critique de la loi t de Student pour un niveau de confiance $\alpha$.

• La largeur de l’intervalle dépend de la variabilité de l’échantillon (écart-type ou variance), de la taille de l’échantillon, et du niveau de confiance choisi. Plus la taille de l’échantillon est grande, plus l’intervalle est précis.

• La formule pour une variable suivant une loi normale (variance connue) est similaire, en remplaçant la valeur critique par $z_{\alpha/2}$ de la loi normale centrée réduite.

• La limite inférieure et supérieure de l’intervalle donnent une estimation de la plage dans laquelle la vraie valeur du paramètre se trouve avec la probabilité fixée (ex : 95%).

• La notion d’intervalle de confiance est fondamentale en inférence statistique, car elle permet d’évaluer la précision d’une estimation ponctuelle et de faire des conclusions probabilistes sur la population.

💡 À retenir

L’intervalle de confiance est une estimation probabiliste qui indique, avec un certain niveau de confiance, la plage probable contenant la vraie valeur du paramètre de la population, en se basant sur un échantillon et la loi statistique appropriée.

📖 9. Test d’hypothèse et p-value

🔑 Notions clés & Définitions

• Test d’hypothèse : procédure statistique permettant de décider, à partir d’un échantillon, si une hypothèse nulle (H0) doit être rejetée ou non en faveur d’une hypothèse alternative (H1). La décision repose sur la comparaison d’une statistique de test à une valeur critique ou sur la p-value (voir ci-dessous).

• p-value : probabilité d’observer une statistique de test aussi extrême ou plus extrême que celle calculée à partir de l’échantillon, sous l’hypothèse nulle (H0). Selon PERROUX (date), la p-value permet d’évaluer la compatibilité des données avec H0.

• Interprétation de la p-value : si la p-value est inférieure au niveau de signification (α), on rejette H0, sinon on ne peut pas rejeter H0. La p-value fournit une mesure continue de la preuve contre H0.

• Niveau de signification (α) : seuil fixé à l’avance (souvent 5%) pour décider du rejet de H0. Si la p-value est inférieure à α, on rejette H0, ce qui correspond à une erreur de type I contrôlée par α.

• Erreur de type I : rejet incorrect de l’hypothèse nulle alors qu’elle est vraie. La probabilité de commettre cette erreur est contrôlée par le niveau de signification α.

📝 Points essentiels

• Le test d’hypothèse repose sur la formulation d’une hypothèse nulle (H0) et d’une hypothèse alternative (H1). La procédure consiste à calculer une statistique de test à partir de l’échantillon, puis à déterminer la p-value associée.

• La p-value indique la compatibilité des données avec H0. Une petite p-value (inférieure à α) suggère que les résultats observés sont peu probables si H0 est vraie, conduisant au rejet de H0.

• La décision de rejeter ou non H0 ne repose pas uniquement sur la p-value, mais aussi sur le niveau de signification choisi. La p-value est une mesure continue, contrairement à une décision binaire.

• La erreur de type I est la conséquence de rejeter H0 alors qu’elle est vraie. La probabilité de cette erreur est contrôlée par α, qui doit être fixé avant l’analyse.

• La procédure est souvent illustrée par un diagramme de décision : si p-value < α, on rejette H0 ; sinon, on ne peut pas rejeter H0.

💡 À retenir

Le test d’hypothèse permet de prendre une décision statistique en utilisant la p-value, qui quantifie la compatibilité des données avec l’hypothèse nulle, tout en contrôlant le risque d’erreur de type I via le niveau de signification α.

📖 10. Test de conformité et de comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de conformité : procédure statistique permettant de vérifier si un échantillon suit une loi de probabilité spécifique. Par exemple, le test du χ² d’ajustement compare la distribution observée avec la distribution théorique attendue.

• Test de comparaison : méthode statistique utilisée pour comparer deux échantillons ou deux distributions afin de déterminer s’ils proviennent de la même population ou si leurs différences sont significatives. Par exemple, le test de Kolmogorov-Smirnov compare deux distributions empiriques.

• Utilisation de statistiques de test adaptées : choix d’un test spécifique en fonction du type de données (quantitatives ou qualitatives) et de la nature de la question (conformité ou comparaison). Par exemple, le test du χ² pour variables qualitatives, le test de Kolmogorov-Smirnov pour distributions continues.

📝 Points essentiels

• Le test du χ² d’ajustement compare la distribution observée à une distribution théorique en utilisant la statistique χ², en vérifiant si la différence est significative ou non, sous l’hypothèse que l’échantillon suit la loi spécifiée.

• Le test de Kolmogorov-Smirnov est une méthode non paramétrique permettant de comparer deux distributions empiriques ou une distribution empirique à une distribution théorique continue, en utilisant la distance maximale entre leurs fonctions de répartition.

• La conformité est vérifiée en comparant la statistique de test à une loi de référence (par exemple, loi χ² ou loi de Kolmogorov-Smirnov), et en jugeant si la différence observée est compatible avec une erreur de type I fixée (niveau de signification).

• La comparaison de deux échantillons ou distributions repose sur des tests spécifiques, qui évaluent la probabilité que ces échantillons proviennent de la même population ou que leurs différences soient dues au hasard.

• La sélection du test dépend du type de données (discrètes ou continues), de la taille des échantillons, et de la question posée (ajustement ou différence).

💡 À retenir

Les tests de conformité et de comparaison permettent d’évaluer la compatibilité d’un échantillon avec une loi ou la différence entre deux distributions, en utilisant des statistiques adaptées et en se basant sur la loi de référence pour décider de la validité ou non de l’hypothèse nulle.

📖 11. Test du χ² de contingence

🔑 Notions clés & Définitions

• Test du χ² de contingence : procédure statistique permettant de vérifier si deux variables qualitatives sont indépendantes ou associées, en comparant la distribution observée dans un tableau de contingence à une distribution attendue sous l’hypothèse d’indépendance.
• Construction du tableau de contingence : représentation tabulaire des fréquences observées pour chaque combinaison de modalités de deux variables qualitatives, permettant d’organiser les données pour le test du χ².
• Calcul de la statistique χ² : formule qui mesure la divergence entre les fréquences observées et celles attendues sous l’hypothèse d’indépendance, donnée par χ² = Σ [(Oᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ], où Oᵢ sont les fréquences observées et Eᵢ les fréquences attendues.
• Comparaison à la loi χ² : étape où la valeur calculée de χ² est comparée à la valeur critique de la loi χ² avec les degrés de liberté appropriés, pour déterminer si l’hypothèse d’indépendance peut être rejetée ou non.
• Interprétation du résultat : conclusion sur la relation entre les variables, en fonction du p-value ou de la valeur critique, permettant d’affirmer une association ou une indépendance statistique.

📝 Points essentiels

• Le test du χ² de contingence repose sur la comparaison entre fréquences observées et attendues dans un tableau de contingence, construit à partir des marges des variables.
• La statistique χ² est calculée par la formule : χ² = Σ [(Oᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ], où chaque terme représente la contribution d’une cellule du tableau à la divergence totale.
• La loi du χ² (de Pearson) permet d’obtenir la valeur critique en fonction du niveau de signification choisi (par exemple 5%) et des degrés de liberté, généralement (nombre de lignes - 1) × (nombre de colonnes - 1).
• La p-value associée à χ² indique la probabilité d’observer une divergence aussi grande ou plus grande que celle calculée, sous l’hypothèse d’indépendance.
• La conclusion du test dépend du seuil de signification : si p < α, on rejette H₀ (indépendance), sinon on ne peut pas rejeter H₀.
• La validité du test suppose que les fréquences attendues sont suffisamment grandes (généralement ≥ 5) pour que la loi χ² soit applicable.

💡 À retenir

Le test du χ² de contingence permet d’évaluer l’indépendance entre deux variables qualitatives en comparant les fréquences observées à celles attendues sous l’hypothèse d’indépendance, via une statistique χ² et la loi du même nom.

📖 12. Test d’égalité de deux moyennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Test d’égalité de deux moyennes : procédure statistique permettant de comparer les moyennes de deux échantillons afin de déterminer si elles proviennent d’une même population ou de populations différentes. Il s’appuie sur la comparaison de deux estimations de la moyenne, en tenant compte de leur variabilité (voir aussi "Test t de Student" pour échantillons indépendants ou appariés).

• Test t de Student (date non précisée dans la source) : test statistique utilisé pour évaluer si la différence entre deux moyennes d’échantillons est significative, en particulier lorsque la taille des échantillons est petite. Il repose sur la distribution t de Student, qui dépend des degrés de liberté (ddl).

• Hypothèses du test :

  • H0 (hypothèse nulle) : les deux moyennes sont égales (μ1 = μ2).
  • H1 (hypothèse alternative) : les deux moyennes sont différentes (μ1 ≠ μ2). Ces hypothèses peuvent être unilatérales ou bilatérales selon le contexte.

• Conditions d’application :

  • Les échantillons doivent être indépendants ou appariés selon le type de test.
  • La distribution des échantillons doit suivre une loi normale ou la taille doit être suffisamment grande pour appliquer le théorème central limite (voir "Théorème central limite").
  • La variance des deux populations peut être supposée égale (test de Student classique) ou différente (test de Welch).

• Interprétation du résultat :

  • Calcul du p-value : probabilité d’observer une différence aussi extrême ou plus si H0 est vraie.
  • Si p-value < niveau de signification (ex : 0,05), on rejette H0, concluant à une différence significative entre les moyennes.
  • Sinon, on ne rejette pas H0, indiquant une absence de preuve suffisante pour affirmer une différence.

📝 Points essentiels

• Le test t de Student compare la différence entre deux moyennes en la rapportant à la variabilité des échantillons, via la statistique t.
• La statistique t se calcule selon la formule :
  $t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$ où $\bar{x}_i$ est la moyenne de l’échantillon, $s_i^2$ la variance, et $n_i$ la taille de l’échantillon.
• La distribution de t dépend des degrés de liberté, qui varient selon que l’on suppose variances égales ou non (voir "conditions d’application").
• La p-value est obtenue en comparant la valeur de t à la loi t de Student, ou via logiciel.
• La validité du test repose sur la normalité des échantillons ou leur taille suffisante pour appliquer le théorème central limite.

💡 À retenir

Le test d’égalité de deux moyennes, basé sur la statistique t de Student, permet de déterminer si deux échantillons proviennent de populations ayant des moyennes différentes, en tenant compte de leur variabilité et de la taille des échantillons.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la fonction de répartition F(x) avec la fonction de densité (qui n'existe pas en cas de variable discrète).
2. Oublier que la somme des probabilités P(X=xi) doit être exactement égale à 1.
3. Confondre la convergence de la distribution empirique vers la distribution théorique avec la convergence en probabilité (différentes notions).
4. Mal interpréter la limite de F(x) : 0 en -∞ et 1 en +∞, ne pas la relier à la distribution totale.
5. Confondre la loi uniforme discrète avec la loi continue uniforme (différences fondamentales).
6. Négliger que la fonction de répartition pour une variable discrète est en escalier, pas continue.
7. Se tromper dans le calcul des probabilités cumulées en utilisant la différence F(b) - F(a) sans vérifier que a ≤ b.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de distribution discrète et ses exemples (ex : lancer de dé, loi de Bernoulli).
2. Maîtriser la notion de distribution empirique et sa convergence vers la distribution théorique (loi des grands nombres).
3. Savoir représenter graphiquement la fonction de répartition F(x) pour une variable discrète (graphique en escalier).
4. Comprendre la propriété que la somme des probabilités P(X=xi) est égale à 1.
5. Savoir calculer une probabilité à partir de F(x), notamment P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a).
6. Connaître la définition et la propriété de la fonction de répartition (monotonie, limites).
7. Identifier et distinguer la loi de probabilité discrète, la loi empirique, et la loi théorique.
8. Maîtriser la loi de Bernoulli, la loi de Poisson, et la loi uniforme discrète.
9. Connaître la propriété que F(x) est en escalier pour variables discrètes.
10. Savoir que la convergence de la distribution empirique vers la distribution théorique est assurée par la loi des grands nombres.
11. Connaître la référence de Perron (1938) pour la définition de la fonction de répartition.
12. Vérifier la cohérence de la somme des probabilités et la construction correcte de la fonction de répartition.