Fiche de révision : Électricité générale et régimes transitoires

📋 Plan du Cours

1. Éléments et lois des circuits
2. Grandeurs électriques fondamentales
3. Dipôles et conventions électriques
4. Réseaux et lois de Kirchhoff
5. Applications aux réseaux résistifs
6. Régimes transitoires et équations
7. Dipôles passifs dynamiques
8. Associations en régime variable
9. Puissance et énergie du condensateur
10. Associations de dipôles variables
11. Méthode des régimes transitoires
12. États initiaux et finaux
13. Résolution des circuits transitoires
14. Réponses des circuits RC et RL
15. Oscillations du circuit LC
16. Bilan condensateurs et bobines

📖 1. Éléments et lois des circuits

★ À maîtriser

• Les principaux éléments d’un circuit sont: un générateur, des interrupteurs, des résistances, des lampes, des moteurs, des diodes et des DEL, des condensateurs et des bobines, un ampèremètre et un voltmètre

📐 Formule — La loi des nœuds s’écrit comme l’égalité entre la somme algébrique des courants entrants et sortants, par exemple $i_1+i_2+i_4=i_3+i_5$.

📐 Formule — La loi des mailles stipule que la somme algébrique des tensions parcourant une maille est nulle, par exemple $U_g-U_m-U_l-U_r=0$.

📐 Formule — La loi d’Ohm relie la tension, la résistance et l’intensité selon $U=RI$.

📐 Formule — La puissance électrique vérifie $P=UI$, avec P en watts, U en volts et I en ampères.

Compléments

📐 Formule — L’énergie échangée pendant une durée Δt vérifie $E=P\Delta t$, avec E en joules et Δt en secondes.

📖 2. Grandeurs électriques fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Intensité du courant : Débit de charges électriques traversant une surface orientée par unité de temps.
• Tension électrique : Différence de potentiel entre deux points, notamment entre les bornes d’un dipôle.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’intensité électrique instantanée vérifie $I=\frac{dQ}{dt}$ et s’exprime en ampères, avec $1\,\mathrm{C}=1\,\mathrm{A}\cdot\mathrm{s}$.

📐 Formule — La tension entre A et B vérifie $U_{AB}=V_A-V_B$ et s’exprime en volts, avec $1\,\mathrm{V}=1\,\mathrm{J}\cdot\mathrm{C}^{-1}$.

• Un ampèremètre se branche en série et possède idéalement une résistance nulle, tandis qu’un voltmètre se branche en dérivation et possède idéalement une résistance infinie.

Compléments

• Dans les solides, les porteurs de charge mobiles sont les électrons, de charge $-e=-1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{C}$, et leur déplacement est opposé au sens conventionnel du courant.

📐 Formule — La charge d’un condensateur vérifie $q=CU_c$, où C est sa capacité en farads et Uc la tension à ses bornes.

💡 Astuce mémo

Courant = débit de charges ; tension = différence de potentiels

📖 3. Dipôles et conventions électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle : Ensemble de composants électriques relié à l’extérieur par deux bornes et caractérisé par la relation entre le courant qui le traverse et la tension à ses bornes.

★ À maîtriser

📌 En convention récepteur, les flèches du courant et de la tension sont opposées et la puissance $P=UI$ représente la puissance transférée du circuit vers le dipôle ; en convention générateur, elles sont dans le même sens et P représente la puissance fournie par le dipôle au circuit.

📐 Formule — Une résistance en convention récepteur vérifie $U=RI$ avec R>0 et sa puissance dissipée vaut $P=UI=RI^2=\frac{U^2}{R}$. — Georg Simon Ohm, 1827

📐 Formule — Un générateur de tension idéal impose une tension constante $U=E$, tandis qu’un générateur de courant idéal impose un courant constant $I=I_0$.

Compléments

📐 Formule — La résistance d’un fil homogène de longueur L et de section S vérifie $R=\rho\frac{L}{S}$, où ρ est la résistivité du matériau.

💡 Astuce mémo

Récepteur : le circuit fournit ; générateur : le dipôle fournit

📖 4. Réseaux et lois de Kirchhoff

🔑 Notions clés & Définitions

• Réseau électrique : Ensemble de dipôles reliés entre eux par des fils conducteurs parfaits de résistance nulle.
• Nœud : Point du circuit relié par des fils conducteurs à au moins trois dipôles.
• Branche : Portion du circuit comprise entre deux nœuds voisins, dans laquelle le courant est identique en tout point.
• Maille : Ensemble de branches formant un circuit fermé sans repasser deux fois par le même nœud.

📝 Points essentiels

• Pour construire un ensemble de mailles indépendantes, on choisit une première maille puis on ajoute des mailles apportant chacune au moins une branche ou un dipôle non pris en compte auparavant.

💡 Astuce mémo

Conservation des charges → loi des nœuds ; conservation des potentiels → loi des mailles

📖 5. Applications aux réseaux résistifs

★ À maîtriser

📐 Formule — Deux résistances en série ont une résistance équivalente $R_{eq}=R_1+R_2$, supérieure à chacune des résistances.

📐 Formule — Deux résistances en parallèle ont une résistance équivalente $R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$, inférieure à chacune des résistances.

📐 Formule — Pour deux résistances en série soumises à une tension U, le diviseur de tension donne $U_1=U\frac{R_1}{R_1+R_2}$.

📐 Formule — Pour deux résistances en parallèle parcourues par un courant total I, le diviseur de courant donne $I_1=I\frac{R_2}{R_1+R_2}$.

Compléments

• La simplification d’un réseau résistif consiste à remplacer successivement les résistances en série ou en parallèle par leurs résistances équivalentes, puis à calculer le courant total et les grandeurs de chaque branche.

💡 Astuce mémo

Série : même courant ; parallèle : même tension

📖 6. Régimes transitoires et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime transitoire : Période pendant laquelle les tensions et les courants évoluent après une modification du circuit, avant l’atteinte du régime permanent.

★ À maîtriser

• L’étude d’un régime transitoire vise à déterminer l’état initial, l’état final, la durée caractéristique et l’évolution temporelle des grandeurs.

📐 Formule — Une équation différentielle linéaire du premier ordre s’écrit $\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=b$ et possède une solution $y(t)=Ke^{-at}+\frac{b}{a}$.

📐 Formule — Pour l’équation du premier ordre, la constante de temps vérifie $\tau=\frac{1}{a}$ et la valeur asymptotique finale vaut $\frac{b}{a}$.

Compléments

📐 Formule — Dans le cas de l’oscillateur harmonique, l’équation du deuxième ordre est $\frac{d^2y(t)}{dt^2}+\omega_0^2y(t)=0$ et sa solution est $y(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi)$.

💡 Astuce mémo

État initial → mise en équations → état final

📖 7. Dipôles passifs dynamiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Une bobine idéale vérifie, en convention récepteur, $u_L(t)=L\frac{di_L(t)}{dt}$, où L est son inductance en henrys.

📌 Le courant dans une bobine est continu, car une discontinuité de courant nécessiterait une tension infinie.

📌 En régime continu établi, une bobine idéale se comporte comme un fil sans résistance et sa tension est nulle.

📐 Formule — Un condensateur vérifie $i_C(t)=C\frac{du_C(t)}{dt}$ et $u_C(t)=\frac{q(t)}{C}$, où C est sa capacité.

📌 La tension aux bornes d’un condensateur est continue, car une discontinuité de tension nécessiterait un courant infini.

📌 En régime continu permanent, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et son courant est nul.

Compléments

📐 Formule — L’énergie stockée dans une bobine vaut $\varepsilon_L=\frac{Li_L^2}{2}$.

💡 Astuce mémo

Bobine : courant continu ; condensateur : tension continue

📖 8. Associations en régime variable

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des dipôles de même nature en série, les équivalents vérifient $R_{eq}=R_1+R_2$, $C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$ et $L_{eq}=L_1+L_2$.

📐 Formule — Pour des dipôles de même nature en parallèle, les équivalents vérifient $\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$, $C_{eq}=C_1+C_2$ et $\frac{1}{L_{eq}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}$.

Compléments

• Dans une branche contenant plusieurs dipôles en régime variable, l’ordre des dipôles ne modifie ni le courant de la branche ni la tension entre ses extrémités.

📖 9. Puissance et énergie du condensateur

📝 Points essentiels

📐 Formule — La puissance fournie au condensateur en convention récepteur vérifie $P_C(t)=u_C(t)i_C(t)=C u_C(t)\frac{du_C(t)}{dt}$.

📐 Formule — L'énergie électrostatique stockée dans un condensateur, choisie nulle lorsque sa tension est nulle, vaut $\varepsilon_C=\frac{1}{2}Cu_C^2$.

💡 Astuce mémo

Charge reçue → énergie stockée → décharge fournie

📖 10. Associations de dipôles variables

📝 Points essentiels

📌 Dans une association de dipôles en régime variable, les lois des nœuds et des mailles restent applicables et l'ordre des dipôles dans une même branche ne modifie ni le courant de branche ni la tension à ses extrémités.

📐 Formule — En parallèle, les équivalents vérifient $\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$, $C_{eq}=C_1+C_2$ et $\frac{1}{L_{eq}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}$.

📖 11. Méthode des régimes transitoires

📝 Points essentiels

• 🔄 L'étude suit les étapes suivantes:
  1. Identifier l'état initial
  2. Prévoir l'état final
  3. Établir les équations et l'équation différentielle
  4. Résoudre l'équation différentielle
  5. Déterminer les autres grandeurs

💡 Astuce mémo

Initial → final → équation → solution → autres grandeurs

📖 12. États initiaux et finaux

★ À maîtriser

📌 À l'instant $t=0^+$, la tension aux bornes d'un condensateur et l'intensité traversant une bobine sont continues par rapport à leurs valeurs juste avant le déclenchement.

📌 En régime continu final, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert car $\frac{du_C}{dt}=0$ et une bobine comme un fil de résistance nulle car $\frac{di_L}{dt}=0$.

Compléments

• Dans un circuit RC initialement déchargé, le condensateur se comporte comme un fil à $t=0^+$ et comme un interrupteur ouvert à l'état final.

• Dans un circuit RL initialement au repos, la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert à $t=0^+$ et comme un fil à l'état final.

💡 Astuce mémo

Condensateur ouvert au régime final, bobine fil au régime final

📖 13. Résolution des circuits transitoires

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une équation différentielle du premier ordre tendant vers un régime continu, $\frac{ds(t)}{dt}+\frac{s(t)}{\tau}=\frac{s_{fin}}{\tau}$ possède la solution $s(t)=s_{fin}+(s_{début}-s_{fin})e^{-t/\tau}$.

📖 14. Réponses des circuits RC et RL

★ À maîtriser

📐 Formule — Lors de la décharge d'un condensateur initialement chargé à $u_C(0^+)=\frac{q_0}{C}$ dans une résistance R, la tension vérifie $u_C(t)=\frac{q_0}{C}e^{-t/(RC)}$ et la constante de temps vaut $\tau=RC$.

📐 Formule — Lors de la charge d'un condensateur par un générateur de tension E et une résistance R, $u_C(t)=E(1-e^{-t/(RC)})$, $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/(RC)}$ et $u_R(t)=Ee^{-t/(RC)}$.

📐 Formule — Lors de l'établissement du courant dans un circuit RL alimenté par E, $i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-Rt/L})$, $u_L(t)=Ee^{-Rt/L}$ et $u_R(t)=E(1-e^{-Rt/L})$, avec $\tau=\frac{L}{R}$.

Compléments

📐 Formule — Pendant la décharge, le courant et la tension aux bornes de la résistance vérifient $i(t)=-\frac{q_0}{RC}e^{-t/(RC)}$ et $u_R(t)=-\frac{q_0}{C}e^{-t/(RC)}$.

💡 Astuce mémo

RC charge une tension, RL établit un courant

📖 15. Oscillations du circuit LC

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un circuit LC non alimenté, la tension du condensateur vérifie $\frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{1}{LC}u_C=0$ et, pour $u_C(0^+)=u_0$ et $i(0^+)=0$, sa solution est $u_C(t)=u_0\cos(\omega_0t)$ avec $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

📌 Dans le circuit LC idéal, le condensateur et la bobine échangent de la puissance avec $P_C(t)+P_L(t)=0$, sans dissipation thermique.

Compléments

📐 Formule — Dans le circuit LC, la période et la fréquence vérifient $T=\frac{2\pi}{\omega_0}$ et $f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}$.

• La tension de la bobine est en opposition de phase avec celle du condensateur, tandis que le courant est déphasé de $\pi/2$ par rapport à la tension du condensateur.

💡 Astuce mémo

L et C échangent alternativement leur énergie comme deux réservoirs

📖 16. Bilan condensateurs et bobines

📝 Points essentiels

📌 Une résistance dissipe l'énergie sous forme de chaleur, tandis qu'un condensateur et une bobine peuvent stocker puis restituer de l'énergie au circuit.

📊 Tableaux de synthèse

Conventions des dipôles

Comportement final des dipôles