QCM : Démonstration par récurrence — 12 questions

Question 1

1. Quelle conclusion générale la démonstration établit-elle pour la propriété étudiée ?

Pour tout entier naturel non nul

n

,

2^n\geq n

Pour tout entier naturel non nul

n

,

2n>n^2

Pour tout entier naturel non nul

n

,

2^n>n

Pour tout entier naturel

n

,

2^n>n+1

Explication

La démonstration établit précisément que $2^n>n$ pour chaque entier naturel non nul $n$ . L’inégalité avec $\geq$ est plus faible et les deux autres propositions formulent des propriétés différentes.

Answer

Pour tout entier naturel non nul $$n$$, $$2^n>n$$

Question 2

2. Pour démontrer par récurrence la propriété $2^n>n$ , quelle affirmation constitue l’hypothèse de récurrence au rang $k$ ?

2^k>k

2^{k+1}>k+1

2^{k+1}>k

2^k>k+1

Explication

L’hypothèse de récurrence suppose vraie l’inégalité au rang $k$ , soit $2^k>k$ . L’inégalité $2^{k+1}>k+1$ correspond à l’objectif du rang suivant et doit encore être démontrée.

Answer

Montrer qu’un domino tombé entraîne la chute du domino suivant

Answer

Les entiers, organisés selon des rangs successifs

Answer

Au rang 1, on obtient $$2^1=2>1$$

Answer

Parce que $$k\geq1$$ implique $$2k\geq k+1$$

Answer

$$2^{k+1}>2k$$

Answer

Sa chute entraîne celle du domino suivant

Answer

Il est fixé arbitrairement pour représenter un rang quelconque

Answer

L’initialisation vérifie le premier rang et l’hérédité relie deux rangs consécutifs

Answer

L’initialisation au rang 1 et l’hérédité

Answer

Vérifier directement la propriété au premier entier considéré, noté n₀

Question 3

3. Dans le modèle des dominos, quelle action représente l’hérédité ?

Choisir la position du domino qui servira de point de départ

Compter les dominos placés dans une file correctement espacée

Montrer qu’un domino tombé entraîne la chute du domino suivant

Vérifier que le premier domino tombe après une poussée initiale

Explication

L’hérédité correspond à la transmission de la chute d’un domino au suivant, ce qui modélise le passage du rang k au rang k+1. La chute du premier domino représente plutôt l’initialisation.

Question 4

4. Quel type de nombres constitue le domaine habituel d’une démonstration par récurrence ?

Les réels, parcourus selon un intervalle continu

Les rationnels, ordonnés selon leur écriture décimale

Les complexes, classés selon leur module croissant

Les entiers, organisés selon des rangs successifs

Explication

La récurrence établit une propriété à un premier rang entier, puis transmet sa validité d’un entier au suivant. Le raisonnement ne repose donc pas sur un parcours continu des nombres réels.

Question 5

5. Quelle vérification initialise correctement la propriété $2^n>n$ sur les entiers naturels non nuls ?

Au rang 2, on obtient

2^2=4>2

Au rang 1, on obtient

2^1=2>1

Au rang k, on obtient

2^k>k

Au rang 0, on obtient

2^0=1>0

Explication

Le premier entier naturel non nul est 1, et l’initialisation donne bien $2^1=2>1$ . L’expression au rang k correspond à une affirmation générale qui relève de l’hérédité ou de la conclusion, pas de la vérification initiale.

Question 6

6. Pourquoi peut-on passer de $2^{k+1}>2k$ à $2^{k+1}>k+1$ lorsque $k$ est un entier naturel non nul ?

Parce que

k\geq1

rend l’inégalité précédente non stricte

Parce que

k\geq1

implique

2k\leq k+1

Parce que

k\geq1

implique

2k\geq k+1

Parce que

k\geq1

implique directement

2k=k+1

Explication

Pour $k\geq1$ , on a $2k-(k+1)=k-1\geq0$ , donc $2k\geq k+1$ . En combinant cette relation avec $2^{k+1}>2k$ , on conserve une inégalité stricte vers $k+1$ .

Question 7

7. Que déduit-on de l’hypothèse $2^k>k$ après multiplication de ses deux membres par 2 ?

2^{k+2}>2k

2^{k+1}>2k

2^{k+1}>k+2

2^k>2k

Explication

Multiplier $2^k>k$ par 2 donne $2^k\times2>k\times2$ , puis la décomposition de la puissance fournit $2^{k+1}>2k$ . Cette étape ne transforme pas le membre de droite en $k+2$ .

Question 8

8. Dans une file illimitée de dominos correctement espacés, que se passe-t-il lorsqu’un domino tombe ?

Sa chute entraîne celle du domino suivant

Sa chute revient vers le domino précédent

Sa chute dépend d’un nouvel espacement choisi

Sa chute s’arrête avant le domino suivant

Explication

Un espacement approprié permet à chaque domino tombé de faire tomber le suivant, comme dans une chaîne de récurrence. Le mouvement se transmet donc vers le rang suivant plutôt que de s’interrompre ou de revenir en arrière.

Question 9

9. Dans une démonstration par récurrence, quel rôle joue l’entier $k$ choisi dans le domaine considéré ?

Il désigne le premier rang vérifié lors de l’initialisation

Il correspond au rang suivant dont la propriété est à établir

Il est fixé arbitrairement pour représenter un rang quelconque

Il représente le dernier rang autorisé par le domaine étudié

Explication

L’entier $k$ est choisi arbitrairement afin de montrer que la propriété se transmet d’un rang quelconque au suivant. Le rang $k+1$ n’est pas fixé au départ : c’est celui pour lequel la démonstration doit établir la propriété.

Question 10

10. Quelle distinction décrit correctement l’initialisation et l’hérédité dans une démonstration par récurrence ?

L’initialisation vérifie le premier rang et l’hérédité relie deux rangs consécutifs

L’initialisation choisit un entier arbitraire et l’hérédité fixe le rang de départ

L’initialisation prouve la formule générale et l’hérédité teste un cas particulier

L’initialisation relie deux rangs consécutifs et l’hérédité vérifie le premier rang

Explication

L’initialisation porte sur le premier rang considéré, tandis que l’hérédité montre que la propriété au rang k entraîne celle au rang k+1. Confondre ces rôles inverse les deux étapes du raisonnement.

Question 11

11. Quelles étapes combinées permettent d’établir la propriété pour tout entier naturel non nul ?

L’hérédité au rang 1 et une vérification finale

L’initialisation au rang 1 et le choix d’un dernier rang

La vérification d’un rang quelconque et l’initialisation

L’initialisation au rang 1 et l’hérédité

Explication

L’initialisation vérifie la propriété au rang de départ, tandis que l’hérédité montre qu’elle se transmet à chaque rang suivant. L’initialisation considérée seule ne permet donc pas de conclure pour tous les rangs.

Question 12

12. Que faut-il faire lors de l’initialisation d’une propriété définie sur des entiers ?

Remplacer le premier entier par un réel appartenant au domaine

Vérifier directement la propriété au premier entier considéré, noté n₀

Relier la propriété au rang k à celle du rang k+1

Supposer la propriété vraie pour un entier k choisi arbitrairement

Explication

L’initialisation consiste à vérifier la propriété au premier rang n₀, dont la valeur dépend de l’énoncé. Le choix arbitraire d’un entier k appartient à l’étape d’hérédité, non à l’initialisation.

QCM : Démonstration par récurrence — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle conclusion générale la démonstration établit-elle pour la propriété étudiée ?

2. Pour démontrer par récurrence la propriété $2^n>n$ , quelle affirmation constitue l’hypothèse de récurrence au rang $k$ ?

3. Dans le modèle des dominos, quelle action représente l’hérédité ?

4. Quel type de nombres constitue le domaine habituel d’une démonstration par récurrence ?

5. Quelle vérification initialise correctement la propriété $2^n>n$ sur les entiers naturels non nuls ?

6. Pourquoi peut-on passer de $2^{k+1}>2k$ à $2^{k+1}>k+1$ lorsque $k$ est un entier naturel non nul ?

7. Que déduit-on de l’hypothèse $2^k>k$ après multiplication de ses deux membres par 2 ?

8. Dans une file illimitée de dominos correctement espacés, que se passe-t-il lorsqu’un domino tombe ?

9. Dans une démonstration par récurrence, quel rôle joue l’entier $k$ choisi dans le domaine considéré ?

10. Quelle distinction décrit correctement l’initialisation et l’hérédité dans une démonstration par récurrence ?

11. Quelles étapes combinées permettent d’établir la propriété pour tout entier naturel non nul ?

12. Que faut-il faire lors de l’initialisation d’une propriété définie sur des entiers ?

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QCM : Démonstration par récurrence — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle conclusion générale la démonstration établit-elle pour la propriété étudiée ?

2. Pour démontrer par récurrence la propriété 2n>n2^n>n2n>n, quelle affirmation constitue l’hypothèse de récurrence au rang kkk ?

3. Dans le modèle des dominos, quelle action représente l’hérédité ?

4. Quel type de nombres constitue le domaine habituel d’une démonstration par récurrence ?

5. Quelle vérification initialise correctement la propriété 2n>n2^n>n2n>n sur les entiers naturels non nuls ?

6. Pourquoi peut-on passer de 2k+1>2k2^{k+1}>2k2k+1>2k à 2k+1>k+12^{k+1}>k+12k+1>k+1 lorsque kkk est un entier naturel non nul ?

7. Que déduit-on de l’hypothèse 2k>k2^k>k2k>k après multiplication de ses deux membres par 2 ?

8. Dans une file illimitée de dominos correctement espacés, que se passe-t-il lorsqu’un domino tombe ?

9. Dans une démonstration par récurrence, quel rôle joue l’entier kkk choisi dans le domaine considéré ?

10. Quelle distinction décrit correctement l’initialisation et l’hérédité dans une démonstration par récurrence ?

11. Quelles étapes combinées permettent d’établir la propriété pour tout entier naturel non nul ?

12. Que faut-il faire lors de l’initialisation d’une propriété définie sur des entiers ?

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2. Pour démontrer par récurrence la propriété $2^n>n$ , quelle affirmation constitue l’hypothèse de récurrence au rang $k$ ?

5. Quelle vérification initialise correctement la propriété $2^n>n$ sur les entiers naturels non nuls ?

6. Pourquoi peut-on passer de $2^{k+1}>2k$ à $2^{k+1}>k+1$ lorsque $k$ est un entier naturel non nul ?

7. Que déduit-on de l’hypothèse $2^k>k$ après multiplication de ses deux membres par 2 ?

9. Dans une démonstration par récurrence, quel rôle joue l’entier $k$ choisi dans le domaine considéré ?