QCM : Ensembles de nombres et calculs (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation d’inclusion entre les familles de nombres est correcte ?

N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{R}

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

Explication

Les ensembles sont emboîtés dans l’ordre N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. Chaque ensemble est donc inclus dans le suivant.

2. Lequel de ces nombres appartient à l’ensemble des entiers naturels ?

−3-3
2\sqrt{2}
00
−12-\frac{1}{2}

\(0\)

Explication

Les entiers naturels sont 0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots et ne contiennent aucun nombre négatif. Parmi les propositions, seul 00 est naturel.

3. Quelle condition caractérise un nombre rationnel ?

Il doit comporter une racine carrée ou le nombre π\pi.
Il peut s’écrire sous la forme ab\frac{a}{b}, avec a,ba,b entiers et b≠0b\ne0.
Il doit être représenté par un point situé entre 00 et 11.
Il doit être un entier positif écrit sans fraction.

Il peut s’écrire sous la forme \(\frac{a}{b}\), avec \(a,b\) entiers et \(b\ne0\).

Explication

Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit comme une fraction ab\frac{a}{b}, où aa et bb sont entiers et où le dénominateur est non nul.

4. Lequel de ces nombres est réel mais irrationnel ?

34\frac{3}{4}
−5-5
2\sqrt{2}
00

\(\sqrt{2}\)

Explication

Les nombres réels correspondent à tous les points de la droite graduée, notamment les irrationnels comme 2\sqrt{2}. Les autres nombres proposés sont rationnels.

5. Quelle inégalité décrit l’intervalle fermé [2;5][2;5] ?

2≤x≤52\le x\le5
2<x≤52<x\le5
2<x<52<x<5
2≤x<52\le x<5

\(2\le x\le5\)

Explication

Un intervalle fermé contient ses deux bornes. Ainsi, [2;5][2;5] correspond à 2≤x≤52\le x\le5.

6. Le nombre 33 appartient-il à l’intervalle ouvert ]1;3[]1;3[ ?

Non, car les deux bornes d’un intervalle ouvert sont exclues.
Oui, car il est situé à l’extrémité droite de l’intervalle.
Oui, car toute borne positive est incluse.
Non, car un intervalle ouvert ne contient aucun nombre entier.

Non, car les deux bornes d’un intervalle ouvert sont exclues.

Explication

Dans un intervalle ouvert ]a;b[]a;b[, les bornes ne sont pas incluses. Le nombre 33, qui est une borne de ]1;3[]1;3[, n’y appartient donc pas.

7. Quelle écriture représente l’ensemble des nombres xx tels que x≥−2x\ge -2 ?

]−∞;−2]]-\infty;-2]
]−∞;−2[]-\infty;-2[
[-2;+infty[
]-2;+infty[

\([-2;+infty[\)

Explication

La condition x≥−2x\ge-2 inclut la borne −2-2 et s’étend vers +∞+\infty. Elle s’écrit donc [−2;+∞[[-2;+\infty[, avec une borne ouverte du côté de l’infini.

8. Quel développement de (a+b)2(a+b)^2 est correct ?

a2+b2a^2+b^2
a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2
a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2
a2−ab+b2a^2-ab+b^2

\(a^2+2ab+b^2\)

Explication

Le carré d’une somme contient le double produit 2ab2ab : (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2. L’expression a2+b2a^2+b^2 oublie ce terme.

9. Quelle expression obtient-on en développant (x−4)2(x-4)^2 ?

x2−4x+16x^2-4x+16
x2−8x+16x^2-8x+16
x2+8x+16x^2+8x+16
x2−16x^2-16

\(x^2-8x+16\)

Explication

En appliquant (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 avec a=xa=x et b=4b=4, on obtient x2−8x+16x^2-8x+16.

10. Quelle factorisation correspond à x2−25x^2-25 ?

(x−5)2(x-5)^2
(x+5)2(x+5)^2
(x−25)(x+1)(x-25)(x+1)
(x−5)(x+5)(x-5)(x+5)

\((x-5)(x+5)\)

Explication

x2−25=x2−52x^2-25=x^2-5^2 est une différence de deux carrés. Elle se factorise donc en (x−5)(x+5)(x-5)(x+5), et non en une somme de carrés.

11. Quelle est la valeur de l’expression 3+2×53+2\times5 en appliquant les priorités opératoires ?

17
35
13
25

13

Explication

La multiplication est effectuée avant l’addition : 2×5=102\times5=10, puis 3+10=133+10=13. Cette règle évite une lecture strictement de gauche à droite.

12. Quel est le signe du produit (−7)×(−4)(-7)\times(-4) ?

Positif
Négatif
Nul
Indéterminé

Positif

Explication

Le produit de deux nombres de même signe est positif. Ici, les deux facteurs sont négatifs, donc leur produit est positif.

13. Quelle est la valeur de ∣−8∣|-8| ?

00
−8-8
18\frac{1}{8}
88

\(8\)

Explication

La valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé : ∣−8∣=−(−8)=8|-8|=-(-8)=8. Elle représente la distance entre le nombre et zéro.

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Comment sont emboîtés les ensembles de nombres ?

Ils sont emboîtés selon l'inclusion N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

Quels nombres composent les entiers naturels ?

Les entiers naturels sont 0,1,2,3,…0, 1, 2, 3, \ldots.

Les entiers naturels comportent-ils des nombres négatifs ?

Non, ils ne comportent jamais de nombres négatifs.

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