Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Droite numérique et nombres réels
2. Ensembles de nombres réels
3. Calculs fractionnaires et distributivité
4. Racines carrées et propriétés
5. Applications géométriques des calculs
6. Puissances et règles de calcul
7. Intervalles et inégalités réelles
8. Intersection et réunion d’ensembles

📖 1. Droite numérique et nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite numérique : Une droite graduée est une droite numérique où chaque point possède une abscisse réelle unique et où chaque réel correspond à un point unique.

📖 2. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble ℕ des entiers naturels contient 0, 1, 2, 3 et tous les entiers naturels suivants.
• Nombre décimal : Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel.
• Nombre rationnel : Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, où a est un entier relatif et b un entier naturel non nul.

📝 Points essentiels

📌 Les inclusions successives sont ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ; les réels qui ne sont pas rationnels sont irrationnels, comme √2, √3 et π.

📖 3. Calculs fractionnaires et distributivité

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}$ et $\frac{a}{c}\times\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}$.

📐 Formule - La distributivité donne $k(a+b)=ka+kb$ et le développement d’un produit donne $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule - Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📖 4. Racines carrées et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour tout réel a positif ou nul, √a est l’unique réel positif dont le carré vaut a.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour a et b positifs, $(\sqrt a)^2=a$ et $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$.

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

💡 Astuce mémo

Carré d’une racine : (√a)² = a ; racine d’un carré : √(a²) = |a|.

📖 5. Applications géométriques des calculs

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore donne $BC^2=AB^2+AC^2$.

💡 Astuce mémo

Pythagore part d’un triangle rectangle ; sa réciproque part de l’égalité des carrés.

📖 6. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Pour un réel a et un entier naturel non nul n, $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour a non nul et n entier naturel, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et $a^0=1$.

📐 Formule - Pour a non nul et n, p entiers relatifs, $a^n a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ et $(a^n)^p=a^{np}$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses : (−2)⁴ = 16 ; sans parenthèses, −2⁴ = −16.

📖 7. Intervalles et inégalités réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : L’intervalle fermé [a ; b], pour a ≤ b, est l’ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b.

📝 Points essentiels

📌 Dans [a ; b[, a est inclus et b exclu ; dans ]a ; b], a est exclu et b inclus ; dans ]a ; b[, les deux bornes sont exclues.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 8. Intersection et réunion d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection E ∩ F est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à E et à F.
• Réunion : La réunion E ∪ F est l’ensemble des éléments appartenant à E ou à F.

💡 Astuce mémo

Intersection = éléments communs ; réunion = éléments présents dans l’un ou l’autre.