Fiche de révision : Variables et statistiques descriptives

📋 Plan du Cours

1. Moyenne et variables aléatoires
2. Variabilité biologique et statistique
3. Population, échantillon et variables
4. Types et transformations des variables
5. Description des variables qualitatives
6. Description des variables quantitatives
7. Lien entre deux variables quantitatives
8. Liens entre variables qualitatives
9. Variable quantitative et qualitative
10. Facteurs de confusion

📖 1. Moyenne et variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance : La somme des produits de chaque valeur par sa probabilité, soit $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La moyenne de n valeurs se calcule par $m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

📐 Formule — La variance d’une variable aléatoire vérifie $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$.

Compléments

• Pour les notes 12, 7, 15, 3 et 20, la moyenne vaut $m=\frac{12+7+15+3+20}{5}=11{,}4$.

📐 Formule — L’écart-type d’une variable aléatoire est la racine carrée de sa variance : $\sigma=\sqrt{V(X)}$.

📖 2. Variabilité biologique et statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : Décrit les valeurs observées des variables.
• Statistique inférentielle : Permet de passer de l’échantillon à la population.

📝 Points essentiels

📌 La variabilité métrologique provient des imperfections des appareils de mesure, tandis que la variabilité biologique est une caractéristique du vivant.

📌 La variabilité inter-individuelle concerne une même grandeur mesurée chez plusieurs individus, tandis que la variabilité intra-individuelle concerne plusieurs mesures chez un même individu.

💡 Astuce mémo

Variabilité biologique → incertitude des mesures

📖 3. Population, échantillon et variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Une population est l’ensemble des individus étudiés, appelés unités statistiques, et peut être réelle ou virtuelle.
• Échantillon : Sous-ensemble d’une population, qui peut être représentatif ou biaisé.

📝 Points essentiels

📌 Les unités statistiques sont les objets analysés, comme les patients, tandis que les unités des variables sont les unités de mesure, comme le kilogramme ou le mètre.

💡 Astuce mémo

Population = ensemble étudié ; échantillon = sous-ensemble observé

📖 4. Types et transformations des variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable censurée : Mesure la durée avant un événement, souvent la survie, lorsque certaines informations sont manquantes.

📝 Points essentiels

📌 Une variable qualitative décrit l’appartenance à une modalité, tandis qu’une variable quantitative prend des valeurs numériques issues de mesures.

📌 Une variable qualitative ordinale possède un ordre naturel entre ses modalités, contrairement à une variable qualitative nominale.

📌 Une variable quantitative discrète prend des valeurs que l’on peut énumérer, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.

📌 Coder une variable qualitative binaire en 0 et 1 permet de l’étudier comme une variable quantitative, car sa moyenne correspond à la proportion de succès, mais elle reste qualitativement binaire.

💡 Astuce mémo

Qualitative = modalités ; quantitative = nombres mesurés

📖 5. Description des variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : La proportion d’individus appartenant à cette modalité et pouvant s’exprimer entre 0 et 1 ou en pourcentage.

📝 Points essentiels

• Dans un diagramme en bâtons, l’axe horizontal présente les modalités et la hauteur des barres représente l’effectif ou la fréquence.

📖 6. Description des variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition : Donne, pour une valeur a, la somme des fréquences correspondant aux valeurs inférieures ou égales à a.
• Médiane : La valeur qui coupe en deux l’échantillon classé par ordre croissant.
• Quantile : La valeur telle que la fraction q des observations lui est inférieure ou égale.

★ À maîtriser

📌 Dans un histogramme, l’aire de chaque rectangle représente la fréquence de la classe et les rectangles sont jointifs, tandis que dans un diagramme en bâtons la hauteur représente la fréquence et les barres sont séparées.

📐 Formule — La moyenne empirique se calcule par $m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ ou, pour des classes, par $m=\sum_{j=1}^{k}f_jv_j$.

📐 Formule — La variance empirique est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne : $\operatorname{var}(x)=\operatorname{moy}(x^2)-\operatorname{moy}(x)^2$.

Compléments

📐 Formule — L’écart-type empirique est la racine carrée de la variance : $s_x=\sqrt{\operatorname{var}(x)}$.

💡 Astuce mémo

Centrer : mode, extrêmes, médiane, quantiles, moyenne, dispersion

📖 7. Lien entre deux variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Régression linéaire : Cherche la droite $y=ax+b$ qui passe au plus près des points du nuage représentant les couples expérimentaux.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La covariance de deux variables quantitatives est $\operatorname{cov}(x,y)=\operatorname{moy}(xy)-\operatorname{moy}(x)\operatorname{moy}(y)$.

📐 Formule — La pente de la droite de régression vaut $a=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\operatorname{var}(x)}$.

📐 Formule — L’ordonnée à l’origine de la droite de régression vaut $b=\operatorname{moy}(y)-a\operatorname{moy}(x)$.

📐 Formule — Le coefficient de corrélation linéaire de Pearson est $r_{x,y}=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{s_xs_y}$ et ne possède pas d’unité.

💡 Astuce mémo

Covariance → pente a → intercept b → corrélation r

📖 8. Liens entre variables qualitatives

★ À maîtriser

• Un tableau de contingence indique l’effectif observé pour chaque combinaison des modalités de deux variables qualitatives.

📐 Formule — Pour un tableau de contingence, le risque relatif est $RR=\frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}$.

📐 Formule — L’odds ratio est le rapport de cotes $OR=\frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc}$.

📌 Si OR=RR=1, le facteur et l’état sont indépendants ; si OR>RR>1, le facteur est aggravant ; si OR<RR<1, le facteur est protecteur.

Compléments

📌 L’odds ratio et le risque relatif sont sans unité et deviennent très proches lorsque la maladie est rare dans les groupes étudiés.

💡 Astuce mémo

RR compare des risques ; OR compare des cotes

📖 9. Variable quantitative et qualitative

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec une variable qualitative binaire codée 0 et 1, la pente vaut la différence des moyennes de y entre les deux modalités : $a=\operatorname{moy}(y)_{x=1}-\operatorname{moy}(y)_{x=0}$.

📐 Formule — Avec une variable qualitative binaire codée 0 et 1, l’ordonnée à l’origine vaut $b=\operatorname{moy}(y)_{x=0}$.

📌 Pour une variable qualitative à n modalités, on évite de la coder directement en 0, 1, 2 jusqu’à n et on réalise n−1 régressions binaires par rapport à une modalité de référence.

Compléments

• Dans l’exemple du tabagisme, la moyenne est de 71,8 kg chez les fumeurs et de 74,2 kg chez les non-fumeurs, donnant $a=-2{,}4$ kg et la droite $y=-2{,}4x+74{,}2$.

💡 Astuce mémo

a = différence des moyennes ; b = moyenne du groupe codé 0

📖 10. Facteurs de confusion

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteur de confusion : Associé à la fois à x et à y et modifiant le lien observé entre ces deux variables.

★ À maîtriser

📌 Un facteur de confusion peut augmenter ou diminuer l’amplitude apparente d’un effet, voire créer une association inexistante.

Compléments

• Le statut tabagique peut être un facteur de confusion entre l’alcoolisme et le cancer du poumon, car il est associé à l’alcoolisme et augmente le risque de cancer du poumon.

💡 Astuce mémo

Facteur associé à x et y → lien apparent entre x et y

📊 Tableaux de synthèse

Types de variables

Mesures d’association