Fiche de révision : Intégrales et calcul des aires

📋 Plan du Cours

1. Intégrale et aire sous une courbe
2. Encadrement par la méthode des rectangles
3. Calcul par une primitive
4. Propriétés de l’intégrale
5. Valeur moyenne d’une fonction
6. Aire entre deux courbes

📖 1. Intégrale et aire sous une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale d’une fonction positive : Aire, en unités d’aire, délimitée par sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b.

📖 2. Encadrement par la méthode des rectangles

📝 Points essentiels

• Pour encadrer l’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a ; b], on partage l’intervalle en n subdivisions égales, puis on additionne les aires des rectangles intérieurs et extérieurs à la surface sous la courbe.

• Pour une fonction croissante, les rectangles de hauteurs f(x_k) sont intérieurs à la surface et ceux de hauteurs f(x_{k+1}) la contiennent ; leurs sommes donnent respectivement les bornes inférieure u et supérieure v de l’aire.

📌 Si f est négative sur [a ; b], l’aire entre sa courbe et l’axe des abscisses est $\int_a^b -f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$.

📖 3. Calcul par une primitive

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction continue g sur [a ; b] et une primitive F de g, l’intégrale se calcule par $\int_a^b g(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

📖 4. Propriétés de l’intégrale

📝 Points essentiels

📌 La linéarité donne $\int_a^b(f(x)+g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$ et $\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx$ pour un réel k.

📌 La relation de Chasles donne $\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx$.

📖 5. Valeur moyenne d’une fonction

📝 Points essentiels

📐 Formule - La valeur moyenne de f sur [a ; b] est $m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

📖 6. Aire entre deux courbes

📝 Points essentiels

📌 Si f et g sont continues sur [a ; b] et si f(x) ≥ g(x) sur cet intervalle, l’aire comprise entre leurs courbes et les droites x = a et x = b vaut $\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx$.

💡 Astuce mémo

La courbe supérieure f fournit l’aire ajoutée, la courbe inférieure g l’aire retranchée.