Fiche de révision : Ensembles de nombres et arithmétique

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales sur les ensembles
2. Entiers naturels et relatifs
3. Multiples et divisibilité
4. Nombres premiers et fractions
5. Nombres décimaux
6. Nombres rationnels
7. Nombres irrationnels et réels

📖 1. Notions fondamentales sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Objet mathématique qui regroupe des éléments dont aucun n’est en double.
• Appartenance : Si x est un élément de l’ensemble E, on note $x\in E$.
• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément.
• Inclusion : L’ensemble E est inclus dans l’ensemble F, noté $E\subset F$, si tous les éléments de E sont aussi des éléments de F.
• Complémentaire : Le complémentaire de E dans F, noté $F\setminus E$ ou $\overline E$ s’il n’y a pas d’ambiguïté, est l’ensemble des éléments de F qui ne sont pas dans E.

💡 Astuce mémo

Un sac contient des objets uniques : certains appartiennent au sac, d'autres en sont exclus.

📖 2. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Ensemble des nombres entiers positifs ou nuls qui permettent de compter une collection d’objets.
• Nombres relatifs : Ensemble des entiers positifs, négatifs et nul.

📝 Points essentiels

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se traduit par l’inclusion $\mathbb N\subset\mathbb Z$.

💡 Astuce mémo

N compte sans négatifs, tandis que Z ajoute les opposés négatifs.

📖 3. Multiples et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour $a\in\mathbb Z$ et $b\in\mathbb N$ avec $b\ne0$, a est un multiple de b s’il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $a=k\times b$, et b est alors un diviseur de a.
• Nombres pairs et impairs : Un entier relatif est pair s’il s’écrit $2k$ et impair s’il s’écrit $2k+1$, avec $k\in\mathbb Z$.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un entier relatif b est encore un multiple de b.

📌 Un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est divisible par 2, par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou par 9, par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, par 5 si son chiffre des unités vaut 0 ou 5, et par $10^n$ s’il se termine par n chiffres 0.

Compléments

📌 Le carré d’un nombre pair est pair et le carré d’un nombre impair est impair.

💡 Astuce mémo

Écriture sous la forme $a=kb$ → divisibilité par b.

📖 4. Nombres premiers et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
• Nombres premiers entre eux : Deux entiers relatifs sont premiers entre eux s’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1 ou -1.
• Fraction irréductible : Pour deux entiers relatifs a et b avec $b\ne0$, la fraction $\frac ab$ est irréductible si a et b sont premiers entre eux.

★ À maîtriser

📌 Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.

📌 Il est impossible de diviser par 0, car une égalité telle que $\frac30=q$ conduirait à $3=0\times q=0$, ce qui est impossible.

Compléments

• 2 est le plus petit nombre premier et, mis à part 2, tous les nombres premiers sont impairs.

• La décomposition en facteurs premiers de 84 est $84=2^2\times3\times7$.

• Pour rendre $\frac{60}{126}$ irréductible, on décompose les deux termes, on simplifie les facteurs communs, puis on obtient $\frac{10}{21}$.

💡 Astuce mémo

Décomposer → repérer les facteurs communs → réduire la fraction.

📖 5. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Ensemble des nombres qui admettent une écriture décimale comportant un nombre fini de chiffres après la virgule.

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^k}$ avec $a\in\mathbb Z$ et $k\in\mathbb N$.

Compléments

📌 Tous les entiers relatifs sont décimaux, ce qui se traduit par l’inclusion $\mathbb Z\subset\mathbb D$.

• Les fractions $\frac12$, $\frac14$, $\frac34$, $\frac15$ et $\frac25$ représentent respectivement les décimaux 0,5 ; 0,25 ; 0,75 ; 0,2 et 0,4.

💡 Astuce mémo

D = dénominateur puissance de 10.

📖 6. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : L’ensemble des nombres rationnels, noté $\mathbb Q$, est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac ab$ avec $a,b\in\mathbb Z$ et $b\ne0$.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre décimal est rationnel, ce qui se traduit par l’inclusion $\mathbb D\subset\mathbb Q$, mais la réciproque est fausse.

📌 Un nombre rationnel est décimal si et seulement si la décomposition en facteurs premiers du dénominateur de sa forme irréductible ne contient que des puissances de 2 ou de 5.

Compléments

📌 Dans une fraction, le signe peut être placé devant la fraction ou au numérateur, mais jamais au dénominateur.

• Un nombre rationnel non décimal possède une partie décimale infinie et périodique à partir d’un certain rang.

💡 Astuce mémo

Tout décimal est rationnel, mais tout rationnel n'est pas décimal.

📖 7. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : Nombre qui ne peut pas s’écrire sous forme d’une fraction.
• Nombres réels : Un nombre réel est un nombre qui est soit rationnel, soit irrationnel, et l’ensemble des nombres réels est noté $\mathbb R$.
• Ensemble des irrationnels : L’ensemble des irrationnels est noté $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ et représente les réels qui ne sont pas rationnels.

★ À maîtriser

• La diagonale d’un carré de côté 1 a pour longueur $\sqrt2$, qui ne peut pas s’écrire sous forme d’une fraction.

Compléments

• Les nombres $\sqrt2$ et $\sqrt5$ sont des irrationnels appelés radicaux, et $\pi$ est la constante du cercle.

💡 Astuce mémo

Les rationnels s'écrivent en fraction, les irrationnels ne le peuvent pas.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques