Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles décimaux et propriétés
2. Nombres rationnels et opérations
3. Nombres irrationnels et réels
4. Intervalles réels et opérations
5. Distance et valeur absolue
6. Intervalles centrés
7. Approximation décimale
8. Balayage de la racine carrée

📖 1. Ensembles décimaux et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un nombre réel x est décimal si et seulement s'il existe un entier relatif k et un entier naturel p tels que $x=\frac{k}{10^p}$.

📌 Le nombre $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal, car son écriture décimale 0,3333… comporte une infinité de chiffres après la virgule.

📌 L'addition, la soustraction et la multiplication de deux nombres décimaux donnent toujours un nombre décimal, tandis que leur quotient n'est pas nécessairement décimal.

Compléments

• L'ensemble des nombres décimaux est noté D.

📖 2. Nombres rationnels et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Nombre qui s'écrit comme le quotient de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul.

📝 Points essentiels

• L'ensemble des nombres rationnels est noté Q et l'ensemble des nombres décimaux est inclus dans Q, ce qui s'écrit D⊂Q.

📌 L'addition, la soustraction, la multiplication et la division de deux nombres rationnels donnent un nombre rationnel, à condition que le diviseur soit non nul.

📖 3. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble constitué des nombres rationnels et des nombres irrationnels et noté R.
• Droite réelle : Droite qui représente les nombres réels du plus petit au plus grand, chaque réel y étant placé de manière unique.

★ À maîtriser

• Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel, car il ne peut pas s'écrire comme le quotient de deux entiers relatifs.

Compléments

• Le nombre π est également irrationnel.

💡 Astuce mémo

Rationnel = fraction d'entiers ; irrationnel = impossible à écrire ainsi.

📖 4. Intervalles réels et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : Ensemble de nombres compris entre deux nombres réels appelés bornes.
• Intersection : L'intersection I∩J est l'ensemble des nombres qui appartiennent à la fois aux intervalles I et J et peut être vide.
• Union : L'union I∪J est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J et n'est pas toujours un intervalle.

📝 Points essentiels

📌 Les notations [a;b], ]a;b], [a;b[ et ]a;b[ correspondent respectivement à a≤x≤b, a<x≤b, a≤x<b et a<x<b.

📌 Un intervalle est toujours ouvert en −∞ ou en +∞, de sorte que les notations [−∞;b] et [a;+∞] n'existent pas.

💡 Astuce mémo

Crochets inclusifs ; parenthèses droites exclusives, surtout à l'infini.

📖 5. Distance et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : La distance entre deux réels a et b est la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres, et elle vérifie d(a,b)=d(b,a).
• Valeur absolue : La valeur absolue d'un réel x est sa distance à zéro et se note |x|.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel x, $|x|=\begin{cases}x&\text{si }x\ge 0\\-x&\text{si }x\le 0\end{cases}$.

📐 Formule — Pour deux réels a et b, la distance vérifie $d(a,b)=|b-a|$.

💡 Astuce mémo

Sur la droite réelle, la valeur absolue mesure la longueur entre un nombre et zéro.

📖 6. Intervalles centrés

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux réels a et r, on a x∈[a−r;a+r] si et seulement si $|x-a|\le r$.

Compléments

📐 Formule — Lorsque r>0, x∈[a−r;a+r] si et seulement si $d(x,a)\le r$.

💡 Astuce mémo

Un centre a et un rayon r dessinent une barre de a−r à a+r.

📖 7. Approximation décimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Approximation à 10^{-n} près : Un nombre décimal a est une approximation d'un réel x à 10^{-n} près si et seulement si $|x-a|\le 10^{-n}$.

★ À maîtriser

• Une approximation à 10^{-3} près garantit deux décimales justes, car le nombre de décimales justes vaut n−1.

Compléments

• 3,14 est une approximation de π à 10^{-2} près car $|π-3{,}14|\le 10^{-2}$.

• Une approximation a de x à 10^{-n} près équivaut à l'encadrement $x\in[a-10^{-n};a+10^{-n}]$.

📖 8. Balayage de la racine carrée

★ À maîtriser

• Pour approcher √2 par balayage, on l'encadre d'abord à l'unité, puis au dixième, puis au centième en recherchant le changement de signe de x²−2.

• Le balayage donne √2∈[1,4;1,5], puis √2∈[1,41;1,42], et 1,41 est une approximation de √2 à 10^{-2} près.

Compléments

• Au-delà de 15 décimales, un ordinateur ou une calculatrice exige probablement un logiciel spécialisé, car sa précision par défaut est de l'ordre de 10^{-15}.

💡 Astuce mémo

Encadrement à l'unité, puis au dixième, puis au centième.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques