Fiche de révision : Ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Définition des nombres décimaux
2. Écritures des nombres décimaux
3. Définition des nombres rationnels
4. Fractions irréductibles et rationalité

📖 1. Définition des nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : un nombre qui peut s’écrire comme le quotient d’un entier relatif par une puissance de 10 d’exposant positif, soit $\frac{a}{10^p}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $p \in \mathbb{N}$.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des nombres décimaux est noté 𝔻, et écrire $d \in \mathbb{D}$ signifie que d est un nombre décimal.

📖 2. Écritures des nombres décimaux

★ À maîtriser

• Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Compléments

📌 La division du dividende par le diviseur d’un nombre décimal se termine.

📐 Formule — Tout nombre décimal peut aussi s’écrire sous la forme $a \times 10^q$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{Z}$.

• Les nombres décimaux peuvent également s’écrire sous forme d’écriture scientifique.

💡 Astuce mémo

Fraction décimale → écriture décimale finie → produit par une puissance de 10 → écriture scientifique

📖 3. Définition des nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : un nombre qui peut s’écrire comme le quotient d’un entier relatif par un entier naturel non nul, soit sous la forme $\frac{a}{b}$.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ, et écrire $q \in \mathbb{Q}$ signifie que q est un nombre rationnel.

📖 4. Fractions irréductibles et rationalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun autre diviseur commun que 1.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour obtenir une fraction irréductible:

  1. Déterminer les diviseurs communs du numérateur et du dénominateur
  2. Déterminer si possible leur plus grand diviseur commun, le PGCD
  3. Diviser le numérateur et le dénominateur par ce diviseur

• Le rationnel $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

Compléments

📌 Toute fraction doit être écrite sous forme irréductible.

💡 Astuce mémo

Divise par les diviseurs communs → fraction irréductible → nature du nombre

📊 Tableaux de synthèse

Nombres décimaux et rationnels