Fiche de révision : Études de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Domaines de définition
2. Limites et asymptotes
3. Dérivation et tangentes
4. Valeurs intermédiaires et variations
5. Fonctions trigonométriques
6. Exponentielle et logarithmes
7. Valeur absolue
8. Partie entière
9. Puissances réelles

📖 1. Domaines de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Ensemble des valeurs de la variable qui possèdent une image par f.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=\frac{2}{x^2-1}, le domaine de définition est $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1{,}1\}$.

• Pour g(x)=\sqrt{9-x^2}, le domaine de définition est $D_g=[-3{,}3]$.

📖 2. Limites et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : La droite d’équation x=α est une asymptote verticale si $\lim_{x\to\alpha}f(x)=\infty$.
• Asymptote horizontale : La droite d’équation y=α est une asymptote horizontale si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\alpha$.
• Asymptote oblique : La droite d’équation y=ax+b est une asymptote si $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$.

★ À maîtriser

• Si une fonction f est définie en a et continue en a, alors $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

• Les limites de $x^2$ en $-\infty$ et en $+\infty$ valent $+\infty$, tandis que celles de $x^3$ valent respectivement $-\infty$ et $+\infty$.

• Pour un polynôme, la limite en un infini est celle de son terme de plus haut degré, en tenant compte de la parité de son degré.

• On a $\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0$, $\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty$ et $\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$.

• On a $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ et $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.

• Pour tout α>0, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0$, $\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x^\alpha}=+\infty$ et $\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0$.

Compléments

📌 Les opérations sur les limites peuvent produire une forme indéterminée, notamment $+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac00$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.

💡 Astuce mémo

Limite infinie → asymptote verticale ; limite finie à l’infini → asymptote horizontale

📖 3. Dérivation et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la limite finie, si elle existe, $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
• Fonction dérivée : Si f admet un nombre dérivé en chaque point d’un intervalle I, sa fonction dérivée est la fonction $f':x\mapsto f'(x)$.
• Tangente : Si f est dérivable en a, la tangente à sa courbe au point (a,f(a)) a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, et son coefficient directeur est f′(a).

★ À maîtriser

📐 Formule - Les dérivées usuelles comprennent $\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$, $(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}$, $(x^a)'=ax^{a-1}$, $(\ln x)'=\frac1x$, $(e^x)'=e^x$, $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

📐 Formule - Pour une fonction u dérivable, on a $\left(\ln(u)\right)'=\frac{u'}u$ et $(e^u)'=u'e^u$.

📐 Formule - Les opérations de dérivation vérifient $(u+v)'=u'+v'$, $(ku)'=ku'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\frac1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}$ et $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

Compléments

📐 Formule - Les limites fondamentales sont $\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$, $\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$ et $\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}h=1$.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement → nombre dérivé → tangente

📖 4. Valeurs intermédiaires et variations

★ À maîtriser

• Si f est continue sur [a,b], alors toute valeur k de f([a,b]) est atteinte au moins une fois sur [a,b].

• Si f est en plus strictement monotone sur [a,b], l’antécédent α de k est unique.

• Si f est dérivable sur I et si f′(x)>0 pour tout x∈I, alors f est strictement croissante sur I.

• Si f est dérivable sur I et si f′(x)<0 pour tout x∈I, alors f est strictement décroissante sur I.

Compléments

📌 Si f′(x)=0 pour tout x∈I, alors f est constante sur I.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → sens de variation → tableau

📖 5. Fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction sinus : La fonction sinus est définie sur ℝ, impaire, périodique de période 2π, bornée par −1 et 1, et vérifie $\sin'(x)=\cos(x)$.
• Fonction cosinus : La fonction cosinus est définie sur ℝ, paire, périodique de période 2π, bornée par −1 et 1, et vérifie $\cos'(x)=-\sin(x)$.
• Fonction tangente : La tangente est définie par $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ sur $\mathbb R\setminus\{\frac\pi2+k\pi\mid k\in\mathbb Z\}$.

📝 Points essentiels

• La restriction de sinus à [−π/2,π/2] est une bijection strictement croissante de [−π/2,π/2] sur [−1,1].

• La restriction de cosinus à [0,π] est une bijection strictement décroissante de [0,π] sur [−1,1].

📐 Formule - Sur son domaine de définition, la tangente vérifie $\tan'(x)=1+\tan^2(x)=\frac1{\cos^2(x)}$.

• La restriction de tangente à ]−π/2,π/2[ est une bijection strictement croissante de ]−π/2,π/2[ sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Sinus impair et croissant sur son intervalle ; cosinus pair et décroissant sur le sien

📖 6. Exponentielle et logarithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est définie et dérivable sur ℝ, vérifie $\exp'(x)=\exp(x)$ et est une bijection strictement croissante de ℝ sur ]0,+∞[.
• Fonction logarithme : Le logarithme népérien est la bijection réciproque de l’exponentielle, définie et dérivable sur ]0,+∞[, strictement croissante de ]0,+∞[ sur ℝ, et vérifie $\ln'(x)=\frac1x$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels a,b et tout entier k, on a $e^0=1$, $e^ae^b=e^{a+b}$, $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$ et $(e^a)^k=e^{ka}$.

📌 Pour tous réels x,y, $e^x=e^y\Leftrightarrow x=y$ et $e^x<e^y\Leftrightarrow x<y$.

📐 Formule - Pour a,b>0 et k∈ℤ, on a $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, $\ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)$, $\ln(a^k)=k\ln(a)$ et $\ln(\sqrt a)=\frac12\ln(a)$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout x>0, le logarithme décimal est défini par $\log(x)=\frac{\ln x}{\ln 10}$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle sur ℝ vers ]0,+∞[ ; logarithme sur ]0,+∞[ vers ℝ

📖 7. Valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour tout réel x, $|x|=x$ si x>0 et $|x|=-x$ si x<0 ; la fonction valeur absolue est définie sur ℝ et prend ses valeurs dans ℝ_+.

★ À maîtriser

• La valeur absolue est continue sur ℝ et dérivable sur ℝ* ; en 0, ses dérivées à gauche et à droite valent respectivement −1 et 1.

📌 Pour a>0, $|x|\le a\Leftrightarrow -a\le x\le a$.

Compléments

📌 Pour a>0 et α∈ℝ, $|x-\alpha|\le a\Leftrightarrow \alpha-a\le x\le\alpha+a$.

📐 Formule - L’inégalité triangulaire affirme que, pour tous réels x₁,…,xₙ, $\left|\sum_{i=1}^n x_i\right|\le\sum_{i=1}^n|x_i|$.

💡 Astuce mémo

Une courbe en V, avec deux demi-tangentes différentes en 0

📖 8. Partie entière

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière [x] d’un réel x est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x ; elle est définie sur ℝ et prend ses valeurs dans ℤ.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel x, $[x]\le x<[x]+1$ et $x-1<[x]\le x$.

Compléments

• La fonction partie entière est continue et dérivable sur chaque intervalle ]k,k+1[ avec k∈ℤ, et elle est continue à droite en k et à gauche en k+1.

💡 Astuce mémo

Un escalier constant entre chaque entier

📖 9. Puissances réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance réelle : Pour tout réel a>0 et tout réel b, la puissance réelle est définie par $a^b=e^{b\ln a}$.
• Exponentielle de base a : Pour a>0, l’exponentielle de base a est la fonction qui associe à tout réel x le nombre $a^x$.

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions trigonométriques