QCM : Espaces préhilbertiens réels — 29 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces propriétés caractérise un produit scalaire réel ?

Une application quadratique, non symétrique et toujours strictement positive
Une application affine, symétrique et indépendante des vecteurs choisis
Une forme seulement linéaire, antisymétrique et à valeurs complexes
Une forme bilinéaire, symétrique, définie positive et à valeurs réelles

Une forme bilinéaire, symétrique, définie positive et à valeurs réelles

Explication

Un produit scalaire réel est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive et à valeurs réelles. Ces propriétés garantissent notamment une notion cohérente d’angle et de longueur.

2. Comment appelle-t-on un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire ?

Un espace affine euclidien
Un espace normé complexe
Un espace préhilbertien réel
Un espace métrique abstrait

Un espace préhilbertien réel

Explication

Un espace préhilbertien réel est, par définition, un espace vectoriel réel équipé d’un produit scalaire.

3. Pour deux vecteurs X et Y de R^n, quelle expression représente le produit scalaire canonique sous forme matricielle ?

X^T Y
det(XY)
XY^T
X+Y

X^T Y

Explication

Le produit scalaire canonique s’écrit ⟨X,Y⟩ = X^T Y, ce qui équivaut à la somme finie des produits des coordonnées correspondantes.

4. Quelle formule définit la norme associée à un produit scalaire ?

∥x∥ = ⟨x,0⟩
∥x∥ = √⟨x,x⟩
∥x∥ = ⟨x,x⟩²
∥x∥ = 1/√⟨x,x⟩

∥x∥ = √⟨x,x⟩

Explication

La norme associée à un produit scalaire est la racine carrée de ⟨x,x⟩. Elle dépend donc du produit scalaire choisi, même si le vecteur reste inchangé.

5. Dans un espace muni d’une norme, comment définit-on la distance entre deux vecteurs x et y ?

d(x,y) = ⟨x,y⟩
d(x,y) = ∥x+y∥
d(x,y) = ∥x∥∥y∥
d(x,y) = ∥x−y∥

d(x,y) = ∥x−y∥

Explication

La distance entre x et y est la norme de leur différence, d(x,y)=∥x−y∥. La norme ∥x∥ mesure quant à elle la distance entre x et le vecteur nul.

6. Si λ est un réel et x un vecteur non nul, quelle relation est toujours vérifiée ?

∥λx∥ = |λ|∥x∥
∥λx∥ = λ²∥x∥
∥λx∥ = ∥x∥/|λ|
∥λx∥ = λ∥x∥ sans valeur absolue

∥λx∥ = |λ|∥x∥

Explication

L’homogénéité de la norme impose ∥λx∥=|λ|∥x∥. La valeur absolue est nécessaire lorsque λ est négatif.

7. Quelle identité permet de développer le carré de la norme de x+y ?

∥x+y∥² = ∥x∥² + 2⟨x,y⟩ + ∥y∥²
∥x+y∥² = ∥x∥² + ⟨x,y⟩ + ∥y∥²
∥x+y∥² = ∥x∥² + ∥y∥²
∥x+y∥² = ∥x∥² − 2⟨x,y⟩ + ∥y∥²

∥x+y∥² = ∥x∥² + 2⟨x,y⟩ + ∥y∥²

Explication

L’identité remarquable associée au produit scalaire est ∥x+y∥²=∥x∥²+2⟨x,y⟩+∥y∥². Le terme croisé contient donc deux fois le produit scalaire.

8. Dans quel cas l’égalité a-t-elle lieu dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz ?

Lorsque x+y est le vecteur nul uniquement
Lorsque ∥x∥ = ∥y∥
Lorsque x et y sont colinéaires
Lorsque x et y sont orthogonaux

Lorsque x et y sont colinéaires

Explication

L’égalité |⟨x,y⟩|=∥x∥∥y∥ a lieu si et seulement si x et y sont colinéaires. Les vecteurs peuvent être de même sens ou de sens opposé.

9. Dans quelle situation l’égalité triangulaire ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥ est-elle vérifiée ?

Lorsque x et y sont colinéaires, quel que soit leur sens
Lorsque x et y sont colinéaires et de même sens
Lorsque x et y sont simplement orthogonaux
Lorsque leurs normes sont nécessairement égales

Lorsque x et y sont colinéaires et de même sens

Explication

L’égalité triangulaire exige que x et y soient colinéaires et orientés dans le même sens. La simple colinéarité suffit pour l’égalité de Cauchy-Schwarz, mais pas pour l’égalité triangulaire.

10. Quelle condition caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs x et y dans un espace euclidien ?

Leur produit scalaire est nul
Leur somme est de norme nulle
Ils sont nécessairement colinéaires
Leur norme est identique

Leur produit scalaire est nul

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut zéro. Cette notion dépend donc du produit scalaire, contrairement à la colinéarité.

11. Pour deux vecteurs x et y, quelle égalité équivaut à x⊥y d’après le théorème de Pythagore ?

||x−y||² = ||x||² − ||y||²
||x+y|| = ||x|| + ||y||
||x+y||² = ||x||² + ||y||²
||x·y||² = ||x||² + ||y||²

||x+y||² = ||x||² + ||y||²

Explication

Le théorème de Pythagore donne x⊥y si et seulement si ||x+y||²=||x||²+||y||². L’égalité des normes relève plutôt d’une confusion avec l’inégalité triangulaire.

12. Que signifie l’appartenance d’un vecteur x à l’orthogonal A⊥ d’une partie A de E ?

x est colinéaire à chaque élément de A
x est orthogonal à chaque élément de A
x a une norme égale à celle de chaque élément de A
x appartient nécessairement à A

x est orthogonal à chaque élément de A

Explication

Par définition, A⊥ est l’ensemble des vecteurs x dont le produit scalaire avec tout élément a de A est nul. Il s’agit donc d’une orthogonalité avec chaque élément de A.

13. Quelle propriété définit une famille orthogonale de vecteurs ?

Tous les vecteurs ont une norme égale à 1
La somme des vecteurs est nulle
Les vecteurs sont deux à deux colinéaires
Les vecteurs distincts sont deux à deux orthogonaux

Les vecteurs distincts sont deux à deux orthogonaux

Explication

Une famille est orthogonale lorsque le produit scalaire de deux vecteurs distincts quelconques est nul. Elle n’exige pas que les vecteurs soient unitaires.

14. Quelle condition supplémentaire une famille orthonormale vérifie-t-elle par rapport à une famille orthogonale ?

Chaque vecteur est nul
La famille contient exactement deux vecteurs
Chaque vecteur est de norme 1
Les vecteurs sont tous colinéaires

Chaque vecteur est de norme 1

Explication

Une famille orthonormale est une famille orthogonale dont chacun des vecteurs possède une norme égale à 1.

15. Une famille orthonormale contient cinq vecteurs. Quelle est la valeur de la norme au carré de leur somme ?

5
1
0
25

5

Explication

Pour une famille orthonormale, la somme des carrés des normes vaut le nombre de vecteurs. Avec cinq vecteurs unitaires, cette valeur est donc 5.

16. Pourquoi une famille orthogonale composée de vecteurs non nuls est-elle libre ?

Ses vecteurs sont nécessairement de norme 1
Toute combinaison linéaire nulle impose que chaque coefficient soit nul
Elle contient nécessairement une base de l’espace
Tous ses vecteurs ont nécessairement la même norme

Toute combinaison linéaire nulle impose que chaque coefficient soit nul

Explication

Dans une famille orthogonale de vecteurs non nuls, l’orthogonalité permet de montrer qu’une combinaison linéaire nulle a tous ses coefficients nuls. La famille est donc libre; une famille orthonormale l’est en particulier.

17. Quel est le principe général du procédé de Gram-Schmidt appliqué à une famille libre ?

Trier les vecteurs selon leurs normes puis les rendre colinéaires
Retirer successivement les projections puis normaliser les résidus
Additionner les vecteurs puis annuler leur norme
Remplacer chaque vecteur par sa projection sur le précédent

Retirer successivement les projections puis normaliser les résidus

Explication

Gram-Schmidt construit successivement des vecteurs orthogonaux en soustrayant les projections sur les vecteurs déjà obtenus, puis les normalise pour former une famille orthonormale.

18. À l’étape k+1 de Gram-Schmidt, quelle expression donne le vecteur orthonormé e_{k+1} ?

e_{k+1}=Σ⟨e_i,x_{k+1}⟩e_i
e_{k+1}=v_{k+1}||v_{k+1}||, où v_{k+1}=x_{k+1}+Σ⟨e_i,x_{k+1}⟩e_i
e_{k+1}=x_{k+1}/||x_{k+1}||, sans retirer de projections
e_{k+1}=v_{k+1}/||v_{k+1}||, où v_{k+1}=x_{k+1}−Σ⟨e_i,x_{k+1}⟩e_i

e_{k+1}=v_{k+1}/||v_{k+1}||, où v_{k+1}=x_{k+1}−Σ⟨e_i,x_{k+1}⟩e_i

Explication

Le résiduel est obtenu en soustrayant les projections de x_{k+1} sur les vecteurs déjà construits, puis il est normalisé pour définir e_{k+1}.

19. Quelle condition caractérise une base orthonormée d’un espace euclidien ?

C’est une famille qui engendre l’espace sans être nécessairement libre
C’est une famille de vecteurs deux à deux colinéaires
C’est une famille libre qui n’est pas nécessairement orthogonale
C’est une famille orthonormale qui engendre l’espace

C’est une famille orthonormale qui engendre l’espace

Explication

Une base orthonormée est à la fois une base de l’espace et une famille orthonormale. Une famille orthonormale est libre, mais elle peut ne pas engendrer tout l’espace.

20. Comment obtient-on une base orthonormée à partir d’une base quelconque d’un espace euclidien ?

En calculant uniquement les coordonnées des vecteurs
En supprimant les vecteurs de norme non nulle
En remplaçant chaque vecteur par son opposé
En appliquant le procédé de Gram-Schmidt

En appliquant le procédé de Gram-Schmidt

Explication

Tout espace euclidien possède une base orthonormée, que l’on peut construire en appliquant le procédé de Gram-Schmidt à une base quelconque.

21. Dans une base orthonormée (e₁,…,eₙ), comment s’écrit un vecteur x ?

x = ∑(x−eₖ)eₖ
x = ∑‖x‖eₖ
x = ∑⟨x,eₖ⟩eₖ
x = ∑⟨eₖ,eₖ⟩x

x = ∑⟨x,eₖ⟩eₖ

Explication

Dans une base orthonormée, les coordonnées de x sont les produits scalaires ⟨x,eₖ⟩, d’où x = ∑⟨x,eₖ⟩eₖ.

22. Un vecteur x a pour coordonnées (2,−1,3) et un vecteur y a pour coordonnées (1,4,−2) dans une base orthonormée. Quelle est la valeur de ⟨x,y⟩ ?

−8
−1
8
14

−8

Explication

Dans une base orthonormée, ⟨x,y⟩ = 2×1 + (−1)×4 + 3×(−2) = −8.

23. Quelle décomposition fournit un sous-espace F et son orthogonal F⊥ dans un espace euclidien ?

E = F ⊕ F⊥
E = F ∩ F⊥
E = F − F⊥
E = F⊥ uniquement

E = F ⊕ F⊥

Explication

Tout espace euclidien se décompose en somme directe orthogonale E = F ⊕ F⊥. En particulier, F∩F⊥ = {0} et leur somme est tout E.

24. Pourquoi F⊥ est-il un supplémentaire particulièrement déterminé de F lorsque F est de dimension finie ?

Parce qu’il est égal à l’espace tout entier
Parce qu’il est l’unique supplémentaire de F orthogonal à F
Parce qu’il a nécessairement la même dimension que F
Parce qu’il contient toujours F

Parce qu’il est l’unique supplémentaire de F orthogonal à F

Explication

Lorsque F est de dimension finie, F⊥ est l’unique supplémentaire de F dans E qui est orthogonal à F.

25. Si E est de dimension 7 et F de dimension 3, quelle est la dimension de F⊥ ?

10
3
7
4

4

Explication

La formule dim(F⊥) = dim(E) − dim(F) donne dim(F⊥) = 7 − 3 = 4.

26. Comment définit-on la projection orthogonale d’un vecteur x sur un sous-espace F de dimension finie ?

Comme la projection sur F⊥ parallèlement à F⊥
Comme le vecteur de F le plus éloigné de x
Comme la projection sur F parallèlement à F⊥
Comme la projection sur F parallèlement à F

Comme la projection sur F parallèlement à F⊥

Explication

La projection orthogonale sur F est la projection sur F parallèlement à son supplémentaire orthogonal F⊥.

27. Soit (f₁,f₂) une base orthonormée de F. Quelle expression donne la projection orthogonale de x sur F ?

p(x)=x−⟨x,f₁⟩f₁−⟨x,f₂⟩f₂
p(x)=⟨f₁,f₂⟩x
p(x)=⟨x,f₁⟩f₁+⟨x,f₂⟩f₂
p(x)=‖x‖(f₁+f₂)

p(x)=⟨x,f₁⟩f₁+⟨x,f₂⟩f₂

Explication

Dans une base orthonormée de F, la projection est la somme des composantes de x selon les vecteurs de cette base : p(x)=∑⟨x,fₖ⟩fₖ.

28. Quelle affirmation décrit correctement la distance d’un vecteur x à une partie non vide A ?

d(x,A)=inf_{a∈A}‖x+a‖
d(x,A)=‖x−a‖ pour tout a∈A
d(x,A)=sup_{a∈A}‖x−a‖
d(x,A)=inf_{a∈A}‖x−a‖

d(x,A)=inf_{a∈A}‖x−a‖

Explication

La distance de x à A est définie comme l’infimum des distances ‖x−a‖ lorsqu'a parcourt A. Pour un sous-espace de dimension finie, cet infimum est atteint par le projeté orthogonal.

29. Pour un sous-espace F de dimension finie, quel élément de F réalise la distance de x à F ?

Tout élément de F, avec la même distance
Un élément quelconque de F différent de p(x)
Le projeté orthogonal p(x), de manière unique
Le vecteur nul, quelle que soit la position de x

Le projeté orthogonal p(x), de manière unique

Explication

Le projeté orthogonal p(x) est l’unique élément de F qui minimise la distance à x, et d(x,F)=‖x−p(x)‖. Les autres éléments de F sont plus éloignés de x.

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Qu'est-ce qu'un produit scalaire sur un espace vectoriel réel ?

Une forme bilinéaire, symétrique, définie et positive à valeurs réelles.

Qu'est-ce qu'un espace préhilbertien réel ?

Un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire.

Comment est défini le produit scalaire canonique sur R^n ?

Par la somme des produits des coordonnées correspondantes.

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