Fiche de révision : Électrocinétique et signaux physiques

📋 Plan du Cours

1. Courant et éléments d’un circuit
2. Générateurs et dipôles passifs
3. Associations et régimes électriques
4. Lois des circuits en régime continu
5. Régime sinusoïdal et modèle complexe
6. Régimes transitoires des circuits RC
7. Décharge exponentielle du condensateur
8. Exercices de circuits continus
9. Exercices de régime sinusoïdal
10. Exercices de régime transitoire
11. Analogies thermiques et hydrauliques
12. Applications de modélisation physique
13. Pont de Wheatstone et jauge
14. Modélisation des ponts thermiques
15. Modélisation du pontage coronarien
16. Filtres électriques sinusoïdaux
17. Régimes transitoires et analogies
18. Travaux pratiques en électricité

📖 1. Courant et éléments d’un circuit

🔑 Notions clés & Définitions

• Courant électrique : Le transfert de charges électriques à travers une section de conducteur par unité de temps, selon $i=\frac{dq}{dt}$, et il est exprimé en ampères.

★ À maîtriser

• Dans une boucle électrique unique, le même courant circule à chaque instant dans tout le circuit.

Compléments

📌 Un matériau conducteur contient des porteurs de charges mobiles, tandis qu’un matériau isolant ne possède pas de charges mobiles.

💡 Astuce mémo

Champ électrique → déplacement moyen des électrons → courant électrique

📖 2. Générateurs et dipôles passifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Générateur de tension parfait : Impose une tension e indépendante du reste du circuit.
• Générateur de courant parfait : Impose un courant i indépendant du reste du circuit.

• Dipôles passifs linéaires : Les trois dipôles passifs usuels sont la résistance, caractérisée par R en ohms, la bobine, caractérisée par L en henrys, et le condensateur, caractérisé par C en farads.

★ À maîtriser

📌 Un dipôle actif génère de l’énergie électrique, tandis qu’un dipôle passif consomme cette énergie.

📐 Formule - La résistance d’un fil cylindrique vérifie $R=\rho\frac{l}{S}$, où ρ est la résistivité, l la longueur et S la section du fil.

Compléments

• Un générateur réel est modélisé par une résistance interne r en série avec un générateur de tension parfait ou en parallèle avec un générateur de courant parfait.

• La résistivité du cuivre est approximativement de $10^{-8}\ \Omega\cdot m$, tandis que celle du PVC est approximativement de $10^{20}\ \Omega\cdot m$.

💡 Astuce mémo

Générateur : courant et tension dans le même sens ; récepteur : en sens opposés

📖 3. Associations et régimes électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime sinusoïdal : Un régime variable périodique dont la tension ou le courant évolue selon une fonction cosinus caractérisée par une amplitude, une pulsation et une phase.

📝 Points essentiels

📌 Deux dipôles en série sont parcourus par le même courant, tandis que deux dipôles en parallèle présentent la même différence de potentiel à leurs bornes.

• En série, la tension totale est la somme des tensions des dipôles, tandis qu’en parallèle le courant total est la somme des courants des branches.

📌 Le régime continu correspond à des tensions et courants indépendants du temps, tandis que le régime variable correspond à des grandeurs dépendant du temps.

💡 Astuce mémo

Série : même courant ; parallèle : même tension

📖 4. Lois des circuits en régime continu

🔑 Notions clés & Définitions

• Réseau électrique : Une association simple ou complexe de dipôles récepteurs interconnectés et alimentés par un générateur.
• Nœud électrique : Un point d’un réseau électrique commun à plus de deux branches.

📝 Points essentiels

📌 La loi des nœuds stipule que la somme des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des courants sortants.

📌 La loi des mailles stipule que la somme algébrique des différences de potentiel le long d’une maille est nulle, les tensions orientées dans le sens du parcours étant positives et celles orientées en sens opposé étant négatives.

💡 Astuce mémo

Nœuds–Mailles : conservation des courants et des tensions

📖 5. Régime sinusoïdal et modèle complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Impédance complexe : Relie la tension complexe et le courant complexe d’un dipôle selon $\underline{U}=\underline{Z}\,\underline{I}$.
• Circuit passe-bande : Un circuit RLC série se comporte comme un circuit passe-bande en laissant principalement passer un intervalle étroit de pulsations centré autour de la pulsation de coupure ω₀.

★ À maîtriser

📐 Formule - Un signal sinusoïdal s’écrit $e(t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)$, où E₀ est l’amplitude, ω la pulsation et φ la phase à l’origine.

📐 Formule - La pulsation, la fréquence et la période sont reliées par $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$.

📐 Formule - Le déphasage entre deux signaux séparés par un retard temporel Δt vérifie $\varphi=\omega\Delta t=2\pi f\Delta t=\frac{2\pi}{T}\Delta t$.

📐 Formule - Pour des impédances complexes, l’association en série vérifie $\underline{Z}_{eq}=\underline{Z}_1+\underline{Z}_2$, tandis que l’association en parallèle vérifie $\underline{Z}_{eq}=\frac{\underline{Z}_1\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1+\underline{Z}_2}$.

📐 Formule - Dans un circuit RLC série, la pulsation propre ou de résonance vérifie $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

• À la résonance d’un circuit RLC série, l’amplitude du courant est maximale, l’impédance est minimale et le déphasage du courant par rapport à la tension est nul.

Compléments

📐 Formule - L’admittance complexe d’une portion de circuit d’impédance Z vérifie $\underline{Y}=\frac{1}{\underline{Z}}$.

💡 Astuce mémo

Signal → complexe → impédance → lois → résonance

📖 6. Régimes transitoires des circuits RC

★ À maîtriser

📌 Le régime transitoire est un cas particulier du régime variable correspondant au passage d’un régime permanent à un autre régime permanent.

📌 En régime transitoire, les lois de Kirchhoff et le théorème de Millman sont utilisables, mais les théorèmes de Thévenin et de Norton ne le sont pas dans le cadre de ce cours.

• Les régimes transitoires apparaissent dans des circuits comprenant une résistance et au moins un condensateur ou une bobine, comme les circuits RC, RL ou RLC.

📐 Formule - Lors de la charge d’un condensateur initialement déchargé dans un circuit RC soumis à un échelon E₀, la tension vérifie $u_C(t)=E_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=RC$.

Compléments

• La constante de temps τ caractérise la rapidité d’établissement du régime permanent, et la valeur finale est généralement considérée comme atteinte au bout de 5τ.

💡 Astuce mémo

Échelon → équation différentielle → exponentielle → régime permanent

📖 7. Décharge exponentielle du condensateur

★ À maîtriser

• Lors de la décharge d’un condensateur initialement chargé à uc(0)=E0, la tension uc(t) et le courant i(t) évoluent de manière exponentielle décroissante.

Compléments

• Pour représenter une courbe exponentielle de décharge, la tangente à l’origine coupe l’asymptote à l’abscisse t=τ.

💡 Astuce mémo

Condensateur chargé → décharge exponentielle → courant décroissant

📖 8. Exercices de circuits continus

★ À maîtriser

• Les méthodes citées sont :

  • les lois de Kirchhoff
  • le théorème de Millman
  • le principe de superposition
  • les équivalences de Thévenin et de Norton

• L’équilibrage d’un pont de Wheatstone consiste à ajuster la résistance variable jusqu’à obtenir un courant nul dans l’ampèremètre, puis à utiliser cette condition pour déterminer la résistance inconnue.

Compléments

• Dans l’exercice de pont de Wheatstone, le générateur vaut E=10 V, les résistances connues valent R1=5 Ω et R2=20 Ω, et l’équilibrage est obtenu pour RV=10 Ω.

• La résistance thermique et les autres analogies de réseau sont étudiées en utilisant une relation de type loi d’Ohm reliant une différence de potentiel à un débit ou un flux et à une résistance.

💡 Astuce mémo

Kirchhoff décrit le circuit, Millman simplifie les nœuds

📖 9. Exercices de régime sinusoïdal

★ À maîtriser

• L’analyse d’un circuit sinusoïdal consiste à passer du signal réel à sa représentation complexe, à déterminer l’impédance, puis à calculer l’amplitude et le déphasage.

• Les notions principales sont :

  • les circuits RLC
  • les théorèmes de Millman
  • les impédances complexes
  • les phénomènes de résonance

Compléments

• Un exercice utilise une pulsation ω0=500 rad.s-1 avec R=30 Ω, C=1 μF et L=7 mH pour déterminer l’impédance complexe puis réelle d’un dipôle.

💡 Astuce mémo

Signal réel → représentation complexe → impédance → amplitude et phase

📖 10. Exercices de régime transitoire

★ À maîtriser

📌 Dans les régimes transitoires, les exercices distinguent les réponses des condensateurs, des bobines et des circuits RLC soumis à une commutation.

• 🔄 La résolution suit les étapes :
  1. établir l’équation différentielle
  2. identifier les paramètres caractéristiques
  3. résoudre l’équation
  4. représenter la grandeur temporelle

Compléments

• Les phénomènes étudiés sont :
  • la charge de condensateurs
  • la décharge de condensateurs
  • l’établissement du courant dans une bobine
  • les oscillations amorties d’un circuit RLC

💡 Astuce mémo

Le condensateur s’oppose aux variations de tension, la bobine aux variations de courant

📖 11. Analogies thermiques et hydrauliques

★ À maîtriser

📌 Dans les analogies proposées, une différence de pression ou de température correspond à une tension électrique, tandis qu’un débit ou un flux correspond à un courant électrique.

• La résistance thermique de conduction d’une paroi dépend de son épaisseur e, de sa surface S et de sa conductivité thermique λ selon la relation fournie dans l’énoncé.

• Le modèle hydraulique du plan de prévention compare le débit dans la zone habitée avant et après l’ajout d’une conduite de dérivation afin d’évaluer le risque d’inondation.

Compléments

• Pour le modèle de fenêtre, les données sont une épaisseur de verre de 3 mm, une épaisseur d’air ou d’argon de 7 mm, une surface de 1 m2, une conductivité du verre de 0,950 W.m-1.K-1, de l’air de 0,026 W.m-1.K-1 et de l’argon de 0,017 W.m-1.K-1.

💡 Astuce mémo

Tension électrique ↔ différence de pression ou de température ; courant ↔ débit ou flux

📖 12. Applications de modélisation physique

📝 Points essentiels

• La décharge électrique d’un éclair est modélisée par un condensateur géant de capacité C=10 nF se déchargeant à travers une résistance R=3 kΩ, avec une tension initiale de claquage Uc=100.106 V.

• La vidange d’un réservoir est modélisée par la décharge d’un condensateur dans une résistance, ce qui conduit à une décroissance exponentielle de la différence de pression.

• Les correspondances mécaniques sont : la rigidité k du ressort et l’inverse de la capacité C, la masse m et l’inductance L, le coefficient de frottement α et la résistance R

📖 13. Pont de Wheatstone et jauge

★ À maîtriser

📌 Dans un pont de Wheatstone équilibré, aucun courant ne circule dans l’ampèremètre lorsque les potentiels aux points A et B sont égaux, donc VA = VB et I = 0 A.

📐 Formule - Lorsque le pont est équilibré, le potentiel au point A vérifie $V_A=E\frac{R_2}{R_1+R_2}$.

📐 Formule - La condition d’équilibre du pont de Wheatstone est $R_1R_X=R_2R_V$.

• Avant la traction, les quatre résistances du pont, jauge comprise, ont toutes la valeur R = 120 Ω, ce qui équilibre le pont.

📐 Formule - Après traction, la tension de déséquilibre du pont est reliée à la variation de résistance par $U_{AB}=\frac{E}{4}\frac{\Delta R}{R}$.

📐 Formule - La variation relative de résistance de la jauge vérifie $\frac{\Delta R}{R}=K\frac{\Delta l}{l}$, avec un facteur de jauge K = 2.05.

Compléments

📐 Formule - Avec une résistance variable équilibrée à $R_V=10\,\Omega$, la résistance inconnue se déduit de la condition $R_X=\frac{R_2R_V}{R_1}$.

💡 Astuce mémo

Pont équilibré : VA = VB et I = 0 ; pont déséquilibré : UAB ≠ 0

📖 14. Modélisation des ponts thermiques

★ À maîtriser

📌 L’isolation thermique par l’intérieur place l’isolant du côté intérieur du mur, tandis que l’isolation par l’extérieur le place du côté extérieur.

📌 Le flux thermique Φ est analogue au courant électrique I, la différence de température ΔT à la tension ΔV et la résistance thermique Rth à la résistance électrique Rel.

📐 Formule - La loi de Fourier, analogue thermique de la loi d’Ohm, s’écrit $\Phi=\frac{\Delta T}{R_{th}}$.

📐 Formule - Pour des constituants traversés successivement, la résistance thermique équivalente est la somme des résistances thermiques, $R_{th,eq}=R_{th,1}+R_{th,2}+R_{th,3}$.

Compléments

• Les résistances thermiques valent respectivement :
  • 2 K/W pour la laine de verre
  • 1,1 K/W pour la brique
  • 0,5 K/W pour la dalle en béton

💡 Astuce mémo

Résistance thermique plus grande → flux thermique plus faible

📖 15. Modélisation du pontage coronarien

★ À maîtriser

📌 Dans l’artère malade, les portions saine et obstruée sont en série, tandis que l’artère greffée est placée en parallèle de l’artère malade.

• L’analogie hydraulique associe la différence de pression ΔPcoeur à la tension E, le débit sanguin Q au courant I et la résistance hydraulique Rh à la résistance électrique R.

📐 Formule - La résistance hydraulique d’une conduite cylindrique est donnée par la relation de Poiseuille $R_h=\frac{8\eta l}{\pi r^4}$.

📐 Formule - Le débit sanguin dans un réseau résistif vérifie l’analogie de la loi d’Ohm $Q=\frac{\Delta P}{R_h}$.

Compléments

• La pression imposée par le cœur vaut ΔPcoeur = 16·10³ Pa, la viscosité du sang vaut η = 10·10⁻³ Pa·s, le débit sain vaut Qsain = 6,5·10⁻⁵ m³/s, et les résistances des portions saine et obstruée valent respectivement 2,5·10⁸ et 1,5·10⁹ Pa·s/m³.

💡 Astuce mémo

Artère malade en série, greffon en parallèle

📖 16. Filtres électriques sinusoïdaux

★ À maîtriser

📐 Formule - En représentation complexe, les impédances de la résistance, de la bobine et du condensateur sont respectivement $Z_R=R$, $Z_L=j\omega L$ et $Z_C=\frac{1}{j\omega C}$.

📐 Formule - Pour un circuit RL série, la pulsation propre vaut $\omega_0=\frac{R}{L}$ et le courant est favorisé aux basses fréquences, ce qui justifie le comportement de filtre passe-bas.

📐 Formule - Pour un circuit RLC parallèle, la résonance apparaît lorsque les effets inductif et capacitif se compensent, à la pulsation $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un circuit RLC série, la fréquence de résonance est définie par $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}$.

💡 Astuce mémo

RL : passe-bas ; RLC parallèle : coupe-bande ; RLC série : passe-bande

📖 17. Régimes transitoires et analogies

★ À maîtriser

📐 Formule - La décharge d’un condensateur dans une résistance suit une décroissance exponentielle $u_C(t)=U_C(0)e^{-t/\tau}$, avec une constante de temps $\tau=RC$.

• Dans un circuit RC en charge, à t = τ, la tension du condensateur a atteint 63 % de sa valeur en régime permanent.

📐 Formule - La charge d’un condensateur initialement déchargé par une source E s’écrit $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=RC$.

📐 Formule - Par analogie avec le circuit RC, la différence de pression lors de la vidange vérifie $\Delta P(t)=\Delta P(0)e^{-t/\tau_{evac}}$ avec $\tau_{evac}=R_{evac}C_{res}$.

📐 Formule - La force de frottement visqueux sur la bille suit la loi de Stokes $\vec f=-6\pi\eta r\vec v$.

Compléments

📐 Formule - Dans le modèle électrique de la chute d’une bille, le circuit RL série soumis à un échelon E vérifie $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=\frac{L}{R}$.

💡 Astuce mémo

Accumulation puis dissipation → décroissance exponentielle

📖 18. Travaux pratiques en électricité

★ À maîtriser

• Un cœur sain contient un nœud sinusal, générateur naturel d’impulsions électriques, qui fonctionne à la fréquence νs = 1,25 Hz.

📌 Lorsque le commutateur est en position 1, le condensateur se charge ; lorsqu’il est en position 2, il se décharge dans la résistance R.

📌 Une impulsion électrique est envoyée au cœur lorsque la valeur absolue de la tension aux bornes de la résistance vérifie |uR(t)| > 4 V.

📐 Formule - Pour un circuit RC série, la relation courant-tension du condensateur est $i(t)=C\frac{du_C(t)}{dt}$.

📐 Formule - Pour un circuit RC soumis à un échelon de tension E, la tension aux bornes du condensateur évolue selon $u_c(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=RC$.

• À l’instant t = τ, la tension du condensateur a atteint 63 % de sa valeur finale.

• Lorsque le régime permanent est atteint, la tension du condensateur tend vers $u_{c,\infty}=E$.

📌 Dans le circuit RC, diminuer la capacité C diminue la constante de temps τ et accélère le régime transitoire, tandis qu’augmenter la résistance R augmente τ et ralentit ce régime.

📐 Formule - Pour le circuit RL série comportant une résistance R et la résistance interne r de la bobine, le courant évolue selon $i(t)=\frac{E}{R+r}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=\frac{L}{R+r}$.

📐 Formule - La tension aux bornes de la résistance R vaut $u_R(t)=R\,i(t)=\frac{R E}{R+r}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$.

• À l’état permanent, la tension aux bornes de la résistance vaut $u_{R,\infty}=\frac{R E}{R+r}$ et elle est inférieure à E lorsque la résistance interne r est non nulle.

Compléments

• Le stimulateur comprend :

  • une pile E = 5 V
  • une résistance r = 5·10³ Ω
  • un condensateur C = 4 μF
  • une résistance R = 1·10⁴ Ω

• Les valeurs des composants du circuit RC sont approximativement E = 6 V, R = 10 kΩ et C = 10 μF.

• 🔄 La détermination expérimentale de τ suit deux méthodes : relever plusieurs points de la courbe u_c(t), utiliser le point correspondant à 63 % du régime permanent, utiliser l’intersection de la tangente à t = 0 avec le régime permanent

• Les valeurs approximatives des composants du circuit RL sont E = 6 V, R = 100 Ω et L = 1 H.

• La résistance interne r peut être déterminée expérimentalement à partir de la mesure de E et de u_R,∞, puis comparée à la valeur mesurée directement à l’ohmmètre lorsque la bobine est hors circuit et hors tension.

📊 Tableaux de synthèse

Principaux régimes électriques

Analogies entre réseaux physiques