Fiche de révision : Échantillonnage et estimation

📋 Plan du Cours

1. Notion d’échantillon
2. Simulation d’une expérience aléatoire
3. Loi des grands nombres
4. Estimation d’une probabilité

📖 1. Notion d’échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillon : De taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes d’une même expérience portant sur une population de personnes ou d’objets.

★ À maîtriser

📌 La population est l’ensemble des personnes ou objets étudiés, tandis que l’échantillon est un sous-ensemble de cette population utilisé pour l’étude statistique.

Compléments

• Prélever 200 cartes parmi toutes les cartes à puce produites en une semaine constitue un échantillon de taille 200.

• Interroger 1000 personnes sur leurs intentions de vote constitue un échantillon de taille 1000 de la population totale des électeurs.

• Effectuer 50 lancers successifs d’une pièce et noter les résultats constitue un échantillon de taille 50.

📖 2. Simulation d’une expérience aléatoire

📝 Points essentiels

• Pour simuler un lancer d’un dé à six faces en Python, la fonction randint renvoie un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 6 inclus.

📌 Dans le jeu étudié, on gagne lorsque le dé donne 1 ou 6, et l’on perd pour les quatre autres résultats.

• Pour simuler n parties, on répète n fois le lancer du dé et on compte le nombre de parties gagnées.

📖 3. Loi des grands nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi des grands nombres : Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur 10 lancers remportés 3 fois, la fréquence de jeu gagné est $\frac{3}{10}$.

📐 Formule — Pour afficher la fréquence des gains, il faut renvoyer $\frac{s}{n}$ au lieu de renvoyer l’effectif s.

Compléments

• Dans le programme, la variable n indique le nombre de lancers et la variable s compte le nombre de gains, c’est-à-dire les résultats 1 ou 6.

📖 4. Estimation d’une probabilité

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité théorique de gagner est $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, car les issues gagnantes sont 1 et 6 parmi les 6 faces du dé.

• On répète N fois la simulation d’un échantillon de n lancers afin d’étudier les cas où l’écart entre la fréquence f et la probabilité p est inférieur ou égal à $\frac{1}{\sqrt n}$.

• Pour n suffisamment grand, la fréquence f fournit une bonne estimation de la probabilité p dans environ 95 % des cas.

Compléments

• Lorsque n augmente, les fréquences observées semblent se rapprocher de la valeur théorique $\frac{1}{3}$.

📊 Tableaux de synthèse

Échantillon et population