Fiche de révision : Équilibre des poutres en mécanique

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs et représentation des forces
2. Types et simplification des charges
3. Appuis et degrés de liberté
4. Action-réaction et équilibre statique
5. Moment et bras de levier
6. Résolution de l’exemple de poutre
7. Méthode de résolution et erreurs

📖 1. Grandeurs et représentation des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Décrit une force par son intensité, sa direction, son sens et son point d’application.

★ À maîtriser

📌 La masse mesure la quantité de matière en kg, tandis que le poids est la force exercée par la Terre sur l’objet et s’exprime en N.

📐 Formule - Le poids se calcule par $P = m \times g$, avec $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Compléments

• Une masse de 10 kg a un poids de 98,1 N lorsque la gravité vaut 9,81 m/s².

• L’axe x est horizontal, l’axe y est vertical et la diagonale est notée z.

📖 2. Types et simplification des charges

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge : Force appliquée sur une structure.

★ À maîtriser

📌 Une charge ponctuelle agit en un seul point et s’exprime en N, une charge linéique est répartie sur une longueur et s’exprime en N/m, et une charge surfacique est répartie sur une surface et s’exprime en N/m².

📌 Pour convertir une charge linéique en force totale, il faut multiplier la charge par mètre par la longueur chargée.

• Une charge répartie est remplacée par une force totale calculée en multipliant la charge par la longueur, puis appliquée au centre de gravité de la zone chargée.

Compléments

• Une charge uniforme de 10 N/m sur 10 m équivaut à une force de 100 N appliquée à 5 m du début de la zone chargée.

💡 Astuce mémo

Charge répartie → force totale → centre de gravité

📖 3. Appuis et degrés de liberté

🔑 Notions clés & Définitions

• Réaction : Poussée exercée par un appui pour retenir une structure en s’opposant à un mouvement.

★ À maîtriser

• Dans un plan, une poutre peut glisser selon x, glisser selon y ou tourner ; ces trois mouvements possibles sont ses degrés de liberté.

• Les appuis diffèrent par les mouvements bloqués, les degrés de liberté et les réactions : un encastrement bloque x, y et la rotation et possède 0 degré de liberté avec 3 réactions, une articulation bloque x et y et possède 1 degré de liberté avec 2 réactions, un appui simple bloque y et possède 2 degrés de liberté avec 1 réaction

Compléments

📐 Formule - Pour chaque appui dans le plan, le nombre de degrés de liberté et le nombre de réactions vérifient $DDL + \text{réactions} = 3$.

💡 Astuce mémo

Plus l’appui bloque de mouvements, moins il laisse de degrés de liberté

📖 4. Action-réaction et équilibre statique

★ À maîtriser

📌 Selon la troisième loi de Newton, toute action a une réaction de même valeur et de sens opposé.

📐 Formule - Le principe fondamental de la statique impose $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$ et $\sum M = 0$ pour qu’une poutre reste immobile.

Compléments

• Dans le plan, les trois équations du PFS permettent de déterminer trois inconnues de réaction.

📌 Avant de calculer les réactions, il faut dessiner un schéma mécanique représentant la poutre, ses appuis et les forces.

📖 5. Moment et bras de levier

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment : Effet de rotation produit par une force autour d’un point choisi.
• Bras de levier : Distance entre le point choisi et la force.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moment vérifie $M = F \times d$, où F s’exprime en N, d en m et M en N·m.

📌 Une force qui passe par le point de calcul a un moment nul, car son bras de levier vaut zéro.

Compléments

📌 Le sens positif de rotation doit rester le même pendant tout le calcul ; dans le cours, ↪ est positif et ↩ est négatif.

• Une force de 150 N appliquée à 2 m du point choisi produit un moment de 300 N·m.

💡 Astuce mémo

Bras de levier plus grand → effet de rotation plus important

📖 6. Résolution de l’exemple de poutre

★ À maîtriser

• 🔄 Les réactions se déterminent dans cet ordre : l’équilibre horizontal donne RAx = 0 N, l’équilibre des moments autour de A donne RBy = 30 N, l’équilibre vertical donne RAy = 120 N

Compléments

• Dans l’exemple, une poutre de 10 m porte une force de 150 N vers le bas à 2 m de A ; A est une articulation et B un appui simple.

• Les réactions inconnues de l’exemple sont RAx et RAy en A, et RBy en B.

• Dans l’exemple, les réactions verticales portent la charge puisque 120 N + 30 N = 150 N.

💡 Astuce mémo

Horizontales → moments en A → verticales

📖 7. Méthode de résolution et erreurs

★ À maîtriser

• Pour résoudre un exercice de poutre, il faut dessiner le schéma, simplifier les charges réparties, remplacer les appuis par leurs réactions, écrire les trois équations d’équilibre, puis résoudre et vérifier les réactions.

Compléments

• Le nombre de réactions dépend du type d’appui :

  • 3 pour un encastrement
  • 2 pour une articulation
  • 1 pour un appui simple

• Les erreurs classiques sont : oublier de transformer une charge répartie en force unique, changer le sens positif en cours de calcul, oublier les unités N et N·m, confondre masse en kg et poids en N

💡 Astuce mémo

Schéma → charges → réactions → équations → vérification

📊 Tableaux de synthèse

Appuis et mouvements bloqués