QCM : Ensembles de nombres et intervalles — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise un nombre décimal ?

Il possède une écriture périodique après la virgule.
Il possède un nombre fini de chiffres après la virgule.
Il s’écrit comme le quotient de deux entiers relatifs.
Il possède une infinité de chiffres après la virgule.

Il possède un nombre fini de chiffres après la virgule.

Explication

Un nombre décimal possède une partie décimale comportant un nombre fini de chiffres. Une écriture décimale périodique ou infinie ne suffit pas à caractériser un nombre décimal.

2. Qu'est-ce qu'un nombre décimal selon la définition mathématique ?

Un nombre qui ne peut pas s'écrire comme une fraction de deux entiers relatifs.
Un nombre qui possède une écriture décimale infinie non périodique.
Un nombre réel qui peut s'écrire sous la forme x=k10px=\frac{k}{10^p}, où kk est un entier relatif et pp un entier naturel.
Un nombre qui ne peut pas être représenté sur la droite réelle.

Un nombre réel qui peut s'écrire sous la forme $$x=\frac{k}{10^p}$$, où $$k$$ est un entier relatif et $$p$$ un entier naturel.

Explication

Un nombre décimal est défini comme un nombre réel pouvant s'écrire sous la forme x=k10px=\frac{k}{10^p}, avec kk entier relatif et pp entier naturel. La réponse qui correspond à cette définition est la première.

3. Lequel des nombres suivants n’est pas un nombre décimal ?

710\frac{7}{10}
13\frac{1}{3}
23100\frac{23}{100}
92\frac{9}{2}

$$\frac{1}{3}$$

Explication

13\frac{1}{3} s’écrit 0,3333…0,3333\ldots, avec une infinité de chiffres après la virgule, donc ce nombre n’est pas décimal. Les autres nombres possèdent une écriture décimale finie.

4. Selon la formule donnée, un nombre réel xx est décimal si et seulement s'il existe un entier relatif kk et un entier naturel pp tels que x=k10px=\frac{k}{10^p}. Quel est le principal inconvénient de cette définition ?

Elle inclut tous les nombres rationnels, même ceux qui ne peuvent pas s'écrire sous cette forme.
Elle ne permet pas de distinguer les nombres décimaux des nombres irrationnels.
Elle exclut certains nombres décimaux comme 13\frac{1}{3}, dont l'écriture décimale est infinie.
Elle ne concerne que les nombres entiers, pas ceux avec des chiffres après la virgule.

Elle exclut certains nombres décimaux comme $$\frac{1}{3}$$, dont l'écriture décimale est infinie.

Explication

La définition précise que xx doit s'écrire sous la forme k10p\frac{k}{10^p}, ce qui exclut les nombres comme 13\frac{1}{3} dont l'écriture décimale est infinie. La principale limite est donc l'exclusion de certains nombres décimaux non finis.

5. Quelle écriture définit un nombre rationnel ?

La somme de deux nombres entiers dont l’un est non nul.
Le quotient de deux nombres décimaux avec un dénominateur positif.
Le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul.
Un nombre dont l’écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres.

Le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul.

Explication

Un nombre rationnel peut s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs, le dénominateur étant non nul. Une écriture décimale finie décrit plus précisément un nombre décimal, qui constitue un cas particulier de nombre rationnel.

6. Quel est le rôle principal de la définition d'un nombre rationnel dans l'étude des nombres réels ?

Elle sert à identifier les nombres dont l'écriture décimale est finie ou périodique.
Elle établit la relation entre les nombres rationnels et les opérations arithmétiques.
Elle définit l'ensemble des nombres qui peuvent être représentés par une fraction.
Elle permet de distinguer les nombres pouvant s'écrire comme un quotient d'entiers des autres.

Elle définit l'ensemble des nombres qui peuvent être représentés par une fraction.

Explication

La définition d'un nombre rationnel permet d'identifier ceux qui peuvent s'exprimer comme un quotient d'entiers relatifs, ce qui est essentiel pour distinguer ces nombres dans l'ensemble des nombres réels. La réponse la plus précise est que cette définition établit la relation entre ces nombres et leur représentation fractionnaire.

7. Quelle affirmation décrit correctement la relation entre les nombres décimaux et les nombres rationnels ?

Tout nombre décimal est rationnel, ce qui s’écrit D⊂QD\subset Q.
Les ensembles DD et QQ contiennent exactement les mêmes nombres.
Les ensembles DD et QQ sont disjoints.
Tout nombre rationnel est décimal, ce qui s’écrit Q⊂DQ\subset D.

Tout nombre décimal est rationnel, ce qui s’écrit $$D\subset Q$$.

Explication

Tout nombre décimal peut s’écrire comme une fraction de dénominateur puissance de dix, donc il est rationnel et D⊂QD\subset Q. La réciproque est fausse, car certains rationnels comme 13\frac{1}{3} ne sont pas décimaux.

8. Quand a été publié le concept de nombres irrationnels comme extension des nombres rationnels ?

Au début du XXe siècle, avec l'avènement de la théorie des ensembles.
Au XVIIe siècle, lors des premières découvertes sur la géométrie grecque.
Au Moyen Âge, dans le contexte de la philosophie mathématique.
Au XIXe siècle, avec la formalisation de la théorie des nombres réels.

Au XIXe siècle, avec la formalisation de la théorie des nombres réels.

Explication

Le concept de nombres irrationnels a été formalisé au XIXe siècle, notamment grâce aux travaux de Cantor et Dedekind. La découverte initiale des irrationnels remonte à l'Antiquité, mais leur étude systématique s'est développée plus tard.

9. En quoi la distance entre deux nombres réels aa et bb est-elle liée à leur valeur absolue ?

La distance est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur absolue de aa et bb.
La distance est la somme des valeurs absolues de aa et bb.
La distance est donnée par ∣b−a∣|b-a|, ce qui correspond à la valeur absolue de leur différence.
La distance est toujours égale à a+ba+b, indépendamment de leur position.

La distance est donnée par $$|b-a|$$, ce qui correspond à la valeur absolue de leur différence.

Explication

La distance entre aa et bb est ∣b−a∣|b-a| : c’est la valeur absolue de leur différence. L’idée d’additionner leurs valeurs absolues est fausse, car la distance ne se calcule pas par une somme.

10. Qui est crédité de la formulation de la définition de la distance entre deux nombres réels en termes de valeur absolue ?

C'est le mathématicien français René Descartes.
C'est le mathématicien allemand Karl Weierstrass.
C'est Euclide qui a introduit cette définition.
C'est le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy.

C'est le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy.

Explication

C'est Augustin-Louis Cauchy qui a formalisé la notion de distance en utilisant la valeur absolue, ce qui est fondamental en analyse. Euclide a posé les bases de la géométrie, mais la formalisation de la distance en termes de valeur absolue est attribuée à Cauchy.

11. Quelle est la conséquence directe de l'encadrement de √2 par balayage à l'aide de changements de signe de x2−2x^2 - 2 ?

Cela permet d'obtenir une approximation de √2 à 10−210^{-2} près.
Cela prouve que √2 est un nombre irrationnel.
Cela montre que √2 est un nombre rationnel.
Cela indique que √2 peut être écrit comme une fraction de deux entiers.

Cela permet d'obtenir une approximation de √2 à $$10^{-2}$$ près.

Explication

L'encadrement par balayage permet d'obtenir une approximation de √2 à 10−210^{-2} près en utilisant la recherche du changement de signe de x2−2x^2 - 2. La méthode ne concerne pas la rationalité ou irrationnalité de √2, mais sa précision d'approximation.

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Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Un nombre avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Nombre décimal

Nombre avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Quelle condition caractérise un nombre réel décimal ?

Il existe un entier relatif k et un naturel p tels que x=k10px=\frac{k}{10^p}.

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