Fiche de révision : Espaces préhilbertiens réels

📋 Plan du Cours

1. Produits scalaires réels
2. Normes et identités fondamentales
3. Inégalités de Cauchy et triangulaire
4. Orthogonalité et espaces orthogonaux
5. Familles orthogonales et orthonormales
6. Orthonormalisation de Gram-Schmidt
7. Bases orthonormées et coordonnées
8. Supplémentaire orthogonal
9. Projections et distances

📖 1. Produits scalaires réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Forme bilinéaire, symétrique, définie et positive à valeurs réelles.
• Espace préhilbertien réel : Espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire.

★ À maîtriser

• Le produit scalaire canonique sur R^n est défini par $\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k$ et, sous forme matricielle, par $\langle X,Y\rangle=X^T Y$.

Compléments

• Sur l'espace des fonctions continues de [a,b] dans R, le produit scalaire est défini par $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)\,dt$.

💡 Astuce mémo

BSPD : bilinéaire, symétrique, positive, définie

📖 2. Normes et identités fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme euclidienne : Application définie par $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$.
• Distance euclidienne : Distance associée à la norme par $d(x,y)=\|x-y\|$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous λ réel et x, $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$, et $\|x\|=0$ si et seulement si x=0.

📐 Formule — L'identité remarquable est $\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2$.

Compléments

📐 Formule — La formule de polarisation permet de retrouver le produit scalaire par $\langle x,y\rangle=\frac12\left(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\right)$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire → norme → distance

📖 3. Inégalités de Cauchy et triangulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme : Une application d'un espace vectoriel réel dans R+ est une norme si elle vérifie la séparabilité, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire.

★ À maîtriser

📐 Formule — L'inégalité de Cauchy-Schwarz est $|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\|y\|$, avec égalité si et seulement si x et y sont colinéaires.

📐 Formule — L'inégalité triangulaire est $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$, avec égalité si et seulement si x et y sont colinéaires et de même sens.

Compléments

📐 Formule — Pour des fonctions continues, Cauchy-Schwarz donne $\left|\int_a^b f(t)g(t)\,dt\right|\leq\sqrt{\int_a^b f(t)^2\,dt}\sqrt{\int_a^b g(t)^2\,dt}$.

💡 Astuce mémo

Cauchy borne le produit scalaire ; triangulaire borne la somme des normes

📖 4. Orthogonalité et espaces orthogonaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité : Deux vecteurs x et y vérifient $\langle x,y\rangle=0$.
• Orthogonal d'une partie : L'orthogonal d'une partie A de E est $A^\perp=\{x\in E\mid\forall a\in A,\ \langle x,a\rangle=0\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le théorème de Pythagore s'écrit $x\perp y\Longleftrightarrow\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$.

Compléments

📌 Si A=Vect(x_1,…,x_n), alors x appartient à A⊥ si et seulement si $\langle x,x_i\rangle=0$ pour tout i de 1 à n.

📌 Si A⊂B, alors $B^\perp\subset A^\perp$ et toujours $A\subset(A^\perp)^\perp$.

💡 Astuce mémo

A ⊂ B entraîne B⊥ ⊂ A⊥

📖 5. Familles orthogonales et orthonormales

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille orthogonale : Famille dont les vecteurs distincts deux à deux ont un produit scalaire nul.
• Famille orthonormale : Famille orthogonale dont chacun des vecteurs est de norme 1.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une famille orthogonale, $\left\|\sum_{i=1}^n x_i\right\|^2=\sum_{i=1}^n\|x_i\|^2$, et pour une famille orthonormale cette somme vaut n.

📌 Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre, donc toute famille orthonormale est libre.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité des vecteurs non nuls → liberté linéaire

📖 6. Orthonormalisation de Gram-Schmidt

★ À maîtriser

• Le procédé de Gram-Schmidt transforme une famille libre en une famille orthonormale en retirant successivement les projections sur les vecteurs déjà construits, puis en normalisant le vecteur résiduel.

📐 Formule — À l'étape k+1, le vecteur résiduel est $v_{k+1}=x_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}\langle e_i,x_{k+1}\rangle e_i$ et $e_{k+1}=\frac{v_{k+1}}{\|v_{k+1}\|}$.

Compléments

📐 Formule — Le premier vecteur construit est $e_1=\frac{x_1}{\|x_1\|}$ pour x_1 non nul.

📌 Pour une famille libre, Gram-Schmidt fournit l'unique famille orthonormale vérifiant Vect(e_1,…,e_k)=Vect(x_1,…,x_k) et ⟨e_k,x_k⟩>0 pour tout k.

💡 Astuce mémo

Projeter, soustraire, normaliser

📖 7. Bases orthonormées et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Base orthonormée : Famille qui est à la fois une base de l'espace et une famille orthonormale.

★ À maîtriser

📌 Tout espace euclidien possède une base orthonormée, obtenue en appliquant Gram-Schmidt à une base quelconque.

📐 Formule — Dans une base orthonormée (e_1,…,e_n), tout vecteur x s'écrit $x=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle e_k$.

📐 Formule — Si x et y ont pour coordonnées (x_1,…,x_n) et (y_1,…,y_n) dans une base orthonormée, alors $\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^n x_ky_k$ et $\|x\|=\sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$.

Compléments

📌 Toute famille orthonormale d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormée.

📖 8. Supplémentaire orthogonal

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal : Si H est un hyperplan d'un espace euclidien, H⊥ est une droite dont tout vecteur non nul est appelé vecteur normal à H.

📝 Points essentiels

📌 Pour un sous-espace F d'un espace euclidien, F et F⊥ sont en somme directe et $E=F\oplus F^\perp$.

📌 Si F est de dimension finie, F⊥ est l'unique supplémentaire de F dans E qui est orthogonal à F.

📐 Formule — Dans un espace euclidien, $\dim(F^\perp)=\dim(E)-\dim(F)$ et $\left(F^\perp\right)^\perp=F$.

💡 Astuce mémo

En dimension finie, F et F⊥ sont complémentaires ; en dimension infinie, pas toujours

📖 9. Projections et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : Projection sur F parallèlement à F⊥.
• Distance à une partie : Pour une partie non vide A et un vecteur x, la distance de x à A est $d(x,A)=\inf_{a\in A}\|x-a\|$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si (f_1,…,f_n) est une base orthonormée de F, la projection orthogonale de x sur F est $p(x)=\sum_{k=1}^n\langle x,f_k\rangle f_k$.

📌 Pour un sous-espace F de dimension finie, p(x) est l'unique élément de F qui réalise la distance de x à F et $d(x,F)=\|x-p(x)\|$.

💡 Astuce mémo

Décomposition orthogonale → projeté unique → distance minimale

📊 Tableaux de synthèse

Orthogonalité et orthonormalité