Fiche de révision : Échantillonnage et intervalles de confiance

📋 Plan du Cours

1. Population et échantillon
2. Variabilité et erreur standard
3. Théorème central limite
4. Estimateur et estimate
5. Qualités d’un bon estimateur
6. Interprétation des intervalles
7. Intervalle d’une moyenne
8. Intervalle d’une proportion

📖 1. Population et échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble du groupe que l’on veut étudier.
• Échantillon : Partie de la population utilisée pour faire une inférence sur celle-ci.

📝 Points essentiels

• Dans un mariage de 300 invités, la population est de taille N = 300 et un échantillon de 20 invités a une taille n = 20.

💡 Astuce mémo

Population = tout le groupe ; échantillon = une partie sélectionnée

📖 2. Variabilité et erreur standard

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur standard : Dispersion des moyennes obtenues à partir de différents échantillons.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’erreur standard de la moyenne vérifie $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

💡 Astuce mémo

n augmente → l’erreur standard diminue

📖 3. Théorème central limite

📝 Points essentiels

• Lorsque les observations sont indépendantes et identiquement distribuées, la distribution des moyennes d’échantillons devient approximativement normale quand la taille de l’échantillon est suffisamment grande, souvent lorsque n > 30.

💡 Astuce mémo

Les moyennes de grands échantillons forment une cloche normale

📖 4. Estimateur et estimate

★ À maîtriser

📌 Un estimator est la méthode ou la règle utilisée pour estimer un paramètre, tandis qu’un estimate est la valeur numérique effectivement obtenue.

Compléments

• Calculer la moyenne d’un échantillon constitue un estimator, tandis que x̄ = 34 est un estimate.

💡 Astuce mémo

Estimator = méthode ; estimate = valeur obtenue

📖 5. Qualités d’un bon estimateur

★ À maîtriser

📌 Un bon estimateur est unbiased, c’est-à-dire qu’il ne présente pas d’erreur systématique.

📌 Un estimateur est consistent si, lorsque n augmente, le risque qu’il soit éloigné de la vraie valeur diminue.

Compléments

📌 Un estimateur efficient tend à être le plus précis parmi plusieurs estimateurs pour une même taille d’échantillon, tandis qu’un estimateur robust est peu sensible aux valeurs aberrantes.

• La médiane est plus robuste que la moyenne face aux outliers.

📖 6. Interprétation des intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance : Plage de valeurs destinée à contenir la vraie valeur d’un paramètre.

★ À maîtriser

📌 Dans l’interprétation fréquentiste, un niveau de confiance de 95 % signifie qu’en répétant la procédure un grand nombre de fois, environ 95 % des intervalles construits contiendraient la vraie moyenne μ.

📌 À mesure que le niveau de confiance augmente, l’intervalle devient plus large : un intervalle à 90 % est plus étroit, celui à 95 % est intermédiaire et celui à 99 % est plus large.

Compléments

📐 Formule — Pour un niveau de confiance de 95 %, le risque associé vaut $\alpha = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$.

💡 Astuce mémo

Confiance plus élevée = intervalle plus large

📖 7. Intervalle d’une moyenne

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque σ est connu, l’intervalle de confiance d’une moyenne vérifie $CI = \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

📐 Formule — La marge d’erreur d’une moyenne avec σ connu vérifie $ME = z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

📐 Formule — Lorsque σ est inconnu, l’intervalle de confiance d’une moyenne vérifie $CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$.

📌 Lorsque σ est inconnu, on le remplace par l’écart-type observé s et on utilise la distribution t de Student avec $df = n - 1$ degrés de liberté.

Compléments

• Pour n = 50, x̄ = 34, s = 6 et un niveau de confiance de 95 %, on utilise df = 49 et l’intervalle indiqué est environ [32,33 ; 35,66].

💡 Astuce mémo

σ connu → z ; σ inconnu → s et Student

📖 8. Intervalle d’une proportion

★ À maîtriser

📐 Formule — L’intervalle de confiance d’une proportion vérifie $CI = p \pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.

📌 Pour l’approximation de l’intervalle d’une proportion, il faut notamment que np et n(1 − p) soient tous deux supérieurs à 5.

Compléments

• Pour 25 gauchers sur 100, la proportion observée vaut p = 0,25 et, pour un niveau de confiance de 95 %, la valeur critique indiquée est Z = 1,96.

📊 Tableaux de synthèse

Estimator et estimate

Intervalles selon le paramètre