Fiche de révision : Dynamique des fluides et pertes

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la mécanique des fluides
2. Classification des fluides
3. Propriétés physiques des fluides
4. Pression et équilibre hydrostatique
5. Poussée sur une paroi verticale
6. Théorème d’Archimède
7. Équilibre et stabilité du densimètre
8. Cylindre immergé et tension du fil
9. Écoulement permanent et continuité
10. Débits et théorèmes fondamentaux
11. Mesure du débit par Venturi
12. Pompes turbines et jets
13. Fluide réel et régimes d’écoulement
14. Pertes de charge et Bernoulli
15. Pertes de charge du serpentin
16. Gaz parfaits et transformations thermodynamiques
17. Régimes et continuité des écoulements
18. Énergie et état générateur

📖 1. Fondements de la mécanique des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Mécanique des fluides : Science des lois de l’écoulement des liquides et des gaz soumis à des forces ou à des contraintes.

★ À maîtriser

📌 La statique des fluides, ou hydrostatique, étudie les fluides au repos, tandis que la dynamique des fluides étudie les fluides en mouvement.

Compléments

• La mécanique des fluides numérique, ou CFD, simule les écoulements en résolvant leurs équations à l’aide d’ordinateurs.

📖 2. Classification des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluide : Milieu matériel continu, déformable et sans rigidité, constitué de particules pouvant se déplacer les unes par rapport aux autres et s’écouler.

★ À maîtriser

📌 Un fluide parfait est un modèle où les frottements sont négligés et où la force exercée sur un élément de surface est normale à celui-ci, tandis qu’un fluide réel tient compte des frottements internes tangentiels entre couches en mouvement.

📌 Un fluide incompressible conserve le volume occupé par une masse donnée malgré les variations de pression, tandis qu’un fluide compressible voit ce volume varier avec la pression extérieure.

Compléments

• Au repos, un fluide réel est admis se comporter comme un fluide parfait, avec des forces de contact perpendiculaires aux surfaces où elles s’exercent.

• Les liquides peuvent être considérés comme incompressibles, tandis que les gaz, comme l’air, l’hydrogène et le méthane à l’état gazeux, sont compressibles.

📌 Les fluides newtoniens ont une viscosité constante ou dépendant seulement de la température, tandis que la viscosité des fluides non newtoniens varie avec la vitesse et les contraintes subies pendant l’écoulement.

💡 Astuce mémo

Fluide parfait : pas de frottement ; fluide réel : frottement visqueux.

📖 3. Propriétés physiques des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Viscosité : Grandeur caractérisant les frottements internes d’un fluide et sa résistance à l’écoulement lorsqu’une force lui est appliquée.

★ À maîtriser

📐 Formule - La masse volumique est définie par $\rho = \frac{m}{V}$, où $m$ est la masse et $V$ le volume.

📐 Formule - La densité d’un fluide est le rapport entre sa masse volumique et celle du fluide de référence : $d = \frac{\rho}{\rho_{ref}}$.

📐 Formule - La force de frottement entre deux couches fluides vérifie $F = \mu S \frac{\Delta V}{\Delta z}$, où $\mu$ est la viscosité dynamique, $S$ la surface de contact, $\Delta V$ l’écart de vitesse et $\Delta z$ leur distance.

📐 Formule - La viscosité cinématique est le rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique : $\nu = \frac{\mu}{\rho}$.

Compléments

• Pour calculer la densité, l’eau est le fluide de référence des liquides et l’air celui des gaz.

• La viscosité dynamique s’exprime en Pa·s, équivalent à kg/(m·s), et la viscosité cinématique en m²/s.

• Un stokes vaut $10^{-4}\,\mathrm{m^2/s}$.

• Lorsque la température augmente, la viscosité d’un fluide diminue.

📖 4. Pression et équilibre hydrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Pression : Grandeur scalaire égale à l’intensité de la composante normale de la force exercée par le fluide par unité de surface.

★ À maîtriser

📐 Formule - La pression en un point vérifie $P_A = \frac{dF_N}{dS}$, où $dF_N$ est la composante normale de la force sur l’élément de surface $dS$.

📐 Formule - Dans un fluide incompressible au repos, la différence de pression entre deux points vérifie $P_1-P_2=\varpi(Z_2-Z_1)=\rho g(Z_2-Z_1)$.

📌 Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraîne la même variation de pression en tout autre point.

Compléments

• La force élémentaire de pression sur une surface orientée par sa normale extérieure $\vec n$ s’écrit $d\vec F = -P_A\,dS\,\vec n$.

• L’unité internationale de pression est le pascal, avec $1\,\mathrm{Pa}=1\,\mathrm{N/m^2}$, et $1\,\mathrm{bar}\approx 10^5\,\mathrm{Pa}$.

📐 Formule - Dans un même fluide incompressible au repos, la pression et l’altitude vérifient $\frac{P}{\varpi}+Z=\frac{P}{\rho g}+Z=\mathrm{constante}$.

📖 5. Poussée sur une paroi verticale

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de poussée : Point où le moment résultant des forces de pression sur une paroi est nul.
• Centre de poussée : Point de la paroi où le moment résultant des forces de pression est nul ; sous l’hypothèse de symétrie, il appartient à l’axe passant par le centre de surface.

★ À maîtriser

📐 Formule - Sur une paroi verticale plane de surface $S$, symétrique autour de son centre de surface $G$, la résultante des forces de pression relatives vaut $R=P_G S$.

• Le centre de poussée G₀ d’une paroi est toujours situé au-dessous du centre de surface G.

Compléments

📐 Formule - Le moment des forces de pression relatives au centre de surface $G$ vaut $M_G=\varpi I_{(G,Z)}$, où $I_{(G,Z)}$ est le moment quadratique de la surface par rapport à l’axe passant par $G$.

📐 Formule - La position du centre de poussée vérifie $y_0=-\frac{I_{ZG}}{\varpi S}$, où $I_{ZG}$ est le moment quadratique de la surface par rapport à l’axe passant par G, $\varpi$ le poids volumique et S l’aire de la paroi.

📖 6. Théorème d’Archimède

🔑 Notions clés & Définitions

• Poussée d’Archimède : La poussée d’Archimède est une force verticale dirigée vers le haut, exercée par un fluide sur un corps plongé dans celui-ci, dont l’intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intensité de la poussée d’Archimède vaut $P_{ARCH}=\rho_{fluide}V_{imm}g$.

📌 Pour un solide immergé hétérogène, l’équilibre est stable si le centre de poussée G est au-dessus du centre de gravité Gs, et instable si G est au-dessous de Gs.

Compléments

• La poussée exercée sur le contour d’un solide immergé dépend du volume de fluide déplacé et non de la nature du solide.

• Pour un volume de fluide au repos délimité par un contour fermé, son poids et les forces de pression extérieures s’équilibrent ; remplacer ce fluide par un solide immergé de même contour conserve les forces de pression, dont la résultante est opposée au poids du fluide déplacé.

📌 Pour un solide immergé homogène, le centre de poussée coïncide avec le centre de gravité du solide et son équilibre est indifférent.

📖 7. Équilibre et stabilité du densimètre

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un densimètre cylindrique flottant, l’équilibre entre le poids et la poussée d’Archimède donne $\rho h=\rho_0 h_0$, où $\rho_0$ et $h_0$ désignent la masse volumique et la hauteur immergée de l’eau de référence.

📌 Le densimètre reste verticalement stable si le centre de gravité du liquide déplacé, situé à la hauteur $h/2$, est au-dessus du centre de gravité du densimètre situé à la hauteur $a$, donc si $h/2>a$.

Compléments

• Avec une hauteur immergée de 250 mm, contre 200 mm dans l’eau à 1000 kg/m³, le densimètre indique une masse volumique de 800 kg/m³.

📐 Formule - La masse volumique minimale mesurable correspond à une immersion sur toute la longueur du densimètre, soit $h=L=400\,\text{mm}$ ; avec la référence donnée, elle vaut 500 kg/m³.

• Pour le densimètre décrit, la stabilité verticale est assurée si la masse volumique du liquide est inférieure à 10 000 kg/m³ ; le mercure, à 13 600 kg/m³, constitue un exemple de liquide problématique.

💡 Astuce mémo

Le poids équilibre la poussée ; la stabilité dépend de la position des centres de gravité.

📖 8. Cylindre immergé et tension du fil

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un cylindre d’acier entièrement immergé, suspendu par un fil dans l’huile, la tension vaut $T=\pi R^2H g(\rho_{acier}-\rho_{huile})$.

Compléments

• Pour de l’acier de masse volumique 7800 kg/m³ dans une huile de masse volumique 824 kg/m³, avec $R=0{,}1\,\text{m}$, $H=0{,}2\,\text{m}$ et $g=9{,}81\,\text{m/s}^2$, la tension calculée est 430 N.

• La méthode par la relation fondamentale de l’hydrostatique retrouve la même tension en tenant compte des pressions sur les faces supérieure et inférieure du cylindre ; les forces latérales sont perpendiculaires à l’axe vertical.

📖 9. Écoulement permanent et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Écoulement permanent : Écoulement dans lequel le champ des vecteurs vitesse des particules fluides est constant dans le temps, sans nécessairement être uniforme dans l’espace.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un écoulement permanent incompressible, la conservation du débit volumique entre deux sections donne $S_1V_1=S_2V_2$.

Compléments

📌 Un fluide incompressible conserve une masse volumique constante ; l’écoulement non permanent, contrairement à l’écoulement permanent étudié ici, implique des effets d’inertie des masses fluides.

📖 10. Débits et théorèmes fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Débit massique : Masse de fluide qui traverse une section par unité de temps et s’exprime en kg/s.
• Débit volumique : Volume de fluide qui traverse une section par unité de temps et s’exprime en m³/s.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le débit volumique d’un fluide traversant une section $S$ à la vitesse moyenne $V$ vaut $q_v=SV$, et le débit massique et le débit volumique sont liés par $q_m=\rho q_v$.

📌 Le théorème de Bernoulli sans échange de travail s’applique ici à un fluide parfait incompressible en écoulement permanent dans une conduite parfaitement lisse ; la somme de la pression, de l’énergie cinétique massique et de l’énergie potentielle massique reste constante le long de la veine.

📐 Formule - Sans échange de travail, la relation de Bernoulli entre deux points s’écrit $\frac{P_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2}+gZ_1=\frac{P_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2}+gZ_2$.

📐 Formule - Le théorème d’Euler relie la résultante des actions mécaniques extérieures sur un fluide isolé à la variation de sa quantité de mouvement ; entre l’entrée et la sortie, $\sum \vec F_{ext}=q_m(\vec V_2-\vec V_1)$.

Compléments

📌 Pour une pompe, le rendement vaut $\eta=P_{net}/P_a$ et le travail net échangé avec le fluide est positif ; pour une turbine, $\eta=P_a/P_{net}$ et ce travail est négatif.

📐 Formule - Avec une machine hydraulique, la relation de Bernoulli s’écrit $\frac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(Z_2-Z_1)+\frac{P_2-P_1}{\rho}=\frac{P_{net}}{q_m}$.

📐 Formule - Pour un jet frappant un obstacle symétrique et dévié d’un angle $\beta$, la force exercée sur l’obstacle suivant l’axe du jet vaut $F=q_mV_1(1-\cos\beta)$ si la vitesse d’entrée et la vitesse de sortie ont même norme $V_1$.

• L’équation de continuité, le théorème de Bernoulli et le théorème d’Euler servent respectivement à décrire la conservation de la masse, de l’énergie et de la quantité de mouvement dans les applications de dynamique des fluides.

📖 11. Mesure du débit par Venturi

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un Venturi, la continuité donne $V_B = \left(\frac{D}{d}\right)^2 V_A$, où D est le diamètre amont et d celui du col.

📐 Formule - Pour le Venturi à prises de pression reliées à un manomètre à mercure, la différence de pression vaut $P_A-P_B=(\rho_{mercure}-\rho_{eau})gh$.

📐 Formule - Pour le même Venturi, le débit volumique est $Q_v=\frac{\pi D^2}{4}\sqrt{\frac{(\rho_{mercure}-\rho_{eau})gh}{40\rho_{eau}}}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un Venturi horizontal idéal dont le rapport des diamètres vaut D/d = 3, Bernoulli et la continuité donnent $V_A=\sqrt{\frac{(\rho_{mercure}-\rho_{eau})gh}{40\rho_{eau}}}$.

• Pour D = 9 cm, d = 3 cm et h = 4 mm, l’application numérique de l’exercice donne un débit volumique d’environ 7 × 10⁻³ m³/s.

📐 Formule - Dans un tube piézométrique contenant le même liquide que la conduite, la pression au point de raccordement vérifie $P=P_{atm}+\rho g(Z'-Z)$, où Z' est l’altitude de la surface libre et Z celle du point.

💡 Astuce mémo

Le col accélère l’eau → la pression baisse → le manomètre révèle le débit.

📖 12. Pompes turbines et jets

★ À maîtriser

📐 Formule - Le débit volumique dans une conduite circulaire vaut $Q_v=\frac{\pi d^2}{4}V$.

📐 Formule - Pour une pompe reliant deux réservoirs ouverts dont les vitesses de surface sont négligeables, la puissance absorbée vaut $P_a=\frac{\rho gQ_v(Z_2-Z_1)}{\eta}$.

📐 Formule - Le rendement d’une pompe relie sa puissance utile à sa puissance absorbée par $P_a=\frac{P_u}{\eta}$.

📐 Formule - Pour une turbine entre deux surfaces libres à pression atmosphérique et de vitesse négligeable, la puissance utile récupérée du fluide vaut $P_u=Q_mg(Z_A-Z_B)$.

Compléments

📐 Formule - Pour une pompe entre deux sections, le théorème de Bernoulli avec échange de travail s’écrit $\frac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(Z_2-Z_1)+\frac{P_2-P_1}{\rho}=\frac{P_u}{\rho Q_v}$.

📐 Formule - Pour une turbine de rendement global η, la puissance récupérée sur l’arbre vaut $P_{arbre}=\eta P_u$.

📐 Formule - Pour un jet qui dévie sur un obstacle, la force exercée par le liquide sur l’obstacle s’obtient par $\vec F=Q_m(\vec V_1-\vec V_2)$.

• Dans l’exercice du jet, le débit massique vaut 2 kg/s, les vitesses d’entrée et de sortie valent 3 m/s et l’angle de déflexion est 120°.

💡 Astuce mémo

La pompe fournit de l’énergie au fluide ; la turbine en récupère.

📖 13. Fluide réel et régimes d’écoulement

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluide réel : Fluide dont les forces de contact possèdent des composantes tangentielles qui s’opposent au glissement des couches fluides.

📝 Points essentiels

• La viscosité caractérise la résistance au glissement des couches fluides et les frottements entre le fluide et les parois.

📌 En régime laminaire, les filets fluides suivent des lignes régulières et sensiblement parallèles, tandis qu’en régime turbulent ils s’enchevêtrent et s’enroulent sur eux-mêmes.

📐 Formule - Le nombre de Reynolds est donné par $Re=\frac{Vd}{\nu}$, où V est la vitesse moyenne, d le diamètre de la conduite ou la largeur de la veine fluide, et ν la viscosité cinématique.

📌 Les seuils indicatifs du cours classent l’écoulement comme laminaire pour Re < 2 000, turbulent lisse pour 2 000 < Re < 100 000, et turbulent rugueux pour Re > 100 000.

💡 Astuce mémo

Laminaire : filets réguliers ; turbulent : filets enchevêtrés.

📖 14. Pertes de charge et Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Perte de charge : Perte d’énergie mécanique par frottement visqueux, rapportée à l’unité de masse de fluide qui s’écoule.

★ À maîtriser

📐 Formule - Entre deux points d’un écoulement réel sans machine hydraulique, l’équation de Bernoulli s’écrit $\frac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(Z_2-Z_1)+\frac{P_2-P_1}{\rho}=J_{12}$, avec J₁₂ la perte de charge.

📌 La perte de charge totale entre deux points est la somme de la perte linéaire et de la perte singulière : $J_{12}=J_L+J_S$.

📐 Formule - Une perte de charge linéaire dans une conduite de longueur L et de diamètre d s’exprime par $J_L=-\lambda\frac{L}{d}\frac{V^2}{2}$, où λ dépend du régime d’écoulement.

Compléments

📐 Formule - Une perte de charge singulière s’exprime par $J_S=-K_S\frac{V^2}{2}$ dans la convention de signe du cours, où K_S est un coefficient sans unité dépendant de la géométrie de l’accident.

📐 Formule - En régime laminaire, le coefficient de perte linéaire suit la formule de Poiseuille $\lambda=\frac{64}{Re}$.

📐 Formule - En régime turbulent lisse, le cours donne la formule de Blasius $\lambda=0{,}316\,Re^{-0{,}25}$.

📐 Formule - En régime turbulent rugueux, le cours donne la formule de Blench $\lambda=0{,}79\sqrt{\frac{\varepsilon}{d}}$, avec ε et d exprimés dans la même unité.

📐 Formule - La perte de charge totale en présence de machines hydrauliques vérifie $\frac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(Z_2-Z_1)+\frac{P_2-P_1}{\rho}=J_{12}+\frac{P_n}{Q_m}$, où P_n est la puissance mécanique échangée et Q_m le débit massique.

💡 Astuce mémo

Conduite droite : perte linéaire ; changement de section ou de direction : perte singulière.

📖 15. Pertes de charge du serpentin

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un écoulement turbulent lisse, le coefficient de perte de charge linéaire suit la formule de Blasius $\lambda = 0{,}316\,Re^{-0{,}25}$ ; pour $Re=40\,000$, l’application donne $\lambda=0{,}022$.

• Dans le serpentin, les neuf coudes produisent une perte de charge singulière totale de 6 J/kg et les dix tronçons rectilignes une perte linéaire totale de 594 J/kg.

• La perte de charge totale du serpentin est de 600 J/kg.

📌 Entre les points A et B du serpentin, de même vitesse et de même altitude, la pression de sortie vérifie $P_B=P_A-\rho J_{AB}$ ; l’application numérique donne 2 bar.

📖 16. Gaz parfaits et transformations thermodynamiques

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation d’état du gaz parfait s’écrit $P=\rho rT$, où $r=287\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ pour l’air.

📐 Formule - La relation de Mayer entre les chaleurs spécifiques d’un gaz parfait est $C_p-C_v=r$, et leur rapport est $\gamma=\frac{C_p}{C_v}$.

Compléments

📐 Formule - À pression constante, la variation d’enthalpie massique d’un gaz parfait vérifie $\Delta H=C_p\Delta T$.

📐 Formule - À volume constant, la variation d’énergie interne massique d’un gaz parfait vérifie $\Delta U=C_v\Delta T$.

• Pour un gaz parfait monoatomique, $C_p=\frac{5}{2}r$, $C_v=\frac{3}{2}r$ et $\gamma=\frac{5}{3}$ ; pour un gaz parfait diatomique, $C_p=\frac{7}{2}r$, $C_v=\frac{5}{2}r$ et $\gamma=\frac{7}{5}$.

📐 Formule - Pour une transformation adiabatique d’un gaz parfait, $P\rho^{-\gamma}=\mathrm{constante}$ et $T P^{(1-\gamma)/\gamma}=\mathrm{constante}$.

📖 17. Régimes et continuité des écoulements

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre de Mach : Le nombre de Mach est le rapport entre la vitesse d’écoulement et la célérité du son, $M=\frac{V}{C}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un écoulement isentropique, la célérité du son vérifie $C=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}=\sqrt{\gamma rT}$.

📌 Un écoulement est subsonique si $M<1$ et supersonique si $M>1$ ; il est à l’état critique si $M=1$.

📐 Formule - La continuité d’un écoulement compressible entre deux sections s’écrit $\rho_1 S_1 V_1=\rho_2 S_2 V_2$.

💡 Astuce mémo

Subsonique : M < 1 ; supersonique : M > 1.

📖 18. Énergie et état générateur

🔑 Notions clés & Définitions

• État générateur : L’état générateur est l’état d’un fluide en un point de l’écoulement où la vitesse est supposée nulle ; ses variables thermodynamiques sont notées avec l’indice i.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un écoulement adiabatique réversible sans travail utile et avec énergie potentielle négligeable, l’équation de Saint-Venant s’écrit $H+\frac{V^2}{2}=\mathrm{constante}$, soit $\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{P}{\rho}+\frac{V^2}{2}=\mathrm{constante}$.

📐 Formule - Entre un point d’écoulement et l’état générateur d’un gaz parfait isentropique, la relation de Saint-Venant donne $\frac{T_i}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2}M^2$ et $\frac{P_i}{P}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\gamma/(\gamma-1)}$.

Compléments

📐 Formule - À l’état critique où $M=1$, le rapport des températures vaut $\frac{T}{T_i}=\frac{2}{\gamma+1}$.

📐 Formule - La puissance nette d’une pompe s’obtient à partir du débit volumique et de la variation d’énergie massique entre les sections, en incluant la différence d’altitude, de pression, de vitesse et les pertes de charge ; la puissance absorbée vérifie $P_a=\frac{P_n}{\eta}$.

📊 Tableaux de synthèse

Équilibre des solides immergés