QCM : Échantillonnage et intervalles de confiance — 19 questions

Question 1

1. Dans une étude portant sur tous les étudiants d’une université, que désigne la population ?

Un groupe d’étudiants sélectionnés pour participer à l’étude

La moyenne calculée à partir des étudiants interrogés

L’ensemble des étudiants que l’étude cherche à décrire

La liste des variables mesurées auprès des participants

Explication

La population correspond à l’ensemble du groupe que l’étude cherche à étudier. Un groupe sélectionné parmi ces étudiants constitue plutôt un échantillon, utilisé pour inférer des résultats sur la population.

Answer

L’ensemble des étudiants que l’étude cherche à décrire

Question 2

2. Une chercheuse interroge 150 habitants choisis parmi les 12 000 habitants d’une ville afin d’estimer leur opinion : que représente le groupe interrogé ?

Une mesure de la variabilité des opinions municipales

Une estimation indépendante du nombre total d’habitants

Un échantillon utilisé pour inférer les résultats sur la ville

La population complète décrite par l’enquête

Explication

Les 150 habitants forment une partie de la population et constituent donc un échantillon. Les 12 000 habitants représentent la population sur laquelle l’inférence est réalisée.

Answer

Un échantillon utilisé pour inférer les résultats sur la ville

Question 3

3. Que décrit l’erreur standard dans une étude fondée sur plusieurs échantillons ?

La dispersion des moyennes obtenues avec différents échantillons

La proportion d’individus correctement sélectionnés dans chaque échantillon

La dispersion des observations individuelles dans la population

La différence entre la taille de la population et celle de l’échantillon

Explication

L’erreur standard décrit la dispersion des moyennes calculées à partir de différents échantillons. L’écart-type de la population, en revanche, décrit la dispersion des observations individuelles dans cette population.

Answer

La dispersion des moyennes obtenues avec différents échantillons

Question 4

4. Si l’écart-type de la population vaut $\sigma = 12$ et que la taille de l’échantillon est $n = 36$ , quelle est l’erreur standard de la moyenne ?

SE = 3

SE = 2

SE = 72

SE = 6

Explication

La formule donne $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2$ . La valeur $3$ correspondrait à une division par $4$ plutôt que par $\sqrt{36}$ .

Answer

$$SE = 2$$

Question 5

5. Que prévoit le théorème central limite lorsque les observations sont indépendantes et identiquement distribuées et que $n$ devient suffisamment grand ?

La dispersion de la population disparaît à mesure que la taille augmente

Chaque observation individuelle devient égale à la moyenne de son échantillon

La distribution des moyennes d’échantillons devient approximativement normale

La population étudiée devient nécessairement distribuée selon une loi normale

Explication

Le théorème central limite concerne la distribution des moyennes d’échantillons, qui devient approximativement normale lorsque la taille de l’échantillon est suffisamment grande. Il n’affirme pas que la population elle-même devient normale.

Answer

La distribution des moyennes d’échantillons devient approximativement normale

Question 6

6. Une population fortement asymétrique est échantillonnée par observations indépendantes et identiquement distribuées. Dans quelle situation l’approximation normale des moyennes d’échantillons devient-elle généralement pertinente ?

Lorsque la population est transformée en une population symétrique

Lorsque la taille de l’échantillon dépasse souvent 30 observations

Lorsque les observations cessent d’être indépendantes entre elles

Lorsque chaque échantillon contient environ 5 observations

Explication

Pour une taille suffisamment grande, souvent lorsque $n > 30$ , la distribution des moyennes peut être approximativement normale malgré l’asymétrie de la population. Une petite taille ou la dépendance entre observations ne fournit pas la condition décrite par le théorème.

Answer

Lorsque la taille de l’échantillon dépasse souvent 30 observations

Question 7

7. Quelle distinction décrit correctement un estimateur et un estimate ?

L’estimateur est une valeur numérique, tandis que l’estimate est une méthode de calcul

L’estimateur est une méthode, tandis que l’estimate est la valeur numérique obtenue

L’estimateur mesure l’erreur, tandis que l’estimate indique la taille de l’échantillon

L’estimateur est un intervalle, tandis que l’estimate est un niveau de confiance

Explication

Un estimateur désigne la règle ou la méthode utilisée pour estimer un paramètre, alors qu’un estimate est le résultat numérique produit. Confondre les deux revient à prendre la procédure de calcul pour sa valeur obtenue.

Answer

L’estimateur est une méthode, tandis que l’estimate est la valeur numérique obtenue

Question 8

8. Lorsqu’un échantillon donne $\bar{x}=34$ après le calcul de sa moyenne, que représente 34 dans cette situation ?

Un intervalle, c’est-à-dire une plage de valeurs possibles

Un estimateur, c’est-à-dire la règle de calcul appliquée aux données

Un paramètre, c’est-à-dire la vraie moyenne de la population étudiée

Un estimate, c’est-à-dire la valeur numérique issue de l’estimateur

Explication

La valeur $\bar{x}=34$ est l’estimate, car elle constitue le résultat numérique obtenu en appliquant la moyenne d’échantillon. Le calcul de la moyenne lui-même correspond à l’estimateur, et non à la valeur 34.

Answer

Un estimate, c’est-à-dire la valeur numérique issue de l’estimateur

Question 9

9. Quelle propriété indique qu’un estimateur ne présente pas d’erreur systématique ?

L’efficience par comparaison à d’autres estimateurs

L’absence de biais, ou unbiasedness

La consistance lorsque la taille de l’échantillon augmente

La robustesse face aux valeurs aberrantes

Explication

Un estimateur unbiased ne présente pas d’erreur systématique, car il n’est pas orienté durablement dans une même direction. La consistance concerne plutôt la réduction de l’éloignement lorsque la taille de l’échantillon augmente.

Answer

L’absence de biais, ou unbiasedness

Question 10

10. Un estimateur est considéré comme consistent lorsque la taille de l’échantillon augmente si quelle situation se produit ?

Son résultat devient moins sensible aux valeurs aberrantes

Son absence d’erreur systématique est garantie dans chaque échantillon

Sa précision devient supérieure à celle de tous les autres estimateurs

Le risque qu’il soit éloigné de la vraie valeur diminue

Explication

La consistance signifie que l’estimateur a de moins en moins de risques d’être éloigné de la vraie valeur quand $n$ augmente. Comparer la précision de plusieurs estimateurs à taille fixée relève de l’efficience, et non de la consistance.

Answer

Le risque qu’il soit éloigné de la vraie valeur diminue

Question 11

11. Quelle est la fonction principale d’un intervalle de confiance ?

Donner la probabilité que le paramètre change pendant l’étude statistique

Comparer la robustesse de plusieurs estimateurs sur un même échantillon

Indiquer la valeur numérique exacte du paramètre dans la population

Fournir une plage de valeurs destinée à contenir la vraie valeur du paramètre

Explication

Un intervalle de confiance fournit une plage de valeurs construite pour contenir la vraie valeur d’un paramètre. Il ne décrit pas une variation aléatoire du paramètre et ne donne pas nécessairement sa valeur exacte.

Answer

Fournir une plage de valeurs destinée à contenir la vraie valeur du paramètre

Question 12

12. Dans l’interprétation fréquentiste, que signifie un niveau de confiance de 95 % ?

Dans 95 % des échantillons, la moyenne observée est égale à la vraie moyenne

\mu

En répétant la procédure, environ 95 % des intervalles contiendraient la vraie moyenne

\mu

Pour l’intervalle calculé, la probabilité que la vraie moyenne

\mu

s’y trouve est de 95 %

La vraie moyenne

\mu

varie aléatoirement dans l’intervalle avec une probabilité de 95 %

Explication

Le niveau de 95 % concerne la performance de la procédure lors d’un grand nombre de répétitions : environ 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient $\mu$ . Il ne représente pas la probabilité attribuée à $\mu$ dans un intervalle particulier.

Answer

En répétant la procédure, environ 95 % des intervalles contiendraient la vraie moyenne $$\mu$$

Question 13

13. Comment évolue la largeur d’un intervalle lorsque le niveau de confiance passe de 90 % à 95 %, puis à 99 % ?

Elle augmente progressivement : l’intervalle à 90 % est le plus étroit et celui à 99 % le plus large

Elle reste identique, car seul le niveau de confiance change dans l’interprétation

Elle varie sans ordre déterminé selon la moyenne observée dans l’échantillon

Elle diminue progressivement : l’intervalle à 90 % est le plus large et celui à 99 % le plus étroit

Explication

Un niveau de confiance plus élevé exige une plage plus large : l’intervalle à 90 % est le plus étroit, celui à 95 % est intermédiaire et celui à 99 % est le plus large. L’augmentation du niveau de confiance ne laisse donc pas la largeur inchangée.

Answer

Elle augmente progressivement : l’intervalle à 90 % est le plus étroit et celui à 99 % le plus large

Question 14

14. Lorsque l’écart-type de la population est connu, quelle expression donne l’intervalle de confiance d’une moyenne ?

\bar{x} \pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}

\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

p \pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{s}{n}

Explication

Lorsque $\sigma$ est connu, l’intervalle utilise la loi normale et la marge $z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . La formule avec $t$ et $s$ correspond au cas où l’écart-type de la population est inconnu.

Answer

$$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Question 15

15. Une étude estime une moyenne avec un écart-type de population connu. Quelle quantité représente la marge d’erreur de l’estimation ?

z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{n}

z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}

\sqrt{\frac{\bar{x}(1-\bar{x})}{n}}

Explication

Avec un écart-type connu, la marge d’erreur est le produit de la valeur critique normale par $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . L’expression fondée sur $t$ et $s$ s’emploie lorsque $\sigma$ est estimé à partir de l’échantillon.

Answer

$$z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Question 16

16. Pour estimer une moyenne lorsque l’écart-type de la population est inconnu, quelle combinaison convient ?

La moyenne observée

\bar{x}

et une loi normale sans degrés de liberté

L’écart-type connu

\sigma

et la loi normale avec une valeur critique

z

La proportion observée

p

et une approximation binomiale

L’écart-type observé

s

et la loi t de Student avec

n-1

degrés de liberté

Explication

Lorsque $\sigma$ est inconnu, on le remplace par l’écart-type observé $s$ et on utilise la loi t de Student avec $df=n-1$ . La loi normale avec $z$ est associée au cas où $\sigma$ est connu.

Answer

L’écart-type observé $$s$$ et la loi t de Student avec $$n-1$$ degrés de liberté

Question 17

17. Lorsque l’écart-type de la population est inconnu, quelle formule donne l’intervalle de confiance d’une moyenne ?

\bar{x} \pm t_{\alpha/2}\frac{s}{n}

p \pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

\bar{x} \pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}

Explication

Dans ce cas, l’écart-type observé $s$ remplace $\sigma$ et la valeur critique provient de la loi t de Student. La formule avec $z$ et $\sigma$ s’applique lorsque l’écart-type de la population est connu.

Answer

$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

Question 18

18. Quelle expression correspond à l’intervalle de confiance d’une proportion observée ?

\bar{x} \pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}

p \pm Z_{\alpha/2}\frac{p(1-p)}{n}

\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

p \pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

Explication

L’intervalle d’une proportion utilise la proportion observée $p$ et l’erreur standard $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Les expressions fondées sur $\bar{x}$ concernent l’intervalle d’une moyenne.

Answer

$$p \pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

Question 19

19. Quelle condition doit notamment être vérifiée pour utiliser l’approximation de l’intervalle d’une proportion ?

np<5

et

n(1-p)<5

s>5

et

\sigma>5

np>5

et

n(1-p)>5

n\bar{x}>5

et

n(1-\bar{x})>5

Explication

L’approximation requiert que les deux quantités $np$ et $n(1-p)$ soient supérieures à 5. Les conditions portant sur une moyenne ou sur les écarts-types ne vérifient pas la règle spécifique à une proportion.

Answer

$$np>5$$ et $$n(1-p)>5$$

QCM : Échantillonnage et intervalles de confiance — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans une étude portant sur tous les étudiants d’une université, que désigne la population ?

2. Une chercheuse interroge 150 habitants choisis parmi les 12 000 habitants d’une ville afin d’estimer leur opinion : que représente le groupe interrogé ?

3. Que décrit l’erreur standard dans une étude fondée sur plusieurs échantillons ?

4. Si l’écart-type de la population vaut $\sigma = 12$ et que la taille de l’échantillon est $n = 36$ , quelle est l’erreur standard de la moyenne ?

5. Que prévoit le théorème central limite lorsque les observations sont indépendantes et identiquement distribuées et que $n$ devient suffisamment grand ?

6. Une population fortement asymétrique est échantillonnée par observations indépendantes et identiquement distribuées. Dans quelle situation l’approximation normale des moyennes d’échantillons devient-elle généralement pertinente ?

7. Quelle distinction décrit correctement un estimateur et un estimate ?

8. Lorsqu’un échantillon donne $\bar{x}=34$ après le calcul de sa moyenne, que représente 34 dans cette situation ?

9. Quelle propriété indique qu’un estimateur ne présente pas d’erreur systématique ?

10. Un estimateur est considéré comme consistent lorsque la taille de l’échantillon augmente si quelle situation se produit ?

11. Quelle est la fonction principale d’un intervalle de confiance ?

12. Dans l’interprétation fréquentiste, que signifie un niveau de confiance de 95 % ?

13. Comment évolue la largeur d’un intervalle lorsque le niveau de confiance passe de 90 % à 95 %, puis à 99 % ?

14. Lorsque l’écart-type de la population est connu, quelle expression donne l’intervalle de confiance d’une moyenne ?

15. Une étude estime une moyenne avec un écart-type de population connu. Quelle quantité représente la marge d’erreur de l’estimation ?

16. Pour estimer une moyenne lorsque l’écart-type de la population est inconnu, quelle combinaison convient ?

17. Lorsque l’écart-type de la population est inconnu, quelle formule donne l’intervalle de confiance d’une moyenne ?

18. Quelle expression correspond à l’intervalle de confiance d’une proportion observée ?

19. Quelle condition doit notamment être vérifiée pour utiliser l’approximation de l’intervalle d’une proportion ?

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Questions et réponses du QCM

1. Dans une étude portant sur tous les étudiants d’une université, que désigne la population ?

2. Une chercheuse interroge 150 habitants choisis parmi les 12 000 habitants d’une ville afin d’estimer leur opinion : que représente le groupe interrogé ?

3. Que décrit l’erreur standard dans une étude fondée sur plusieurs échantillons ?

4. Si l’écart-type de la population vaut σ=12\sigma = 12σ=12 et que la taille de l’échantillon est n=36n = 36n=36, quelle est l’erreur standard de la moyenne ?

5. Que prévoit le théorème central limite lorsque les observations sont indépendantes et identiquement distribuées et que nnn devient suffisamment grand ?

6. Une population fortement asymétrique est échantillonnée par observations indépendantes et identiquement distribuées. Dans quelle situation l’approximation normale des moyennes d’échantillons devient-elle généralement pertinente ?

7. Quelle distinction décrit correctement un estimateur et un estimate ?

8. Lorsqu’un échantillon donne xˉ=34\bar{x}=34xˉ=34 après le calcul de sa moyenne, que représente 34 dans cette situation ?

9. Quelle propriété indique qu’un estimateur ne présente pas d’erreur systématique ?

10. Un estimateur est considéré comme consistent lorsque la taille de l’échantillon augmente si quelle situation se produit ?

11. Quelle est la fonction principale d’un intervalle de confiance ?

12. Dans l’interprétation fréquentiste, que signifie un niveau de confiance de 95 % ?

13. Comment évolue la largeur d’un intervalle lorsque le niveau de confiance passe de 90 % à 95 %, puis à 99 % ?

14. Lorsque l’écart-type de la population est connu, quelle expression donne l’intervalle de confiance d’une moyenne ?

15. Une étude estime une moyenne avec un écart-type de population connu. Quelle quantité représente la marge d’erreur de l’estimation ?

16. Pour estimer une moyenne lorsque l’écart-type de la population est inconnu, quelle combinaison convient ?

17. Lorsque l’écart-type de la population est inconnu, quelle formule donne l’intervalle de confiance d’une moyenne ?

18. Quelle expression correspond à l’intervalle de confiance d’une proportion observée ?

19. Quelle condition doit notamment être vérifiée pour utiliser l’approximation de l’intervalle d’une proportion ?

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4. Si l’écart-type de la population vaut $\sigma = 12$ et que la taille de l’échantillon est $n = 36$ , quelle est l’erreur standard de la moyenne ?

5. Que prévoit le théorème central limite lorsque les observations sont indépendantes et identiquement distribuées et que $n$ devient suffisamment grand ?

8. Lorsqu’un échantillon donne $\bar{x}=34$ après le calcul de sa moyenne, que représente 34 dans cette situation ?