Fiche de révision : Divisibilité et décompositions

📋 Plan du Cours

1. Multiples et diviseurs
2. Décomposition en facteurs premiers
3. Diviseurs et diviseurs communs
4. PGCD et partage équitable
5. PPCM et problèmes de carreaux

📖 1. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Nombre obtenu en le multipliant par un entier.
• Diviseur : Entier qui le partage exactement, sans reste.

📝 Points essentiels

• 72 est un multiple de 12.

• 9 est un diviseur de 54, car 54 est divisible par 9.

💡 Astuce mémo

Le multiple contient le diviseur : 54 est multiple de 9, tandis que 9 est diviseur de 54.

📖 2. Décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteur premier : Nombre premier qui intervient dans la décomposition multiplicative d’un entier.

★ À maîtriser

• La décomposition en facteurs premiers s’obtient en divisant successivement l’entier par des facteurs premiers jusqu’à obtenir 1.

Compléments

📐 Formule — La décomposition de 195 en facteurs premiers est $195 = 3 \times 5 \times 13$.

💡 Astuce mémo

On divise successivement par les facteurs premiers jusqu’à obtenir 1.

📖 3. Diviseurs et diviseurs communs

★ À maîtriser

• Les diviseurs d’un entier peuvent être obtenus à partir de sa décomposition en facteurs premiers.

Compléments

• Les diviseurs de 150 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 et 150.

• Les diviseurs communs de 240 et 120 comprennent 2, 3 et 5.

📖 4. PGCD et partage équitable

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand diviseur commun de deux entiers.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le PGCD de 108 et 135 vaut $\operatorname{PGCD}(108{,}135)=3^3=27$.

• Pour réaliser le plus grand nombre de paquets identiques avec 108 billes rouges et 135 billes noires, on utilise le PGCD, soit 27 paquets.

Compléments

• Avec 108 billes rouges et 135 billes noires réparties en 9 paquets, chaque paquet contient 12 billes rouges et 15 billes noires.

💡 Astuce mémo

Le PGCD mesure le plus grand partage commun, donc il donne le nombre maximal de paquets identiques.

📖 5. PPCM et problèmes de carreaux

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Plus petit multiple commun de deux entiers.

★ À maîtriser

📐 Formule — À partir de $756=2^2\times3^3\times7$ et $441=3^2\times7^2$, le PPCM de 756 et 441 est $2^2\times3^3\times7^2$.

Compléments

• Pour paver un contour avec des carreaux de 15 cm à partir de carreaux de 60 cm, un carreau de 60 cm permet d’obtenir 16 carreaux de 15 cm.

• Pour le pourtour, on utilise 80 carreaux bleus de 15 cm.

💡 Astuce mémo

Le PGCD cherche le plus grand diviseur commun, alors que le PPCM cherche le plus petit multiple commun.