QCM : Nombres réels et intervalles (19 questions)

Question 1

1. Sur une droite graduée, quelle propriété relie les points et les nombres réels ?

Chaque point a une abscisse réelle unique et chaque réel correspond à un point unique.

Chaque réel correspond à un point unique, mais certains points n’ont pas d’abscisse.

Chaque point a une abscisse réelle, mais un même réel peut repérer plusieurs points.

Chaque point a une abscisse entière unique et chaque réel correspond à un point unique.

Explication

La droite graduée établit une correspondance unique dans les deux sens : un point détermine une abscisse réelle et chaque réel repère un point. L’abscisse entière restreint à tort les réels, tandis que les autres propositions rompent l’unicité ou la correspondance dans un sens.

Answer

Chaque point a une abscisse réelle unique et chaque réel correspond à un point unique.

Question 2

2. Un élève classe les nombres de 0 à 6 sans inclure les nombres négatifs ni les fractions. Dans quel ensemble les range-t-il ?

Dans 𝔻, l’ensemble des nombres décimaux.

Dans ℤ, l’ensemble des entiers relatifs.

Dans ℚ, l’ensemble des nombres rationnels.

Dans ℕ, l’ensemble des entiers naturels.

Explication

Les entiers naturels comprennent 0, 1, 2, 3 et les entiers naturels suivants. ℤ inclut aussi les entiers négatifs, tandis que 𝔻 et ℚ comprennent des nombres qui ne sont pas nécessairement entiers.

Answer

Dans ℕ, l’ensemble des entiers naturels.

Question 3

3. Un nombre s’écrit $-427/10^2$ , avec un numérateur entier relatif et un exposant naturel. De quel type de nombre s’agit-il selon sa forme ?

D’un nombre décimal.

D’un entier naturel.

D’un nombre rationnel non décimal.

D’un nombre irrationnel.

Explication

Un nombre qui peut s’écrire $a/10^n$ , avec $a$ entier relatif et $n$ naturel, est décimal. Un dénominateur quelconque définit une forme rationnelle plus générale, et le signe négatif n’empêche pas un nombre d’être décimal.

Answer

D’un nombre décimal.

Question 4

4. Une fraction a pour numérateur $-11$ et pour dénominateur $4$ . Quelle propriété permet de conclure que sa valeur est rationnelle ?

Elle s’écrit avec un dénominateur égal à une puissance de dix.

Elle s’écrit comme le quotient de deux entiers naturels non nuls.

Elle s’écrit comme le quotient d’un entier relatif par zéro.

Elle s’écrit comme le quotient d’un entier relatif par un entier naturel non nul.

Explication

Un rationnel s’écrit $a/b$ , où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel non nul. La forme décimale impose un dénominateur puissance de dix, et un numérateur négatif est admis.

Answer

Elle s’écrit comme le quotient d’un entier relatif par un entier naturel non nul.

Question 5

5. Un logiciel classe $\sqrt{3}$ parmi les réels, mais pas parmi les rationnels. Quelle classification respecte les inclusions entre ensembles ?

Il est décimal : il appartient à 𝔻 et donc aussi à ℚ.

Il est extérieur à ℝ puisqu’il n’appartient pas à ℚ.

Il est irrationnel : il appartient à ℝ et n’appartient pas à ℚ.

Il est rationnel : il appartient à ℚ et donc aussi à ℝ.

Explication

Un irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel, comme $\sqrt{3}$ . Dire qu’il n’appartient pas à ℚ ne signifie pas qu’il est extérieur à ℝ ; les décimaux, eux, sont inclus dans ℚ.

Answer

Il est irrationnel : il appartient à ℝ et n’appartient pas à ℚ.

Question 6

6. Pour calculer $\frac{2}{3}+\frac{5}{4}$ sous la forme d’une fraction, quel résultat obtient-on ?

\frac{7}{7}

\frac{8}{12}

\frac{23}{12}

\frac{5}{6}

Explication

On met les fractions au même dénominateur : $\frac{2}{3}+\frac{5}{4}=\frac{2\times4+5\times3}{3\times4}=\frac{23}{12}$ . $\frac{7}{7}$ traduit l’addition séparée des numérateurs et dénominateurs, $\frac{8}{12}$ omet le terme $5\times3$ et $\frac{5}{6}$ résulte d’une multiplication.

Answer

$$\frac{23}{12}$$

Question 7

7. En développant $(x+3)(2x-5)$ , quelle expression obtient-on ?

2x^2-15

3x+2x-2

2x^2+x-15

2x^2+6x-5

Explication

Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second : $x\times2x+x\times(-5)+3\times2x+3\times(-5)=2x^2+x-15$ . L’expression $2x^2-15$ omet les produits croisés, tandis que les autres distracteurs distribuent incomplètement ou remplacent le produit par une somme.

Answer

$$2x^2+x-15$$

Question 8

8. Une élève développe $(y-4)^2$ . Quelle expression doit-elle obtenir ?

y^2-8y+16

y^2+8y+16

y^2-16

y^2+16

Explication

L’identité $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ donne $(y-4)^2=y^2-8y+16$ . $y^2-16$ correspond à une différence de carrés, $y^2+8y+16$ inverse le signe du terme double et $y^2+16$ l’omet.

Answer

$$y^2-8y+16$$

Question 9

9. Quel nombre désigne $\sqrt{25}$ selon la définition de la racine carrée ?

5

−5

25

10

Explication

La racine carrée est l’unique réel positif dont le carré vaut le nombre considéré ; pour 25, c’est 5. $-5$ a aussi pour carré 25 mais n’est pas positif, tandis que 25 et 10 ne conviennent pas.

Answer

$$BC^2=5^2+12^2$$

Answer

$$x\times x\times x\times x$$

Answer

$$\frac{1}{a^3}$$

Answer

$$b^{12}$$

Answer

$$[-3\,;4]$$

Answer

$$]2\,;7]$$

Answer

Les personnes inscrites aux deux ateliers

Answer

Les livres en français ou d’histoire, éventuellement les deux

Question 10

10. Pour $a=9$ et $b=4$ , quelle valeur obtient-on en utilisant $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$ ?

6

3

36

5

Explication

Les deux nombres étant positifs, $\sqrt{9\times4}=\sqrt9\times\sqrt4=3\times2=6$ . 5 vient de l’addition des racines, 3 ne tient compte que de $\sqrt9$ et 36 est le produit des radicandes sans extraction de racine.

Question 11

11. Si $x=-7$ , quelle est la valeur de $\sqrt{x^2}$ ?

\sqrt{-7}

7

49

−7

Explication

Pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^2}=|x|$ ; ainsi, pour $x=-7$ , la valeur est 7. $-7$ omet la valeur absolue, 49 est le carré non réduit par la racine et $\sqrt{-7}$ applique la racine directement à $x$ .

Question 12

12. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=5$ et $AC=12$ . Quelle relation permet de calculer $BC^2$ ?

BC=5^2+12^2

BC^2+12^2=5^2

BC^2=12^2-5^2

BC^2=5^2+12^2

Explication

Dans un triangle rectangle en $A$ , le côté opposé à l’angle droit, $BC$ , vérifie $BC^2=AB^2+AC^2$ . L’égalité $BC^2+12^2=5^2$ place incorrectement l’hypoténuse dans la somme, tandis que les autres réponses omettent le carré de $BC$ ou remplacent la somme par une différence.

Question 13

13. Un élève développe $x^4$ , où $x$ est un réel. Quelle écriture correspond à cette puissance ?

x\times 4\times 4\times 4

x+x+x+x

x\times x\times x\times x

4\times x

Explication

Une puissance d’exposant naturel non nul est le produit d’autant de facteurs égaux à la base que l’indique l’exposant. $4\times x$ traite l’exposant comme un coefficient, tandis que les autres expressions multiplient par quatre ou additionnent la base.

Question 14

14. Pour un réel non nul $a$ , quelle expression est égale à $a^{-3}$ ?

\frac{1}{a^3}

-a^3

\frac{1}{a^{-3}}

a^3

Explication

Un exposant négatif indique l’inverse de la puissance correspondante : $a^{-3}=\frac{1}{a^3}$ . $\frac{1}{a^{-3}}$ inverse une seconde fois, $a^3$ perd l’inversion et $-a^3$ confond l’exposant négatif avec un signe moins devant la puissance.

Question 15

15. Pour un réel non nul $b$ , on simplifie $\frac{b^7}{b^3}\times(b^2)^4$ . Quelle expression obtient-on ?

b^{10}

b^{18}

b^{12}

b^{24}

Explication

Le quotient donne $b^{7-3}=b^4$ et la puissance d’une puissance donne $(b^2)^4=b^8$ ; leur produit vaut donc $b^{4+8}=b^{12}$ . $b^{18}$ vient d’une addition dans le quotient, $b^{24}$ d’une multiplication à la place de la soustraction, et $b^{10}$ d’une addition des exposants dans $(b^2)^4$ .

Question 16

16. Un réel $x$ doit vérifier $-3\le x\le 4$ . Quel intervalle décrit exactement les valeurs possibles de $x$ ?

[-3\,;4[

[4\,;-3]

[-3\,;4]

]-3\,;4]

Explication

Un intervalle fermé contient ses deux bornes et correspond à $a\le x\le b$ . L’intervalle ouvert à gauche exclut $-3$ , celui ouvert à droite exclut $4$ , et l’intervalle inversé ne respecte pas l’ordre des bornes.

Question 17

17. Un capteur affiche une valeur $x$ lorsque $2<x\le 7$ . Quelle notation d’intervalle traduit cette condition ?

[2\,;7]

]2\,;7[

[2\,;7[

]2\,;7]

Explication

Dans $]a\,;b]$ , la borne gauche est exclue et la borne droite incluse, ce qui traduit $2<x\le 7$ . $[2\,;7]$ inclut 2, tandis que les deux autres notations excluent 7.

Question 18

18. Dans un club, $E$ regroupe les personnes inscrites à l’atelier de dessin et $F$ celles inscrites à l’atelier de musique. Que représente $E\cap F$ ?

Les personnes inscrites à au moins un atelier

Les personnes inscrites à la musique seulement

Les personnes inscrites au dessin seulement

Les personnes inscrites aux deux ateliers

Explication

L’intersection rassemble les éléments qui appartiennent à la fois à $E$ et à $F$ , donc les personnes inscrites aux deux ateliers. La réunion correspond à au moins un atelier, et les deux réponses restantes ne retiennent qu’un seul groupe.

Question 19

19. Une bibliothèque regroupe dans $E$ les livres en français et dans $F$ les livres d’histoire. Que désigne $E\cup F$ ?

Les livres en français et d’histoire à la fois

Les livres d’histoire qui ne sont pas en français

Les livres en français qui ne sont pas d’histoire

Les livres en français ou d’histoire, éventuellement les deux

Explication

La réunion contient les éléments appartenant à $E$ ou à $F$ , y compris ceux qui appartiennent aux deux ensembles. L’intersection impose les deux critères, tandis que les autres réponses excluent une partie des éléments de la réunion.

QCM : Nombres réels et intervalles (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Sur une droite graduée, quelle propriété relie les points et les nombres réels ?

2. Un élève classe les nombres de 0 à 6 sans inclure les nombres négatifs ni les fractions. Dans quel ensemble les range-t-il ?

3. Un nombre s’écrit $-427/10^2$ , avec un numérateur entier relatif et un exposant naturel. De quel type de nombre s’agit-il selon sa forme ?

4. Une fraction a pour numérateur $-11$ et pour dénominateur $4$ . Quelle propriété permet de conclure que sa valeur est rationnelle ?

5. Un logiciel classe $\sqrt{3}$ parmi les réels, mais pas parmi les rationnels. Quelle classification respecte les inclusions entre ensembles ?

6. Pour calculer $\frac{2}{3}+\frac{5}{4}$ sous la forme d’une fraction, quel résultat obtient-on ?

7. En développant $(x+3)(2x-5)$ , quelle expression obtient-on ?

8. Une élève développe $(y-4)^2$ . Quelle expression doit-elle obtenir ?

9. Quel nombre désigne $\sqrt{25}$ selon la définition de la racine carrée ?

10. Pour $a=9$ et $b=4$ , quelle valeur obtient-on en utilisant $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$ ?

11. Si $x=-7$ , quelle est la valeur de $\sqrt{x^2}$ ?

12. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=5$ et $AC=12$ . Quelle relation permet de calculer $BC^2$ ?

13. Un élève développe $x^4$ , où $x$ est un réel. Quelle écriture correspond à cette puissance ?

14. Pour un réel non nul $a$ , quelle expression est égale à $a^{-3}$ ?

15. Pour un réel non nul $b$ , on simplifie $\frac{b^7}{b^3}\times(b^2)^4$ . Quelle expression obtient-on ?

16. Un réel $x$ doit vérifier $-3\le x\le 4$ . Quel intervalle décrit exactement les valeurs possibles de $x$ ?

17. Un capteur affiche une valeur $x$ lorsque $2<x\le 7$ . Quelle notation d’intervalle traduit cette condition ?

18. Dans un club, $E$ regroupe les personnes inscrites à l’atelier de dessin et $F$ celles inscrites à l’atelier de musique. Que représente $E\cap F$ ?

19. Une bibliothèque regroupe dans $E$ les livres en français et dans $F$ les livres d’histoire. Que désigne $E\cup F$ ?

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QCM : Nombres réels et intervalles (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Sur une droite graduée, quelle propriété relie les points et les nombres réels ?

2. Un élève classe les nombres de 0 à 6 sans inclure les nombres négatifs ni les fractions. Dans quel ensemble les range-t-il ?

3. Un nombre s’écrit −427/102-427/10^2−427/102, avec un numérateur entier relatif et un exposant naturel. De quel type de nombre s’agit-il selon sa forme ?

4. Une fraction a pour numérateur −11-11−11 et pour dénominateur 444. Quelle propriété permet de conclure que sa valeur est rationnelle ?

5. Un logiciel classe 3\sqrt{3}3​ parmi les réels, mais pas parmi les rationnels. Quelle classification respecte les inclusions entre ensembles ?

6. Pour calculer 23+54\frac{2}{3}+\frac{5}{4}32​+45​ sous la forme d’une fraction, quel résultat obtient-on ?

7. En développant (x+3)(2x−5) (x+3)(2x-5) (x+3)(2x−5), quelle expression obtient-on ?

8. Une élève développe (y−4)2 (y-4)^2 (y−4)2. Quelle expression doit-elle obtenir ?

9. Quel nombre désigne 25\sqrt{25}25​ selon la définition de la racine carrée ?

10. Pour a=9a=9a=9 et b=4b=4b=4, quelle valeur obtient-on en utilisant ab=a b\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt bab​=a​b​ ?

11. Si x=−7x=-7x=−7, quelle est la valeur de x2\sqrt{x^2}x2​ ?

12. Le triangle ABCABCABC est rectangle en AAA, avec AB=5AB=5AB=5 et AC=12AC=12AC=12. Quelle relation permet de calculer BC2BC^2BC2 ?

13. Un élève développe x4x^4x4, où xxx est un réel. Quelle écriture correspond à cette puissance ?

14. Pour un réel non nul aaa, quelle expression est égale à a−3a^{-3}a−3 ?

15. Pour un réel non nul bbb, on simplifie b7b3×(b2)4\frac{b^7}{b^3}\times(b^2)^4b3b7​×(b2)4. Quelle expression obtient-on ?

16. Un réel xxx doit vérifier −3≤x≤4 -3\le x\le 4−3≤x≤4. Quel intervalle décrit exactement les valeurs possibles de xxx ?

17. Un capteur affiche une valeur xxx lorsque 2<x≤72<x\le 72<x≤7. Quelle notation d’intervalle traduit cette condition ?

18. Dans un club, EEE regroupe les personnes inscrites à l’atelier de dessin et FFF celles inscrites à l’atelier de musique. Que représente E∩FE\cap FE∩F ?

19. Une bibliothèque regroupe dans EEE les livres en français et dans FFF les livres d’histoire. Que désigne E∪FE\cup FE∪F ?

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3. Un nombre s’écrit $-427/10^2$ , avec un numérateur entier relatif et un exposant naturel. De quel type de nombre s’agit-il selon sa forme ?

4. Une fraction a pour numérateur $-11$ et pour dénominateur $4$ . Quelle propriété permet de conclure que sa valeur est rationnelle ?

5. Un logiciel classe $\sqrt{3}$ parmi les réels, mais pas parmi les rationnels. Quelle classification respecte les inclusions entre ensembles ?

6. Pour calculer $\frac{2}{3}+\frac{5}{4}$ sous la forme d’une fraction, quel résultat obtient-on ?

7. En développant $(x+3)(2x-5)$ , quelle expression obtient-on ?

8. Une élève développe $(y-4)^2$ . Quelle expression doit-elle obtenir ?

9. Quel nombre désigne $\sqrt{25}$ selon la définition de la racine carrée ?

10. Pour $a=9$ et $b=4$ , quelle valeur obtient-on en utilisant $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$ ?

11. Si $x=-7$ , quelle est la valeur de $\sqrt{x^2}$ ?

12. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=5$ et $AC=12$ . Quelle relation permet de calculer $BC^2$ ?

13. Un élève développe $x^4$ , où $x$ est un réel. Quelle écriture correspond à cette puissance ?

14. Pour un réel non nul $a$ , quelle expression est égale à $a^{-3}$ ?

15. Pour un réel non nul $b$ , on simplifie $\frac{b^7}{b^3}\times(b^2)^4$ . Quelle expression obtient-on ?

16. Un réel $x$ doit vérifier $-3\le x\le 4$ . Quel intervalle décrit exactement les valeurs possibles de $x$ ?

17. Un capteur affiche une valeur $x$ lorsque $2<x\le 7$ . Quelle notation d’intervalle traduit cette condition ?

18. Dans un club, $E$ regroupe les personnes inscrites à l’atelier de dessin et $F$ celles inscrites à l’atelier de musique. Que représente $E\cap F$ ?

19. Une bibliothèque regroupe dans $E$ les livres en français et dans $F$ les livres d’histoire. Que désigne $E\cup F$ ?