Fiche de révision : Ensembles et nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Définition et inclusion des ensembles
3. Opérations sur les ensembles
4. Bornes et extrema

📖 1. Ensembles de nombres

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon ℕ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ, où ℕ désigne les entiers naturels, 𝔻 les nombres décimaux, ℚ les nombres rationnels et ℝ les nombres réels.

💡 Astuce mémo

De ℕ vers 𝔻, puis ℚ et enfin ℝ

📖 2. Définition et inclusion des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble de tous les éléments qui appartiennent à A et à B.
• Union : Ensemble de tous les éléments qui appartiennent à A ou à B.

📝 Points essentiels

• Un ensemble peut être défini par extension en énumérant ses éléments, ou par compréhension en donnant une propriété vérifiée par ses éléments.

• L’inclusion $E \subset F$ signifie que tout élément de E appartient à F, c’est-à-dire $\forall x \in E,\ x \in F$.

• Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si $E \subset F$ et $F \subset E$.

💡 Astuce mémo

Extension = énumération ; compréhension = propriété

📖 3. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Complémentaire : Ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Produit cartésien : Le produit cartésien de E et F est $E \times F=\{(x,y)\mid x\in E\text{ et }y\in F\}$, dont les éléments sont des couples ordonnés.

★ À maîtriser

📌 L’union et l’intersection vérifient les distributivités $A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cup(A \cap C)$ et $A \cup (B \cap C)=(A \cup B)\cap(A \cup C)$.

Compléments

📌 L’union est commutative et associative, avec $A \cup B=B \cup A$ et $A \cup (B \cup C)=(A \cup B) \cup C$.

📌 L’intersection est commutative et associative, avec $A \cap B=B \cap A$ et $A \cap (B \cap C)=(A \cap B) \cap C$.

• Deux ensembles A et B sont disjoints lorsque $A \cap B=\varnothing$, ce qui est parfois noté $A \parallel B$.

• Un p-uplet de E est une liste de p éléments de E pris dans l’ordre, notée $E^p$.

💡 Astuce mémo

Disjonction → intersection vide

📖 4. Bornes et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Minimum : L’unique élément m de A tel que $\forall x\in A,\ m\le x$.
• Maximum : L’unique élément M de A tel que $\forall x\in A,\ M\ge x$.
• Borne supérieure : Le plus petit des majorants de A, qui est unique.
• Borne inférieure : Le plus grand des minorants de A, qui est unique.

📝 Points essentiels

📌 Un majorant de A est un réel β tel que $\forall x\in A,\ \beta\ge x$, tandis qu’un minorant de A est un réel α tel que $\forall x\in A,\ \alpha\le x$.

• Un ensemble A est borné s’il est à la fois minoré et majoré, c’est-à-dire s’il existe (a,b) dans ℝ² tel que $\forall x\in A,\ a\le x\le b$.

💡 Astuce mémo

Minimum et maximum appartiennent à A ; sup et inf n’y appartiennent pas nécessairement

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les ensembles