Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et coefficients du trinôme
2. Racines et forme factorisée
3. Relations entre les racines
4. Signe d’un trinôme
5. Forme canonique et discriminant
6. Parabole, sommet et variations

📖 1. Définition et coefficients du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0 ; a, b et c sont ses coefficients.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction du second degré est aussi appelée trinôme du second degré, tandis que si a = 0, la fonction devient affine.

• Dans $f(x)=-3x^2+4x-5$, les coefficients sont a = −3, b = 4 et c = −5.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines : Solutions de l’équation $f(x)=0$ lorsqu’elles existent.

★ À maîtriser

📌 Si une fonction du second degré possède deux racines distinctes x₁ et x₂, elle s’écrit sous forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• La fonction $g(x)=4(3-x)(x+2)$ possède les racines 3 et −2.

• La fonction $i(x)=x^2+1$ n’a pas de racine réelle, car un carré est toujours positif, et elle ne possède donc pas de forme factorisée dans ℝ.

💡 Astuce mémo

Avec racines réelles, la forme factorisée existe ; sans racines réelles, elle n’existe pas dans ℝ.

📖 3. Relations entre les racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux racines distinctes x₁ et x₂ d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Les relations entre somme et produit s’obtiennent en développant la forme factorisée puis en identifiant les coefficients avec la forme développée.

💡 Astuce mémo

Somme S = −b/a, Produit P = c/a : S-P.

📖 4. Signe d’un trinôme

📝 Points essentiels

📌 Pour un trinôme ayant deux racines distinctes, f(x) est du signe de a à l’extérieur des racines et de signe opposé entre les racines.

📌 Si a > 0, f(x) est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles ; si a < 0, f(x) est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles.

💡 Astuce mémo

Le signe de a domine à l’extérieur des racines et s’inverse entre elles.

📖 5. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$ et la forme canonique peut aussi s’écrire $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$, donc $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

• Pour $f(x)=x^2+4x-5$, on obtient α = −2, β = −9 et $f(x)=(x+2)^2-9$.

💡 Astuce mémo

Calculer α, puis β = f(α), et écrire a(x − α)² + β.

📖 6. Parabole, sommet et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet : Point S(α ; β) de la parabole, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

📌 La droite d’équation x = α est l’axe de symétrie de la parabole, et la parabole coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; c).

📌 Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut, la fonction décroît puis croît et β est un minimum ; si a < 0, elle est tournée vers le bas, croît puis décroît et β est un maximum.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-12x+1$, l’axe de symétrie est x = 3 et le sommet est S(3 ; −17) ; comme a > 0, les branches sont tournées vers le haut.

💡 Astuce mémo

a > 0 : branches vers le haut et minimum ; a < 0 : branches vers le bas et maximum.

📊 Tableaux de synthèse

Effet du coefficient a