Fiche de révision : Étude des fonctions trigonométriques fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Fonctions sinus et cosinus
2. Propriétés périodicité
3. Symétries fonctions
4. Étude de cos(x)
5. Étude de sin(x)
6. Variations cos(x)
7. Variations sin(x)
8. Résolution inéquations trigonométriques
9. Étude de fonctions f(x)

📖 1. Fonctions sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cosinus : $x \mapsto \cos(x)$, définie sur $\mathbb{R}$. Elle associe à chaque réel $x$ la valeur du cosinus de $x$.
• Fonction sinus : $x \mapsto \sin(x)$, définie sur $\mathbb{R}$. Elle associe à chaque réel $x$ la valeur du sinus de $x$.
• Dérivabilité : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$.
• Formules de dérivées :
  • $\sin'(x) = \cos(x)$ (source : contenu source)
  • $\cos'(x) = -\sin(x)$ (source : contenu source)
• Fonction paire : $f$ est paire si, pour tout $x \in I$, $f(-x) = f(x)$. La fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos(x)$.
• Fonction impaire : $f$ est impaire si, pour tout $x \in I$, $f(-x) = -f(x)$. La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin(x)$.

📝 Points essentiels

• Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$, c’est-à-dire que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ et $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.
• La fonction cosinus est une fonction paire : $\cos(-x) = \cos(x)$.
• La fonction sinus est une fonction impaire : $\sin(-x) = -\sin(x)$.
• La dérivabilité sur $\mathbb{R}$ permet d’étudier les variations et représentations graphiques (cosinusoïde et sinusoïde).
• Exemple : si $f(x) = \cos(4x)$, alors $f$ est paire et périodique de période $\pi/2$.
• Sur $[0, \pi]$, $\cos(x)$ décroît de 1 à -1, et $\sin(x)$ croît de 0 à 1 puis décroît de 1 à 0, avec $\sin'(x) = \cos(x)$ et $\cos'(x) = -\sin(x)$.
• La résolution d’inéquations comme $\sin(x) \geq 1/2$ utilise la connaissance des solutions de $\sin(x) = 1/2$ (exemple : $\pi/6$ et $5\pi/6$ sur $[0, \pi]$).
• La dérivée $f'(x) = 2x - \cos(x)$ permet d’étudier les variations de fonctions comme $f(x) = x^2 - \sin(x)$.

💡 À retenir

Les fonctions sinus et cosinus, dérivables sur $\mathbb{R}$, sont fondamentales en trigonométrie, avec des propriétés de périodicité, de symétrie, et des formules de dérivées essentielles pour l’étude des variations et la résolution d’inéquations.

📖 2. Propriétés périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique (voir aussi la légitimité en section 3) : Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est dite périodique de période $T$ si, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x + T) = f(x)$. La période $T$ est un nombre réel positif minimal pour lequel cette égalité est vérifiée.

• Périodicité des fonctions cosinus et sinus : Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période $2\pi$. Cela signifie que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$.

• **Fonction cosinus (**x ↦ cos(x)) : Définie sur $\mathbb{R}$, elle associe à chaque réel $x$ la valeur du cosinus de $x$. La fonction est paire, dérivable sur $\mathbb{R}$, et possède une période $2\pi$.

• Fonction sinus ( x ↦ sin(x))** : Définie sur $\mathbb{R}$, elle associe à chaque réel $x$ la valeur du sinus de $x$. La fonction est impaire, dérivable sur $\mathbb{R}$, et possède une période $2\pi$.

• Exemple de fonction périodique $f(x) = \cos(4x)$ : La fonction est périodique de période $\pi/2$ car, pour tout $x$, $f(x + \pi/2) = \cos(4(x + \pi/2)) = \cos(4x + 2\pi) = \cos(4x) = f(x)$. Elle est aussi paire, car $f(-x) = \cos(-4x) = \cos(4x) = f(x)$.

📝 Points essentiels

• La périodicité des fonctions sinus et cosinus est fondamentale en trigonométrie, avec une période $2\pi$. Cela permet de simplifier l'étude de ces fonctions en se limitant à un intervalle de longueur $2\pi$.

• La fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos(x)$, ce qui implique une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

• La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin(x)$, ce qui implique une symétrie par rapport à l’origine du repère.

• La propriété $f(x + T) = f(x)$ pour une période $T$ est valable pour tout réel $x$, ce qui confère à la fonction une répétition régulière de ses valeurs.

• La démonstration des variations de cosinus et sinus sur $[0, \pi]$ repose sur leurs dérivées respectives : $\cos'(x) = -\sin(x)$ et $\sin'(x) = \cos(x)$, avec le signe de ces dérivées permettant d’établir la monotonie.

• La résolution d’inéquations trigonométriques s’appuie sur la connaissance des solutions de $\sin(x) = 1/2$ ou $\cos(x) = 1/2$, ainsi que sur la périodicité pour déterminer l’ensemble des solutions.

💡 À retenir

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$, avec des propriétés de symétrie (paire pour cosinus, impaire pour sinus) qui simplifient leur étude et leur utilisation en résolution de problèmes trigonométriques.

📖 3. Symétries fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Selon AUTEUR (date), une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est dite paire si, pour tout $x \in I$, $f(-x) = f(x)$. La courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• Fonction impaire : Toujours selon AUTEUR (date), une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est impaire si, pour tout $x \in I$, $f(-x) = -f(x)$. La courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

• Fonction cosinus : D’après AUTEUR (date), la fonction $x \mapsto \cos(x)$ est une fonction paire, car pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(-x) = \cos(x)$.

• Fonction sinus : Selon AUTEUR (date), la fonction $x \mapsto \sin(x)$ est impaire, car pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\sin(-x) = -\sin(x)$.

📝 Points essentiels

• La fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos(x)$, ce qui implique une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Exemple : si $f(x) = \cos(4x)$, alors $f(-x) = \cos(-4x) = \cos(4x) = f(x)$, donc $f$ est paire.

• La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin(x)$, ce qui implique une symétrie par rapport à l’origine. Exemple : si $f(x) = \sin(3x)$, alors $f(-x) = \sin(-3x) = -\sin(3x) = -f(x)$.

• La périodicité de ces fonctions est de $2\pi$ : pour tout $x$, $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$.

• Exemple illustratif : La fonction $f(x) = \cos(4x)$ est paire, et sa périodicité est $\pi/2$ puisque $f(x + \pi/2) = \cos(4x + 2\pi) = \cos(4x)$.

💡 À retenir

Les fonctions cosinus et sinus possèdent des symétries fondamentales : la cosinus est paire, la sinus est impaire, ce qui influence leur comportement graphique et leur étude en trigonométrie.

📖 4. Étude de cos(x)

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus (voir section 1) : Fonction définie sur R par x ↦ cos(x), représentant la projection sur l’axe des abscisses du point correspondant sur le cercle trigonométrique.

• Signe de cos(x) sur [0; π] :

  • cos(x) > 0 sur [0; π/2[
  • cos(π/2) = 0
  • cos(x) < 0 sur ]π/2; π]

• Variations de cos(x) sur [0; π] : La fonction cosinus est décroissante de 1 à -1 sur cet intervalle.

  • Preuve : via la dérivée cos′(x) = −sin(x) (voir section 1), et le signe de sin(x) sur ]0; π[.

• Dérivée de cos(x) :

  • Cos′(x) = −sin(x) (voir section 1), indiquant que la croissance ou décroissance de cos(x) dépend du signe de sin(x).

• Représentation graphique : La courbe de cos(x) est appelée cosinusoïde, caractérisée par une forme oscillante périodique, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (fonction paire).

📝 Points essentiels

• La fonction cosinus est paire : cos(−x) = cos(x), ce qui implique une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (voir section 3).

• Sur l’intervalle [0; π], cos(x) décroît strictement de 1 à -1, passant par 0 en π/2.

  • La preuve repose sur la dérivée cos′(x) = −sin(x), qui est positive sur ]0; π/2[ (sin(x) > 0) et négative sur ]π/2; π[ (sin(x) > 0), assurant la décroissance.

• La valeur cos(π/2) = 0 marque le point où la fonction change de signe, passant de positive à négative.

• La périodicité de cos(x) est de 2π : pour tout x, cos(x + 2π) = cos(x).

• La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (fonction paire) est illustrée par l’identité cos(−x) = cos(x).

💡 À retenir

La fonction cosinus est une fonction paire, décroissante sur [0; π], passant de 1 à -1, avec une représentation graphique appelée cosinusoïde, caractérisée par sa périodicité de 2π et sa symétrie.

📖 5. Étude de sin(x)

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction sinus : Fonction définie sur R par x ↦ sin(x), dérivable sur R, avec la propriété sin′(x) = cos(x) (source : contenu source).
• Signe de sin(x) sur [0; π] : sin(x) ≥ 0, c’est-à-dire que la fonction sinus est positive ou nulle sur cet intervalle.
• Variations de sin(x) sur [0; π] : La fonction sin(x) est croissante sur [0; π/2] et décroissante sur [π/2; π], via la dérivée sin′(x) = cos(x) et le signe de cos(x) (source : contenu source).
• Preuve des variations : La croissance ou décroissance de sin(x) est déterminée par le signe de sin′(x) = cos(x). Sur [0; π], cos(x) > 0 sur [0; π/2[, donc sin(x) est croissante, et cos(x) < 0 sur ]π/2; π], donc sin(x) est décroissante (source : contenu source).
• Représentation graphique : La courbe de sin(x) sur R est appelée sinusoïde, caractéristique par ses oscillations périodiques de période 2π (source : contenu source).

📝 Points essentiels

• La fonction sinus est définie sur R, dérivable partout, avec la relation sin′(x) = cos(x).
• Sur l’intervalle [0; π], sin(x) est positive, ce qui implique que sin(x) ≥ 0.
• La variation de sin(x) sur [0; π] se décompose en deux phases : elle est croissante sur [0; π/2] (cos(x) > 0) et décroissante sur [π/2; π] (cos(x) < 0).
• La preuve de ces variations repose sur le signe de la dérivée sin′(x) = cos(x), dont le signe est déterminé par le cercle trigonométrique.
• La représentation graphique de sin(x) est une sinusoïde, illustrant ses oscillations périodiques.

💡 À retenir

La fonction sinus est positive sur [0; π], croissante puis décroissante, avec une dérivée cos(x) dont le signe détermine ses variations, et sa courbe appelée sinusoïde.

📖 6. Variations cos(x)

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cosinus : Fonction définie sur R par x ↦ cos(x). Elle est dérivable sur R avec la formule de dérivée sin′(x) = cos(x) (source : définitions de base en fonctions trigonométriques).

• Dérivée de cos(x) : La dérivée de la fonction cosinus est cos′(x) = −sin(x). Elle indique le taux de variation de cos(x) en chaque point x (source : propriétés des fonctions trigonométriques).

• Signe de cos′(x) sur [0; π] : Sur cet intervalle, sin(x) > 0, donc cos′(x) = −sin(x) < 0. Cela signifie que la fonction cos(x) est strictement décroissante sur [0; π] (source : étude des variations via la dérivée).

• Conclusion sur la variation de cos(x) : La fonction cos(x) est strictement décroissante sur [0; π], passant de cos(0) = 1 à cos(π) = −1 (source : analyse des dérivées et signe).

• Représentation graphique : La courbe de cos(x) sur [0; π] est appelée cosinusoïde, illustrant une décroissance continue de 1 à −1 (source : représentation graphique en trigonométrie).

📝 Points essentiels

• La fonction cosinus est dérivable sur R, avec cos′(x) = −sin(x). Sur l’intervalle [0; π], sin(x) est strictement positif, donc cos′(x) est strictement négatif, ce qui entraîne que cos(x) est strictement décroissante sur cet intervalle.

• La décroissance de cos(x) sur [0; π] est une conséquence directe du signe de sa dérivée, permettant d’établir que cos(x) diminue de 1 à −1 en parcourant l’intervalle.

• La propriété que cos′(x) = −sin(x) relie directement la variation de cos(x) à la positivation de sin(x) sur [0; π], illustrant la relation entre ces deux fonctions trigonométriques.

• La courbe de cos(x) sur [0; π] est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce qui correspond à la propriété de parité de la fonction cosinus (cos(−x) = cos(x)).

💡 À retenir

La fonction cos(x) est strictement décroissante sur [0; π], passant de 1 à −1, en raison du signe négatif de sa dérivée cos′(x) = −sin(x) sur cet intervalle.

📖 7. Variations sin(x)

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de sin(x) : Selon PERROUX (date), la dérivée de la fonction sinus est donnée par sin′(x) = cos(x). Cette relation permet d'étudier les variations de sin(x) en fonction du signe de cos(x).

• Signe de cos(x) sur [0; π] : La fonction cos(x) est positive sur [0; π/2[ et négative sur ]π/2; π], avec cos(π/2) = 0. Cela influence directement le signe de sin′(x).

• Croissance et décroissance de sin(x) : La fonction sin(x) est strictement croissante sur [0; π/2] car sin′(x) = cos(x) > 0, et strictement décroissante sur [π/2; π] car sin′(x) = cos(x) < 0, conformément à PERROUX (date).

📝 Points essentiels

• La dérivée sin′(x) = cos(x) permet d'étudier les variations de sin(x). Sur [0; π], cos(x) > 0 sur [0; π/2[, donc sin(x) est croissante sur cet intervalle. Sur ]π/2; π], cos(x) < 0, donc sin(x) est décroissante.

• La fonction sin(x) est continue, dérivable sur R, et sa variation sur [0; π] se déduit directement du signe de cos(x). La croissance sur [0; π/2] et la décroissance sur [π/2; π] sont des points clés pour l'étude des inéquations ou des fonctions associées.

• La propriété que sin(x) est croissante sur [0; π/2] et décroissante sur [π/2; π] résulte de l'étude du signe de sa dérivée, permettant de déterminer ses maximums locaux (notamment sin(π/2) = 1).

• La périodicité de sin(x) (voir section 2) et ses symétries (voir section 3) complètent la compréhension de ses variations.

💡 À retenir

La fonction sin(x) est croissante sur [0; π/2] et décroissante sur [π/2; π], grâce au signe de sa dérivée cos(x). Cette propriété est fondamentale pour analyser ses inéquations et ses applications.

📖 8. Résolution inéquations trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de résolution d’inéquations trigonométriques : Technique consistant à utiliser les propriétés de périodicité, de symétrie et de variation des fonctions sinus et cosinus pour déterminer l’ensemble des solutions d’une inéquation sur un intervalle donné. Elle implique souvent la résolution d’équations trigonométriques associées (voir exemple sin(x) = 1/2) pour déduire les intervalles où l’inéquation est satisfaite.

• Utilisation des solutions de l’équation sin(x) = 1/2 sur R : La résolution de cette équation permet d’identifier les points clés (ex : π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ) qui servent à délimiter les intervalles de solution de l’inéquation sin(x) ≥ 1/2, en exploitant la périodicité et la symétrie de sin(x).

• Utilisation des variations de sin(x) pour déterminer l’intervalle solution : La connaissance du comportement croissant ou décroissant de sin(x) sur [0, π/2] et [π/2, π], notamment via ses dérivées (sin′(x) = cos(x)), permet de localiser précisément les intervalles où sin(x) dépasse ou est inférieur à une valeur donnée, facilitant la résolution des inéquations.

📝 Points essentiels

• La résolution d’une inéquation trigonométrique repose sur la résolution de l’équation associée (ex : sin(x) = a) pour connaître ses solutions fondamentales, puis sur l’analyse du signe de la fonction dans chaque intervalle délimité par ces solutions, en utilisant ses propriétés de périodicité et de symétrie (voir PERROUX (date) : concept ou citation).
• La périodicité de sin(x) et cos(x) (2π) permet de réduire la problème à une seule période, puis d’étendre la solution à tout R en utilisant la formule x + 2kπ.
• La connaissance des variations de sin(x) et cos(x), notamment leur croissance ou décroissance sur [0, π/2] et [π/2, π], est essentielle pour déterminer où la fonction satisfait l’inéquation (voir PERROUX (date) : concept ou citation).
• La méthode consiste souvent à écrire l’inéquation sous une forme équivalente, à résoudre l’équation associée, puis à analyser le signe de la fonction dans chaque intervalle délimité par ces solutions, en tenant compte de la périodicité pour obtenir l’ensemble des solutions sur [0, π] ou R.

💡 À retenir

La résolution d’inéquations trigonométriques combine la résolution d’équations fondamentales et l’analyse du comportement des fonctions sinus et cosinus, en exploitant leur périodicité, leur symétrie et leurs variations pour déterminer précisément l’ensemble des solutions.

📖 9. Étude de fonctions f(x)

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Selon AUTEUR (date), une fonction f définie sur un intervalle symétrique par rapport à 0 est paire si, pour tout x dans cet intervalle, f(−x) = f(x). La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• Fonction impaire : Selon AUTEUR (date), une fonction f définie sur un intervalle symétrique par rapport à 0 est impaire si, pour tout x dans cet intervalle, f(−x) = −f(x). La courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

• Périodicité : Selon AUTEUR (date), une fonction f est périodique de période T si, pour tout x réel, f(x + T) = f(x). Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.

• Dérivées des fonctions trigonométriques : Selon AUTEUR (date), pour tout x, sin′(x) = cos(x) et cos′(x) = −sin(x). Ces propriétés permettent d’étudier les variations et symétries.

• Signe et variations sur [0; π] : D’après AUTEUR (date), cos(x) est positive sur [0; π/2[ et négative sur ]π/2; π], tandis que sin(x) est positive sur [0; π], croissante sur [0; π/2], puis décroissante sur [π/2; π].

📝 Points essentiels

• La fonction cosinus est définie par x ↦ cos(x), elle est paire et périodique de période 2π, avec cos(−x) = cos(x) et cos(x + 2π) = cos(x).

• La fonction sinus, définie par x ↦ sin(x), est impaire et périodique de période 2π, avec sin(−x) = −sin(x) et sin(x + 2π) = sin(x).

• Sur [0; π], cos(x) décroît strictement de 1 à −1, avec cos′(x) = −sin(x) < 0 pour x ∈]0; π[, ce qui confirme la décroissance.

• Sur [0; π], sin(x) croît de 0 à 1 sur [0; π/2] (sin′(x) = cos(x) > 0) puis décroît de 1 à 0 sur [π/2; π].

• Résolution d’inéquations trigonométriques : par exemple, sin(x) ≥ 1/2 sur [0; π], solutions étant [π/6 ; 5π/6], en utilisant les solutions de sin(x) = 1/2.

• Étude de la fonction f(x) = x² − sin(x) sur [0; π] : dérivée f′(x) = 2x − cos(x). La résolution de f′(x) ≥ 0 revient à étudier 2x − cos(x) ≥ 0, solution sur [0; π] étant x = π/3, avec tableau de variations indiquant que f est croissante sur [π/3; π].

💡 À retenir

Les fonctions sinus et cosinus ont des propriétés de symétrie et de périodicité fondamentales, permettant d’étudier leur comportement sur [0; π], notamment par leurs dérivées, pour analyser leurs variations et résoudre des inéquations trigonométriques.

📊 Tableau de Synthèse Comparatif : Fonctions sinus et cosinus

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre périodicité de $2\pi$ avec celle de périodes plus petites (ex: $f(x) = \cos(4x)$ a période $\pi/2$).
2. Oublier que $\sin$ est impaire et $\cos$ paire, ce qui influence la symétrie du graphique.
3. Confondre la croissance de $\sin(x)$ sur $[0, \pi/2]$ avec la décroissance de $\cos(x)$ sur le même intervalle.
4. Erreur dans la résolution d’inéquations trigonométriques en ne tenant pas compte des périodes et des symétries.
5. Confondre la dérivée $\sin'(x) = \cos(x)$ avec une fonction décroissante ou croissante sans vérifier le signe de $\cos(x)$.
6. Mauvaise interprétation des points où $\sin(x) = 1/2$ ou $\cos(x) = 1/2$ pour résoudre inéquations.
7. Négliger la propriété de parité ou d’imparité lors de l’étude graphique ou de la résolution.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition précise des fonctions sinus et cosinus, ainsi que leur domaine de définition.
2. Savoir que $\sin$ est impaire et $\cos$ est paire, avec démonstration ou référence.
3. Maîtriser la périodicité de $2\pi$ pour ces fonctions, et savoir déterminer la période d’une fonction comme $\cos(4x)$.
4. Connaître et utiliser les formules de dérivées : $\sin'(x) = \cos(x)$ et $\cos'(x) = -\sin(x)$.
5. Étudier la monotonie de $\sin$ et $\cos$ sur $[0, \pi]$ en utilisant leurs dérivées.
6. Représenter graphiquement $\sin$ et $\cos$, en respectant leurs symétries et variations.
7. Résoudre des inéquations trigonométriques comme $\sin(x) \geq 1/2$ ou $\cos(x) \leq 0$, en utilisant la périodicité et les solutions fondamentales.
8. Connaître la propriété que $\cos(x)$ décroît sur $[0, \pi]$ et sa valeur en points clés (ex: $\cos(\pi/2) = 0$).
9. Maîtriser la résolution d’inéquations en utilisant la connaissance des solutions de $\sin(x) = a$ ou $\cos(x) = a$.
10. Savoir que la fonction cosinus est paire et que la sinus est impaire, et utiliser ces propriétés pour simplifier l’étude.
11. Savoir que la dérivée de cos(x) est négative sur $[0, \pi]$, ce qui explique la décroissance.
12. Vérifier la maîtrise du vocabulaire et des concepts clés : périodicité, symétrie, dérivées, variations, solutions fondamentales.