QCM : Intégrales et calcul des aires (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction continue et positive sur [a ; b], que représente son intégrale de a à b ?

L’aire algébrique entre la courbe et l’axe, même si la fonction est négative
L’aire d’un rectangle de largeur b − a et de hauteur f(b)
La longueur de la portion de courbe comprise entre x = a et x = b
L’aire délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b

L’aire délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b

Explication

Lorsque f est continue et positive sur [a ; b], son intégrale représente l’aire, en unités d’aire, de la région délimitée par sa courbe, l’axe des abscisses et les droites verticales aux bornes. La longueur de la courbe est une mesure différente, l’aire algébrique concerne aussi les fonctions négatives, et le rectangle décrit une approximation particulière.

2. Pour encadrer l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle, une élève partage celui-ci en six intervalles de même longueur. Quelle méthode doit-elle appliquer ?

Additionner les aires des rectangles intérieurs et extérieurs sur les six intervalles
Additionner les aires de trapèzes ajustés à la courbe sur les six intervalles
Estimer l’aire avec un seul rectangle de hauteur moyenne sur l’intervalle entier
Additionner les aires de rectangles construits sur des subdivisions de longueurs inégales

Additionner les aires des rectangles intérieurs et extérieurs sur les six intervalles

Explication

La méthode des rectangles partage l’intervalle en subdivisions égales, puis encadre l’aire sous la courbe par les sommes des rectangles intérieurs et extérieurs. Des subdivisions inégales ne suivent pas la procédure indiquée, tandis que les trapèzes et le rectangle moyen ne constituent pas cette méthode.

3. Une fonction croissante et positive est encadrée par des rectangles construits sur chaque subdivision, avec une hauteur prise à l’extrémité gauche ou droite. Quelle attribution fournit respectivement la borne inférieure u et la borne supérieure v ?

Hauteurs f(xk+1)f(x_{k+1}) pour u et f(xk+1)f(x_{k+1}) pour v
Hauteurs f(xk+1)f(x_{k+1}) pour u et f(x_k) pour v
Hauteurs f(x_k) pour u et f(xk+1)f(x_{k+1}) pour v
Hauteurs f(x_k) pour u et f(x_k) pour v

Hauteurs f(x_k) pour u et $$f(x_{k+1})$$ pour v

Explication

Pour une fonction croissante, la valeur à l’extrémité gauche est la plus petite sur chaque subdivision : les rectangles de hauteur f(x_k) sont intérieurs et donnent u. Les rectangles de hauteur f(xk+1)f(x_{k+1}) contiennent la surface et donnent v ; inverser les extrémités inverse les bornes, tandis que deux sommes utilisant la même extrémité ne fournissent pas les deux encadrements.

4. Que signifie calculer une intégrale à l’aide d’une primitive ?

Additionner les valeurs de la primitive aux deux bornes, puis diviser leur somme par deux.
Calculer la différence entre les bornes, puis la multiplier par la valeur de la primitive en leur milieu.
Évaluer la fonction intégrée aux deux bornes, puis soustraire ces valeurs dans l’ordre inverse.
Évaluer la primitive à la borne supérieure, puis lui soustraire sa valeur à la borne inférieure.

Évaluer la primitive à la borne supérieure, puis lui soustraire sa valeur à la borne inférieure.

Explication

Si FF est une primitive de gg, l’intégrale de gg sur [a;b][a;b] vaut F(b)−F(a)F(b)-F(a). Évaluer la fonction intégrée aux bornes ne remplace pas l’évaluation de sa primitive.

5. Pour une fonction intégrable, comment l’intégrale d’une somme de deux fonctions se relie-t-elle aux intégrales de chacune sur le même intervalle ?

Elle est égale au produit des deux intégrales.
Elle est égale à la moyenne des deux intégrales.
Elle est égale à la somme des deux intégrales.
Elle est égale à la différence des deux intégrales.

Elle est égale à la somme des deux intégrales.

Explication

La linéarité de l’intégrale permet de séparer une somme de fonctions en la somme de leurs intégrales sur le même intervalle. La différence des intégrales correspondrait à l’intégrale d’une différence, et non d’une somme.

6. Quel rôle joue la division par la longueur de l’intervalle dans le calcul de la valeur moyenne d’une fonction sur [a ; b] ?

Elle transforme l’intégrale sur [a ; b] en moyenne en la rapportant à la longueur de l’intervalle.
Elle convertit l’intégrale en aire entre la courbe de la fonction et l’axe des abscisses.
Elle permet de remplacer l’intégrale par la différence des valeurs de la fonction aux bornes.
Elle compense le signe de l’intégrale lorsque la fonction prend des valeurs négatives.

Elle transforme l’intégrale sur [a ; b] en moyenne en la rapportant à la longueur de l’intervalle.

Explication

La valeur moyenne est obtenue en divisant l’intégrale de la fonction sur l’intervalle par la longueur b−ab-a. La différence des valeurs aux bornes concerne le calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive, et non la définition de la valeur moyenne.

7. Comment l’aire entre deux courbes se distingue-t-elle de l’aire sous une seule courbe dans le calcul intégral ?

Elle correspond à l’intégrale de la courbe inférieure, soustraite de celle de la courbe supérieure.
Elle se calcule en multipliant l’intégrale de la courbe supérieure par la longueur de l’intervalle.
Elle se calcule en additionnant les intégrales des deux courbes, quelle que soit leur position.
Elle se calcule en retranchant l’intégrale de la courbe inférieure de celle de la courbe supérieure.

Elle se calcule en retranchant l’intégrale de la courbe inférieure de celle de la courbe supérieure.

Explication

Entre deux courbes, l’aire est l’intégrale de la fonction supérieure moins celle de la fonction inférieure, tandis que l’aire sous une courbe repose sur une seule fonction. Additionner les intégrales ne donne pas l’écart entre les deux courbes.

8. Si une fonction positive augmente sur l’intervalle [a ; b], quelle conséquence cela a-t-il sur l’aire située sous sa courbe lorsque l’on élargit l’intervalle étudié ?

L’aire reste identique, car la hauteur de la courbe ne change pas sur l’intervalle.
L’aire augmente, car la région considérée s’étend tout en restant au-dessus de l’axe des abscisses.
L’aire diminue, car les valeurs de la fonction sont soustraites sur la partie ajoutée.
L’aire devient négative, car l’intervalle étudié est plus long.

L’aire augmente, car la région considérée s’étend tout en restant au-dessus de l’axe des abscisses.

Explication

Pour une fonction positive, l’intégrale représente l’aire délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et les bornes de l’intervalle ; élargir l’intervalle ajoute une région d’aire positive. Une aire négative correspondrait à une intégrale signée d’une fonction négative, et non à la situation décrite.

9. Pour approcher l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle, comment construire les deux estimations avec la méthode des rectangles ?

Additionner les aires des rectangles intérieurs pour obtenir une borne inférieure et celles des rectangles extérieurs pour obtenir une borne supérieure.
Additionner les hauteurs des rectangles intérieurs pour obtenir une borne inférieure et celles des rectangles extérieurs pour obtenir une borne supérieure.
Utiliser les rectangles intérieurs pour obtenir une borne supérieure et les rectangles extérieurs pour obtenir une borne inférieure.
Tracer une primitive de la fonction, puis comparer ses valeurs aux extrémités de chaque subdivision.

Additionner les aires des rectangles intérieurs pour obtenir une borne inférieure et celles des rectangles extérieurs pour obtenir une borne supérieure.

Explication

Les rectangles intérieurs couvrent une aire inférieure à celle sous la courbe, tandis que les rectangles extérieurs la couvrent avec une aire supérieure ; on additionne leurs aires pour encadrer l’intégrale. Additionner les hauteurs ne donne pas ces estimations d’aire, car il faut tenir compte de la largeur des rectangles.

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Que représente l’intégrale de ff de aa à bb si ff est continue et positive sur [a;b][a;b] ?

L’aire délimitée par sa courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b, en unités d’aire.

Comment encadre-t-on l’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a ; b] par la méthode des rectangles ?

On partage [a ; b] en subdivisions égales et on additionne les aires des rectangles intérieurs et extérieurs.

Pour une fonction négative sur [a ; b], quelle intégrale donne l’aire entre sa courbe et l’axe des abscisses ?

∫ab−f(x) dx=−∫abf(x) dx\int_a^b -f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx

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