QCM : Fonctions polynômes du second degré — 13 questions

Question 1

1. Quelle condition doit vérifier le coefficient $a$ pour que $f(x)=ax^2+bx+c$ soit une fonction polynôme du second degré ?

c

doit être égal à zéro

a

doit être différent de zéro

a

doit être égal à zéro

b

doit être différent de zéro

Explication

Le terme en $x^2$ caractérise le second degré, donc son coefficient $a$ doit être non nul. Lorsque $a=0$ , le terme quadratique disparaît et la fonction devient affine.

Answer

$$a$$ doit être différent de zéro

Question 2

2. Pour la fonction $f(x)=-3x^2+4x-5$ , quel triplet donne ses coefficients dans l’ordre $a$ , $b$ , $c$ ?

(3,4,5)

(-3,-4,5)

(4,-3,-5)

(-3,4,-5)

Explication

En comparant l’expression donnée à $ax^2+bx+c$ , on lit directement $a=-3$ , $b=4$ et $c=-5$ . Les autres triplets modifient au moins un signe ou l’ordre des coefficients.

Answer

$$(-3,4,-5)$$

Question 3

3. Que représente une racine réelle d’un polynôme du second degré ?

Le coefficient du terme en

x^2

Une solution de l’équation

f(x)=1

La valeur de la fonction en

x=0

Une solution de l’équation

f(x)=0

Explication

Une racine réelle est une valeur de $x$ pour laquelle la fonction s’annule, donc elle résout $f(x)=0$ . Résoudre $f(x)=1$ ou calculer $f(0)$ correspond à d’autres opérations.

Answer

Une solution de l’équation $$f(x)=0$$

Question 4

4. Une fonction du second degré possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

f(x)=a(x-x_1+x_2)

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x^2-x_1x_2)

Explication

Deux racines distinctes fournissent deux facteurs qui s’annulent respectivement en $x_1$ et $x_2$ , d’où $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Les autres expressions ne possèdent pas, en général, ces deux zéros.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 5

5. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur somme ?

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

Explication

La somme des racines est liée aux coefficients par $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ . La relation $\frac{c}{a}$ concerne le produit des racines, et non leur somme.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$

Question 6

6. Pour $f(x)=2x^2-6x+4$ , quelle est la valeur du produit des deux racines ?

-3

2

3

-2

Explication

La relation produit-coefficients donne $x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2$ . La valeur $3$ correspond ici à la somme des racines, car $-\frac{b}{a}=3$ .

Answer

Un signe négatif

Answer

Il est négatif

Answer

L’ordonnée du sommet, égale à $$f(\alpha)$$

Answer

$$f(x)=(x+2)^2-9$$

Answer

$$S(\alpha\ ;\ \beta)$$, avec $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)$$

Answer

L’axe est $$x=\alpha$$ et l’intersection avec l’axe des ordonnées est le point $$(0\ ;\ c)$$

Answer

La parabole est tournée vers le bas, la fonction croît puis décroît et le sommet est un maximum

Question 7

7. Pour un trinôme à deux racines distinctes, quel signe prend la fonction entre les deux racines lorsque le coefficient dominant est positif ?

Le signe de la constante c

Un signe positif

Un signe négatif

Un signe qui dépend de l’abscisse du sommet

Explication

Entre deux racines distinctes, le trinôme prend un signe opposé à celui de son coefficient dominant. Lorsque ce coefficient est positif, la fonction est donc négative entre les racines ; le signe positif apparaît à l’extérieur.

Question 8

8. Un trinôme possède deux racines distinctes et son coefficient dominant vérifie $a<0$ . Quel est son signe à l’extérieur de l’intervalle délimité par les racines ?

Il change de signe à chaque valeur entière

Il est nul sur tout l’extérieur

Il est positif

Il est négatif

Explication

À l’extérieur des deux racines, un trinôme est du signe de son coefficient dominant. Comme $a<0$ , il est négatif dans ces deux zones ; il devient positif entre les racines.

Question 9

9. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que représente $\beta$ ?

Le discriminant du trinôme, égal à

b^2-4ac

L’abscisse du sommet, égale à

-\frac{b}{2a}

L’ordonnée du sommet, égale à

f(\alpha)

Le coefficient du terme en

x

dans la forme développée

Explication

La forme canonique donne $\beta=f(\alpha)$ , donc $\beta$ est l’ordonnée du sommet. L’expression $-\frac{b}{2a}$ correspond à $\alpha$ , son abscisse.

Question 10

10. Pour $f(x)=x^2+4x-5$ , quelle forme canonique obtient-on ?

f(x)=(x+4)^2-5

f(x)=(x-2)^2+9

f(x)=(x+2)^2-9

f(x)=(x-2)^2-9

Explication

Pour ce trinôme, on trouve $\alpha=-2$ et $\beta=-9$ , d’où $f(x)=(x+2)^2-9$ . Les autres écritures modifient l’abscisse ou l’ordonnée du sommet.

Question 11

11. Pour la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles sont les coordonnées de son sommet ?

S(0\ ;\ c)

, avec

\alpha=\frac{b}{2a}

et

\beta=f(0)

S(a\ ;\ b)

, avec

\alpha=-\frac{c}{2b}

et

\beta=f(a)

S(\beta\ ;\ \alpha)

, avec

\alpha=f(\beta)

et

\beta=-\frac{b}{2a}

S(\alpha\ ;\ \beta)

, avec

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

Explication

Le sommet possède pour abscisse $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et pour ordonnée $\beta=f(\alpha)$ , ce qui donne $S(\alpha\ ;\ \beta)$ . Le point $(0\ ;\ c)$ correspond à l’intersection avec l’axe des ordonnées, pas au sommet en général.

Question 12

12. Quelle propriété caractérise l’axe de symétrie et l’intersection avec l’axe des ordonnées d’une parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

L’axe est

x=\alpha

et l’intersection avec l’axe des ordonnées est le point

(0\ ;\ c)

L’axe est

y=\beta

et l’intersection avec l’axe des ordonnées est le point

(0\ ;\ \alpha)

L’axe est

y=\alpha

et l’intersection avec l’axe des ordonnées est le point

(c\ ;\ 0)

L’axe est

x=\beta

et l’intersection avec l’axe des ordonnées est le point

(\alpha\ ;\ 0)

Explication

La symétrie de la parabole est portée par la droite verticale $x=\alpha$ , tandis que sa valeur en $x=0$ est $c$ , donnant le point $(0\ ;\ c)$ . Une équation de type $y=\alpha$ décrit une droite horizontale et ne convient pas ici.

Question 13

13. Comment varient une fonction du second degré et sa parabole lorsque $a<0$ ?

La parabole est tournée vers le haut, la fonction croît puis décroît et le sommet est un maximum

La parabole est tournée vers le bas, la fonction croît puis décroît et le sommet est un maximum

La parabole est tournée vers le haut, la fonction décroît puis croît et le sommet est un minimum

La parabole est tournée vers le bas, la fonction décroît puis croît et le sommet est un minimum

Explication

Lorsque $a<0$ , les branches de la parabole sont dirigées vers le bas : la fonction augmente jusqu’au sommet, puis diminue. L’ordonnée $\beta$ représente alors un maximum, contrairement au cas $a>0$ .

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition doit vérifier le coefficient $a$ pour que $f(x)=ax^2+bx+c$ soit une fonction polynôme du second degré ?

2. Pour la fonction $f(x)=-3x^2+4x-5$ , quel triplet donne ses coefficients dans l’ordre $a$ , $b$ , $c$ ?

3. Que représente une racine réelle d’un polynôme du second degré ?

4. Une fonction du second degré possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

5. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur somme ?

6. Pour $f(x)=2x^2-6x+4$ , quelle est la valeur du produit des deux racines ?

7. Pour un trinôme à deux racines distinctes, quel signe prend la fonction entre les deux racines lorsque le coefficient dominant est positif ?

8. Un trinôme possède deux racines distinctes et son coefficient dominant vérifie $a<0$ . Quel est son signe à l’extérieur de l’intervalle délimité par les racines ?

9. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que représente $\beta$ ?

10. Pour $f(x)=x^2+4x-5$ , quelle forme canonique obtient-on ?

11. Pour la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles sont les coordonnées de son sommet ?

12. Quelle propriété caractérise l’axe de symétrie et l’intersection avec l’axe des ordonnées d’une parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

13. Comment varient une fonction du second degré et sa parabole lorsque $a<0$ ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition doit vérifier le coefficient aaa pour que f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c soit une fonction polynôme du second degré ?

2. Pour la fonction f(x)=−3x2+4x−5f(x)=-3x^2+4x-5f(x)=−3x2+4x−5, quel triplet donne ses coefficients dans l’ordre aaa, bbb, ccc ?

3. Que représente une racine réelle d’un polynôme du second degré ?

4. Une fonction du second degré possède deux racines distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle est sa forme factorisée ?

5. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ayant deux racines distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelle relation donne leur somme ?

6. Pour f(x)=2x2−6x+4f(x)=2x^2-6x+4f(x)=2x2−6x+4, quelle est la valeur du produit des deux racines ?

7. Pour un trinôme à deux racines distinctes, quel signe prend la fonction entre les deux racines lorsque le coefficient dominant est positif ?

8. Un trinôme possède deux racines distinctes et son coefficient dominant vérifie a<0a<0a<0. Quel est son signe à l’extérieur de l’intervalle délimité par les racines ?

9. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, que représente β\betaβ ?

10. Pour f(x)=x2+4x−5f(x)=x^2+4x-5f(x)=x2+4x−5, quelle forme canonique obtient-on ?

11. Pour la parabole associée à f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelles sont les coordonnées de son sommet ?

12. Quelle propriété caractérise l’axe de symétrie et l’intersection avec l’axe des ordonnées d’une parabole associée à f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

13. Comment varient une fonction du second degré et sa parabole lorsque a<0a<0a<0 ?

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1. Quelle condition doit vérifier le coefficient $a$ pour que $f(x)=ax^2+bx+c$ soit une fonction polynôme du second degré ?

2. Pour la fonction $f(x)=-3x^2+4x-5$ , quel triplet donne ses coefficients dans l’ordre $a$ , $b$ , $c$ ?

4. Une fonction du second degré possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

5. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur somme ?

6. Pour $f(x)=2x^2-6x+4$ , quelle est la valeur du produit des deux racines ?

8. Un trinôme possède deux racines distinctes et son coefficient dominant vérifie $a<0$ . Quel est son signe à l’extérieur de l’intervalle délimité par les racines ?

9. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que représente $\beta$ ?

10. Pour $f(x)=x^2+4x-5$ , quelle forme canonique obtient-on ?

11. Pour la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles sont les coordonnées de son sommet ?

12. Quelle propriété caractérise l’axe de symétrie et l’intersection avec l’axe des ordonnées d’une parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

13. Comment varient une fonction du second degré et sa parabole lorsque $a<0$ ?