Fiche de révision : Statique des poutres et réactions

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs et représentation des forces
2. Charges et forces équivalentes
3. Appuis et degrés de liberté
4. Équilibre et principe fondamental
5. Moments et bras de levier
6. Résolution de l’exemple de poutre
7. Méthode de résolution statique

📖 1. Grandeurs et représentation des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur force : Une force décrite par son intensité, sa direction, son sens et son point d’application.

★ À maîtriser

📌 La masse mesure la quantité de matière en kilogrammes (kg), tandis que le poids est la force exercée par la Terre et s’exprime en newtons (N).

📐 Formule - Le poids se calcule par $P = m \times g$, avec $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ ; une masse de 10 kg a donc un poids de 98,1 N.

Compléments

• Une force est une poussée ou une traction et s’exprime en newtons (N), comme une charge appliquée à une structure.

• L’axe x est horizontal, l’axe y est vertical et, dans le cours, la diagonale est notée z.

📖 2. Charges et forces équivalentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge : Une force appliquée sur une structure.

★ À maîtriser

📌 Une charge ponctuelle agit en un seul point et s’exprime en N, une charge linéique est répartie sur une longueur et s’exprime en N/m, et une charge surfacique est répartie sur une surface et s’exprime en N/m².

• Pour remplacer une charge répartie uniforme par une force unique, on multiplie la charge par unité de longueur par la longueur chargée, puis on applique la force au centre de gravité de la zone, au milieu pour une répartition uniforme.

Compléments

• Une charge uniforme de 10 N/m sur 10 m équivaut à une force de 100 N appliquée à 5 m du début de la zone chargée.

📖 3. Appuis et degrés de liberté

🔑 Notions clés & Définitions

• Réaction d’appui : La poussée exercée par un appui pour empêcher un mouvement de la structure.

★ À maîtriser

• Les trois degrés de liberté d’une poutre plane sont : La translation selon x, La translation selon y, La rotation

📌 Un encastrement bloque les translations selon x et y ainsi que la rotation ; une articulation bloque x et y mais autorise la rotation ; un appui simple bloque y mais autorise le déplacement selon x et la rotation.

Compléments

• Un encastrement fournit trois réactions, une articulation deux réactions et un appui simple une réaction ; pour chaque appui, le nombre de degrés de liberté et celui des réactions totalisent 3.

📖 4. Équilibre et principe fondamental

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe fondamental de la statique : Exige que la somme des forces et des moments soit nulle pour qu’un système reste immobile.

★ À maîtriser

📌 La troisième loi de Newton affirme que toute action produit une réaction de même valeur et de sens opposé, notée F et −F.

📐 Formule - Pour l’équilibre d’une poutre plane, les trois équations sont $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$ et $\sum M = 0$.

Compléments

• Les trois équations d’équilibre permettent de déterminer trois inconnues de réaction, comme les deux réactions d’une articulation et celle d’un appui simple.

• Avant les calculs d’équilibre, il faut dessiner le schéma mécanique représentant la poutre, les appuis et les forces.

📖 5. Moments et bras de levier

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment : L’effet de rotation produit par une force autour d’un point choisi.
• Bras de levier : La distance entre le point choisi pour le calcul du moment et la force.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moment se calcule par $M = F \times d$, où F s’exprime en N, d en m et M en N·m.

• Une force dont la ligne d’action passe par le point de calcul a un moment nul, car son bras de levier est nul.

Compléments

📌 Le sens positif des moments doit rester constant pendant le calcul ; dans le cours, le sens ↪ est positif et le sens ↩ est négatif.

💡 Astuce mémo

Imagine une porte : pousser loin des charnières fait davantage tourner que pousser près d’elles.

📖 6. Résolution de l’exemple de poutre

★ À maîtriser

• En prenant les moments en A, l’équation −300 + 10 × RBy = 0 donne RBy = 30 N.

• L’équilibre vertical de l’exemple donne RAy − 150 + 30 = 0, donc RAy = 120 N.

Compléments

• Dans l’exemple, une poutre de 10 m est portée par une articulation A à gauche et un appui simple B à droite ; une force de 150 N agit vers le bas à 2 m de A.

• Les trois réactions inconnues de l’exemple sont RAx et RAy en A, ainsi que RBy en B.

• Dans l’exemple, l’équilibre horizontal donne RAx = 0 N puisqu’aucune force horizontale n’est appliquée.

• La vérification donne 120 + 30 = 150 N, et les réactions finales sont RAx = 0 N, RAy = 120 N et RBy = 30 N.

💡 Astuce mémo

À A, les moments donnent RBy ; l’équilibre vertical donne ensuite RAy.

📖 7. Méthode de résolution statique

★ À maîtriser

• Pour résoudre un exercice de poutre, il faut dessiner le schéma, simplifier les charges réparties, remplacer les appuis par leurs réactions, écrire les trois équations d’équilibre, puis résoudre et vérifier les réactions.

Compléments

• Les erreurs classiques à éviter sont :
  • Oublier de transformer une charge répartie en force unique
  • Changer de sens positif en cours de calcul
  • Oublier les unités N ou N·m
  • Confondre la masse en kg et le poids en N

💡 Astuce mémo

Schéma → charges simplifiées → réactions → équations → vérification.

📊 Tableaux de synthèse

Mouvements bloqués par les appuis