Qu'est-ce qu'un produit scalaire sur un espace vectoriel réel ?
Une forme bilinéaire, symétrique, définie et positive à valeurs réelles.
Qu'est-ce qu'un espace préhilbertien réel ?
Un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire.
Comment est défini le produit scalaire canonique sur R^n ?
Par la somme des produits des coordonnées correspondantes.
Quelle est la forme matricielle du produit scalaire canonique sur R^n ?
Le produit scalaire s'écrit X^T Y.
Comment est défini le produit scalaire sur l'espace des fonctions continues de [a,b] ?
Par l'intégrale de f(t)g(t) de a à b.
Comment se définit la norme euclidienne associée à un produit scalaire ?
Par la formule \(\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}\).
Comment se définit la distance euclidienne associée à une norme ?
Par \(d(x,y)=\|x-y\|\).
Quelle relation lie \(\|\lambda x\|\) à \(\|x\|\) pour un réel \(\lambda\) ?
\(\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|\).
Quand la norme \(\|x\|\) est-elle nulle ?
Si et seulement si \(x=0\).
Quelle est l'identité remarquable pour \(\|x+y\|^2\) ?
\(\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2\).
Comment exprime-t-on le produit scalaire \(\langle x,y\rangle\) avec la formule de polarisation ?
\(\langle x,y\rangle=\frac12(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2)\).
Quelle est l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour des vecteurs x et y ?
|⟨x,y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥.
Quand a-t-on égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour x et y ?
Si et seulement si x et y sont colinéaires.
Quelle inégalité donne Cauchy-Schwarz pour des fonctions continues f et g ?
|∫_a^b f(t)g(t) dt| ≤ √(∫_a^b f(t)^2 dt) √(∫_a^b g(t)^2 dt).
Quelle est l'inégalité triangulaire pour des vecteurs x et y ?
∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Quand a-t-on égalité dans l'inégalité triangulaire pour x et y ?
Si et seulement si x et y sont colinéaires et de même sens.
Quelles propriétés doit vérifier une application pour être une norme ?
La séparabilité, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire.
Qu'est-ce que signifie x⊥y pour deux vecteurs x et y ?
Ils sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
Quelle formule exprime le théorème de Pythagore avec l'orthogonalité ?
x⊥y équivaut à ||x+y||² = ||x||² + ||y||².
Comment se définit l'orthogonal d'une partie A de E ?
C'est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de A.
Quelle condition caractérise x dans A⊥ si A=Vect(x₁,…,xₙ) ?
x est orthogonal à chaque vecteur xᵢ de la famille génératrice.
Que vaut B⊥ si A⊂B ?
B⊥ est inclus dans A⊥.
Quelle inclusion est toujours vraie entre A et (A⊥)⊥ ?
A est inclus dans (A⊥)⊥.
Qu'est-ce qu'une famille orthogonale de vecteurs ?
Une famille dont les vecteurs distincts ont un produit scalaire nul.
Qu'impose une famille orthonormale sur la norme de ses vecteurs ?
Chaque vecteur a une norme égale à 1.
Quelles conditions définissent une famille orthonormale ?
Elle est orthogonale et chaque vecteur a une norme 1.
Quelle formule relie la norme au carré de la somme dans une famille orthogonale ?
La norme au carré de la somme est la somme des normes au carré.
Que vaut la somme des normes au carré dans une famille orthonormale de n vecteurs ?
Elle vaut n.
Quelle propriété de liberté possède une famille orthogonale de vecteurs non nuls ?
Elle est libre.
Quelle propriété de liberté possède une famille orthonormale ?
Elle est libre.
Quel est le but du procédé de Gram-Schmidt ?
Transformer une famille libre en une famille orthonormale.
Comment Gram-Schmidt construit-il chaque nouveau vecteur ?
En retirant successivement les projections sur les vecteurs déjà construits puis en normalisant.
Quelle est la formule du premier vecteur orthonormal e₁ ?
e₁ = x₁ divisé par sa norme, e₁ = x₁/∥x₁∥.
Comment calcule-t-on le vecteur résiduel v_{k+1} à l'étape k+1 ?
v_{k+1} = x_{k+1} moins la somme des projections sur e_i.
Comment obtient-on e_{k+1} à partir de v_{k+1} ?
En normalisant v_{k+1}, e_{k+1} = v_{k+1}/∥v_{k+1}∥.
Quelle propriété caractérise la famille orthonormale fournie par Gram-Schmidt ?
Vect(e₁,…,e_k) = Vect(x₁,…,x_k) et ⟨e_k,x_k⟩ > 0 pour tout k.
Qu'est-ce qu'une base orthonormée ?
Une famille qui est à la fois une base de l'espace et une famille orthonormale.
Comment obtient-on une base orthonormée dans un espace euclidien ?
En appliquant Gram-Schmidt à une base quelconque.
Que peut-on faire avec toute famille orthonormale dans un espace euclidien ?
La compléter en une base orthonormée.
Comment s'exprime un vecteur x dans une base orthonormée (e_1,…,e_n) ?
x s'écrit comme la somme des projections 0 chaque vecteur de la base.
Quelle est la formule du produit scalaire entre deux vecteurs x et y dans une base orthonormée ?
Le produit scalaire est la somme des produits de leurs coordonnees correspondantes.
Comment calcule-t-on la norme d'un vecteur x dans une base orthonormée ?
La norme est la racine carre9e de la somme des carre9s de ses coordonnees.
Quelle relation existe-t-il entre F et F⊥ dans un espace euclidien ?
F et F⊥ sont en somme directe.
Quelle est la décomposition de E par rapport à F et F⊥ ?
E se décompose en somme directe : E = F ⊕ F⊥.
Quelle propriété caractérise F⊥ si F est de dimension finie ?
F⊥ est l'unique supplémentaire orthogonal de F dans E.
Quelle formule relie la dimension de F⊥ à celle de F et E ?
dim(F⊥) = dim(E) - dim(F).
Que vaut (F⊥)⊥ dans un espace euclidien ?
(F⊥)⊥ = F.
Qu'est-ce que H⊥ si H est un hyperplan dans un espace euclidien ?
H⊥ est une droite.
Comment appelle-t-on un vecteur non nul de H⊥ ?
Un vecteur normal à H.
Qu'est-ce que la projection orthogonale sur un sous-espace F ?
C'est la projection sur F parallèlement à F⊥.
Quelle formule donne la projection orthogonale de x sur F avec une base orthonormée ?
p(x)=∑ₖ⟨x,f_k⟩f_k.
Comment se définit la distance de x à une partie A non vide ?
C'est l'infimum des normes ‖x−a‖ pour a dans A.
Que réalise p(x) pour un sous-espace F de dimension finie ?
p(x) est l'unique élément de F réalisant la distance de x à F.
Comment s'exprime la distance de x à F via p(x) ?
d(x,F)=‖x−p(x)‖.
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1. Laquelle de ces propriétés caractérise un produit scalaire réel ?
2. Comment appelle-t-on un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire ?
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